===== Es. 1 =====

Dopo aver ribaltato il ciclo delle $\sigma_\mathrm{y}$ in modo da avere tensione media $\sigma_\mathrm{y,m}\geq 0$, i cicli delle tre componenti hanno un comune coefficiente $K$ pari a 0,352 .

Le tensioni critiche a flessione -- e non a sforzo normale, per via dello spiccato gradiente che caratterizza lo stato tensionale agli intagli -- e a taglio sono derivabili dal diagramma di Goodman del materiale a p. 253 e valutati in 710$\div$715 MPa per le $\sigma_{\lbrace\mathrm{x,y}\rbrace}$ e in 500 MPa per la $\tau_\mathrm{xy}$ (tolleranza $\pm 2 \% $).

Il calcolo del coefficiente di sicurezza si effettua utilizzando la formula per stato piano completo (2.2.1.10) a p. 454 con $\sigma_x=132$ MPa, $\sigma_y=88$ MPa, $\tau_{xy}=44$ MPa, considerando positivo il prodotto $\sigma_\mathrm{x}\sigma_\mathrm{y} > 0$ in quanto le due componenti raggiungo gli estremi trattivi e compressivi del ciclo in sincronia; il segno negativo del termine misto nel suo complesso è coerente la riduzione della natura deviatorica dello stato tensionale istantaneo.

La scelta di utilizzare $\sigma_y=88$ MPa piuttosto che $\sigma_y=26$ MPa è effettuata in continuità col caso di assenza delle $\sigma_x$.

L'utilizzo delle formule per stato triassiale non è da ritenersi corretta in quanto è disponibile una formula specifica per lo stato piano completo di tensione.


===== Es. 2 =====

Si utilizza la teoria della trave curva a sezione rettangolare((come ripetuto in aula non si parlerebbe altrimenti di //spessore// assiale, ma piuttosto di diametro, o di una molteplicità di spessori puntuali)), con momento flettente 
$M_\mathrm{f}= - F\cdot\left(c+r_\mathrm{g}\right)$
(tale momento comprime infatti le fibre all'intradosso), e sforzo normale $N=-F$.

Calcolati i raggi neutro e baricentrico come da tabella 2.1.1 p. 606, primo rigo, si utilizza la formula (2.1.14) p.607 per derivare le tensioni flessionali; la combinazione di momento flettente $M_\mathrm{f}<0$, $y_i>0$ e $y_e<0$ permette di derivare tali componenti di tensione con segno già corretto.

La tensione da sforzo normale si deriva -- sempre con segno -- dalla (2.2.1) p. 608.

Lo stato tensionale è uniassiale, e massimo in modulo all'intradosso. Valutata in 820 MPa la tensione critica flessionale all'origine per il materiale dal diagramma di Goodman a p. 254, si rileva un coefficiente di sicurezza 
$$n=\frac{\sigma_\mathrm{crit,orig}}{
\max
  \left(
    \left|
      \sigma_\mathrm{f,i}+\sigma_\mathrm{n}
    \right|,
    \left|
      \sigma_\mathrm{f,e}+\sigma_\mathrm{n}
    \right|
  \right)
}$$

Data la natura uniassiale dello stato tensionale, le componenti circonferenziali di deformazione sono derivabili semplicemente dividendo per il modulo elastico le associate componenti di tensione, ottenendo quindi $\epsilon_\mathrm{i}=\frac{1}{E}\left(\sigma_\mathrm{f,i}+\sigma_\mathrm{n}\right)$ e $\epsilon_\mathrm{e}=\frac{1}{E}\left(\sigma_\mathrm{f,e}+\sigma_\mathrm{n}\right)$.


===== Es. 3 =====

La tensione per la verifica a taglio del ramo di forcella è valutabile utilizzando la formula (3.7) a p.532; il coefficiente di sicurezza è valutabile mediante la (3.9) p.533, con la tensione tagliante critica all'origine estratta dal diagramma di Goodman del materiale a p.250 (risulta pari a $\tau_s$ torsionale).

Le tensioni nominali sono calcolabili ai punti A e B utilizzando le formule (5.2.3) e (5.2.2) p.329-330, rispettivamente.  
I fattori di forma per il calcolo delle tensioni teoriche sono derivabili da Fig. 5.2.8 p.329, con $\frac{r_\mathrm{i}}{r_\mathrm{e}}=\frac{d}{w}=0.3$, da cui $\alpha_\mathrm{k,A}$=4,15 e $\alpha_\mathrm{k,B}$=1,58 ($\pm 5 \% $).


===== Es. 4 =====
Siano $d$ il diametro del filo, $n$ il numero di spire, $R$ il raggio medio di spira, $G=\frac{E}{2\left(1+\nu\right)}$ il modulo di taglio.

L'altezza a pacco risulta pari a $nd$; il precarico della molla al montaggio $P_\mathrm{A}$ e in condizioni di massima compressione $P_\mathrm{B}$ sono calcolabili adattando la formula (2.7) p.646
$$
\ell_\mathrm{0}-\ell_\mathrm{A}=\frac{64 P_\mathrm{A} R^3 n}{Gd^4}
$$
$$
\ell_\mathrm{0}-\ell_\mathrm{B}=\frac{64 P_\mathrm{B} R^3 n}{Gd^4}
$$

Le tensioni taglianti((dovute all'effetto combianato di momento torcente e taglio; qui //tensione tagliante// è -- come nell'uso comune -- sinonimo di //tensione tangenziale//, e non indica un riferimento alla sola componente //Taglio// dell'azione interna.)) superiori ed inferiori di ciclo sono ottenibili sostituendo nelle formule (2.3) p. 644 i valori di $P_\mathrm{B}$ e $P_\mathrm{A}$, rispettivamente.

Il ciclo risulta di natura pulsante, e dal diagramma di Goodman a p.251 la tensione tagliante critica per l'associato coeff. $K$ coincide con la tensione critica statica $\tau_s$ torsionale.
Il coefficiente di sicurezza viene calcolato come rapporto $N=\frac{\tau_s}{\tau_\mathrm{sup}}$.