====== Derivazione delle deformazioni dal campo degli spostamenti mediante utilizzo dell'inversa della matrice Jacobiana ======
===== Definizione spostamenti =====
{{:wikipaom2017:wiki2.png?400|}}
piano fisico e naturale
Per ogni punto di coordinate ξ,η possiamo ricavare l’associato punto in coordinate x,y semplicemente definendo le 4 funzioni di forma:
$$N_{1,2,3,4} = \frac{\left ( 1\pm \xi \right )\left ( 1\pm \eta \right )}{4}$$
il legame diventa:
$$\left\{\begin{matrix}
x(\xi, \eta ) =\sum_{i}^{4}N_{i}(\xi, \eta )x_{i}\qquad(1)\\
y(\xi, \eta ) =\sum_{i}^{4}N_{i}(\xi, \eta )y_{i}
\end{matrix}\right.$$
Allo stesso modo, utilizzando le stesse funzioni di forma, è possibile definire gli spostamenti:
$$U\left ( \xi ,\eta \right )=\sum_{i=1}^{4} N_{i}\left ( \xi ,\eta \right )U_{I}\qquad(2)$$
===== Definizione deformazioni =====
Si vogliano, ora, calcolare $\varepsilon _{x},\varepsilon _{y}, \gamma _{xy}$ partendo dagli spostamenti interpolati:
$$\varepsilon _{x}= \frac{\partial u}{\partial x}$$
$$\varepsilon _{y}= \frac{\partial v}{\partial y}$$
$$\gamma _{xy}= \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$
In forma matriciale:
$$\underline{\varepsilon }=\begin{bmatrix}
\varepsilon _{x}\\
\varepsilon _{y}\\
\varepsilon _{xy}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
1 &0 &0 &0 \\
0&0 &0 &1 \\
0 &1 &1 &0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{\delta u}{\delta x}\\
\frac{\delta u}{\delta y}\\
\frac{\delta v}{\delta x}\\
\frac{\delta v}{\delta y}
\end{bmatrix}\qquad(3)$$ La matrice 3x4 nella (3) viene indicata come $\underline{H}$.
Calcolare queste derivate è complesso, è molto più semplice ricavare:
$$\frac{\partial u}{\partial \xi }, \frac{\partial u}{\partial \eta }, \frac{\partial v}{\partial \xi }, \frac{\partial v}{\partial \eta }$$
Quest'ultime, infatti, sono legate alle derivate in ξ,η delle funzioni di forma e alle coordinate nodali:
$$\begin{bmatrix}
\frac{\delta u}{\delta \xi }\\
\frac{\delta u}{\delta \eta }\\
\frac{\delta v}{\delta \xi }\\
\frac{\delta v}{\delta \eta }
\end{bmatrix}
=
\underline{Q}(\xi ,\eta)
\begin{bmatrix}
u_{1}\\
v_{1}\\
u_{2}\\
v_{2}\\
u_{3}\\
v_{3}\\
u_{4}\\
v_{4}
\end{bmatrix}\qquad(4)$$
Avendo definito $\underline{Q}(\xi ,\eta )$ come:
$$\underline{Q}(\xi ,\eta )=
\begin{bmatrix}
\frac{\delta N_{1}}{\delta \xi } &0 &\frac{\delta N_{2}}{\delta \xi } &0 &\frac{\delta N_{3}}{\delta \xi } &0 &\frac{\delta N_{4}}{\delta \xi } &0 \\
\frac{\delta N_{1}}{\delta \eta } &0 &\frac{\delta N_{2}}{\delta \eta } &0 &\frac{\delta N_{3}}{\delta \eta } &0 &\frac{\delta N_{4}}{\delta \eta } &0 \\
0&\frac{\delta N_{1}}{\delta \xi }& 0 & \frac{\delta N_{2}}{\delta \xi } &0 &\frac{\delta N_{3}}{\delta \xi } &0 &\frac{\delta N_{4}}{\delta \xi } \\
0& \frac{\delta N_{1}}{\delta \eta }& 0 & \frac{\delta N_{2}}{\delta \eta } &0 &\frac{\delta N_{3}}{\delta \eta } &0 &\frac{\delta N_{4}}{\delta \eta }
\end{bmatrix}$$
Ed essendo:
$$\underline{δ}=
\begin{bmatrix}
u_{1}\\
v_{1}\\
u_{2}\\
v_{2}\\
u_{3}\\
v_{3}\\
u_{4}\\
v_{4}
\end{bmatrix}$$
il vettore degli spostamenti nodali (indipendenti da ξ,η).
Il legame tra le derivate di u e v, nei due sistemi di riferimento, era stato calcolato come:
$$
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial \xi}
\\\frac{\partial u }{\partial \eta}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi}
\\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x}
\\\frac{\partial u}{\partial y}
\end{bmatrix}
$$
$$
\begin{bmatrix}
\frac{\partial v}{\partial \xi}
\\\frac{\partial v }{\partial \eta}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi}
\\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
\frac{\partial v}{\partial x}
\\\frac{\partial v}{\partial y}
\end{bmatrix}
$$
é possibile allora definire lo Jacobiano trasposto e condensare le due matrici in una sola:
$$\left [ \underline{\underline{J}}^T \right ]^{-1}=\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi}
\\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta}
\end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}
\frac{\delta u}{\delta x}\\
\frac{\delta u}{\delta y}\\
\frac{\delta v}{\delta x}\\
\frac{\delta v}{\delta y}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\underline{J_{11}^{-1}} &\underline{J_{12}^{-1}} &0 &0 \\
\underline{J_{21}^{-1}} &\underline{J_{22}^{-1}} &0 &0 \\
0& 0 & \underline{J_{11}^{-1}} &\underline{J_{12}^{-1}} \\
0 & 0& \underline{J_{21}^{-1}} &\underline{J_{22}^{-1}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{\delta u}{\delta \xi}\\
\frac{\delta u}{\delta \eta}\\
\frac{\delta v}{\delta \xi}\\
\frac{\delta v}{\delta \eta}
\end{bmatrix}\qquad(5)$$
La matrice 4x4 trovata nell'equazione (5) si indica con $J_{inv}^{*}$.
Possono essere descritte a questo punto le deformazioni nel sistema naturale:
$$\underline{\varepsilon }=\underline{H}\cdot \underline{J_{inv}^{*}}(\xi ,\eta )\cdot \underline{Q}(\xi ,\eta )\cdot \underline{\delta }\qquad(6)$$
In analogia a quanto fatto per il triangolare 3 nodi è possibile chiamare:
$$\underline{H}\cdot \underline{J_{inv}^{*}}\cdot \underline{Q}=\underline{B}(\xi, \eta )\qquad(7)$$
e quindi definire la matrice rigidezza dell'elemento come:
$$\underline{\underline{K}}=\iint_{a}\underline{\underline{B}}^T\left ( \xi ,\eta \right )\underline{\underline{D}} \underline{\underline{B}}\left ( \xi ,\eta \right )\partial a\qquad(8)$$
Il $\partial a$ è espresso in x,y ma non è comodo integrare in questo dominio, quindi è necessario effettuare un cambio di variabile, in modo da poter integrare in ξ,η.
==== Osservazione su $J_{inv}^{*}$ ====
Lo Jacobiano è calcolato attraverso le derivate di x,y in ξ,η, le quali x,y sono legate alle funzioni di forma attraverso la (1). Quindi, lo Jacobiano avrà dei termini lineari in ξ e dei termini lineari in η:
$$J=\begin{bmatrix}
a+b\eta & c+d\xi
\\e+f\eta & g+h\xi
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
A & C
\\B & D
\end{bmatrix}$$
$$\left [ \underline{\underline{J}}^T \right ]=\begin{bmatrix}
A & B
\\C & D
\end{bmatrix}$$
$$\left [ \underline{\underline{J}}^T \right ]^{-1}=\frac{1}{AD-BC}\begin{bmatrix}
D & -B
\\-C & A
\end{bmatrix}$$
A,B,C,D sono lineari in ξ,η ma nell'inversa dello Jacobiano trasposto compaiono anche al denominatore, quindi si ottiene una razionale fratta che non è più semplicemente lineare. Di conseguenza, finché l'ordine al denominatore è basso si ottengono formule esatte per l'integrazione ma, ad esempio, un 8 nodi non è più integrabile in forma esatta.
===== Correlazione tra $\partial a$ e $\partial ξ\partial η$ =====
Si prenda un punto in ξ,η e lo si incrementi di un dξ e di un dη lungo le due direzioni fino ad ottenere il quadratino di area dξdη:
{{:wikipaom2017:20170514_123351.jpg?200|}}
Elemento d'area in ξ,η
Questo quadratino viene trasformato nel piano x,y in questo modo:
{{:wikipaom2017:20170514_123351_2.jpg?200|}}
Elemento d'area in x,y
* il punto 1 è mappato in x(ξ,η) - y(ξ,η)
* il punto 2 è mappato in x(ξ+dξ,η) - y(ξ+dξ,η)
* il punto 3 è mappato in x(ξ+dξ,η+dη) - y(ξ+dξ,η+dη)
* il punto 4 è mappato in x(ξ,η+dη) - y(ξ,η+dη)
L'area dell'elemento in figura (3) è difficile da calcolare, è possibile, però, ottenere quest'ultima come somma delle aree di due triangoli che lo compongono (come rappresentato nella fig.3).
Pertanto, di seguito, è riportato il calcolo di questi sottoelementi.Valendo:
$$F\left ( \xi +d\xi ,\eta \right )\simeq F\left ( \xi ,\eta \right )+\frac{\partial F}{\partial \xi }|_{\xi ,\eta}d\xi $$
$$F\left ( \xi ,\eta +d\eta \right )\simeq F\left ( \xi ,\eta \right ) +\frac{\partial F}{\partial \eta }|_{\xi ,\eta}d\eta$$
$$F\left ( \xi +d\xi ,\eta +d\eta \right )\simeq F\left ( \xi ,\eta \right )+\frac{\partial F}{\partial \xi }|_{\xi ,\eta}d\xi +\frac{\partial F}{\partial \eta }|_{\xi ,\eta}d\eta$$
è possibile scrivere l'area del triangolo 124 come:
$$A_{124|(x,y)}=\frac{1}{2!}\begin{vmatrix}
1 & 1 &1 \\
x\left ( \xi ,\eta \right )& x(\xi ,\eta )+\frac{\partial x}{\partial \xi }d\xi & x(\xi ,\eta )+\frac{\partial x}{\partial \eta }d\eta \\
y\left ( \xi ,\eta \right ) & y(\xi ,\eta )+\frac{\partial y}{\partial \xi }d\xi& y(\xi ,\eta )+\frac{\partial y}{\partial \eta }d\eta
\end{vmatrix}$$
Utilizzando una regola delle matrici per cui "la sottrazione di una riga per una combinazione di un'altra, non cambia il determinante" si ha:
$$A_{124|(x,y)}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
1 & 1 &1 \\
0& \frac{\partial x}{\partial \xi }d\xi & \frac{\partial x}{\partial \eta }d\eta \\
0 & \frac{\partial y}{\partial \xi }d\xi& \frac{\partial y}{\partial \eta }d\eta
\end{vmatrix}$$
Sviluppando i calcoli:
$$A_{124|(x,y)}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\frac{dx}{d\xi} & \frac{dx}{d\eta}\\
\frac{dy}{d\xi} & \frac{dy}{d\eta}
\end{bmatrix} d\xi d\eta = \frac{1}{2}\left | J \right | d\xi d\eta$$
Occorre notare che il determinante all'interno della formula presentata non è altro che il determinante della matrice Jacobiana, lo Jacobiano e le derivate in esso presenti sono valutate nello specifico $ξ$ ed $η$, essendo sviluppi nell’intorno del punto generico.
Inoltre il triangolo identificato nel piano ($x$,$y$) è la trasposizione sul piano fisico di quello presente sul piano ($ξ$,$η$): l’area $A_{124}$ è propria del triangolo sul piano naturale trasformato in quello fisico, mentre l’area del medesimo triangolo sul piano fisico ($ξ$,$η$) era
$$A_{124|(\xi,\eta)}= \frac{1}{2} d\xi d\eta $$
Questo vuol dire che il legame fra l’area del triangolo nel piano fisico e quello naturale è semplicemente il determinante della Jacobiana: infatti quest’ultimo è quel fattore che scala l’area sul piano naturale per ottenere quella sul piano fisico.
Svolgendo i medesimi passaggi per il triangolo 234, si trova un’identica relazione:
$$A_{234|(x,y)}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\frac{dx}{d\xi} & \frac{dx}{d\eta}\\
\frac{dy}{d\xi} & \frac{dy}{d\eta}
\end{bmatrix} d\xi d\eta = \frac{1}{2}\left | J \right | d\xi d\eta$$
Allora lo Jacobiano è il fattore che trasforma $A_{124}$ sul piano naturale in quella del triangolo 124 sul piano fisico ed anche $A_{234}$ appartenente al piano naturale a quella nel piano fisico.
A questo punto si ha che:
$$dA_{(x,y)}=|J| dA_{(\xi,\eta)}$$
Allora la Matrice di Rigidezza dell’elemento sarà:
$$\underline{K}=\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\underline{B}^T(\xi,\eta)\ \underline{D}\ \underline{B}(\xi,\eta)\left | J \right |_{(\xi,\eta)}d\xi d\eta$$