Il foro viene dichiarato molto piccolo nel testo, per cui si ritengono ammissibili soluzioni basate sulle ipotesi semplificative
così come sono state ritenute corrette le soluzioni
Le tensioni nominali da utilizzarsi per il calcolo delle teoriche a bordo foro valgono:
I fattori di forma valgono
Il fattore di sensibilità all'intaglio vale $\eta_\mathrm{k}=0.4960$ dalla terza delle Eqs. (4.2.2) p. 306; è stata ritenuta formalmente corretta (quantunque discutibile nelle applicazioni pratiche) anche la valutazione $\eta_\mathrm{k}=0$ in virtù dell'interpretazione “foro molto piccolo in assoluto”.
Le tensioni effettive sono infine da valutarsi come:
Il momento resistente $M_\mathrm{R}$ applicato in estremità d'albero costituisce sollecitazione di momento torcente per l'intero albero, e momento di riferimento per il dimensionamento della trasmissione a cinghia.
In particolare la differenza di tiro tra i rami della cinghia è da valutarsi come $$T_1-T_2=\frac{M_\mathrm{R}}{\frac{D_2}{2}};$$ il precarico della cinghia viene quindi valutato come da indicazione del testo in $$ F = T_1+T_2 = 4.5 \cdot \frac{2 M_\mathrm{R}}{D_2} $$
Il momento flettente massimo si ha in corrispondenza del supporto superiore e vale $M_f=F \cdot a$; le tensioni flessionali risultano quindi $$\sigma_f=\frac{F a}{\frac{\pi d^3}{32}}$$ con ciclo all'inversione.
Tali tensioni sono modulate all'inversione – il carico $F$, fisso rispetto a terra, risulta rotante per l'albero – e l'associata tensione critica è il limite di fatica all'inversione, che per dal diagramma di Goodman del C40 a p. 250 risulta essere 280 MPa.
L'indicazione del testo “considerando un'esplosione a ventaglio del ciclo di fatica” formalizza la consuetudine di rifersirsi alla tensione critica all'inversione per componenti di tensione modulate all'inversione (k=0), alla tensione critica all'origine per tensioni all'origine (k=0.5), e alla tensione critica statica per tensioni statiche (k=1).
Il valore massimo del taglio, pari a $F$, si osserva sul tratto lungo $a$ che va dalla puleggia al primo supporto, e – nello schema a supporti concentrati – interessa anche la sezione in cui il momento flettente è massimo. L'associato valore tensionale è $$\tau_T=\frac{4}{3}\frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}}$$ ed è da confrontarsi con la il valore di tensione critica tagliante all'inversione, valutata in 160 MPa dal Goodman del momento torcente proprio del C40.
Il momento torcente $M_\mathrm{R}$ induce sull'intero albero una tensione tagliante da momento torcente pari a $$\tau_{M_t}=\frac{M_\mathrm{R}}{\frac{\pi d^3}{16}},$$ da confrontarsi con la controparte critica statica – o all'origine, assumendo cicli ripetuti di accensione/spegnimento del mescolatore – pari a 220 MPa. Per il materiale C40 in oggetto, tensioni critiche all'origine e statiche coincidono.
Il coefficiente di sicurezza $n$ dell'albero, da valutarsi alla sezione posta in corrispondenza del supporto superiore, si ricava infine dalla formula (2.2.20) a p. 562. $$ \left(\frac{\sigma_f}{\sigma_{f,cr,inv}}\right)^2+\left(\frac{\tau_T}{\tau_{cr,inv}}+\frac{\tau_{M_t}}{\tau_{cr,stat}}\right)^2= \frac{1}{n^2} $$
La pressione $p_i$ di incipiente plasticizzazione si calcola a partire da Eq. (5.4) p. 673, ponendo $\Delta p = p_i$.
Tale formula è applicabile in quanto ricavata dal criterio di Tresca come indicato dal testo, e in quanto basata sull'ipotesi sempre verificata nel caso di tubo/recipiente con fondi di componente assiale di tensione di valore intermedio tra le controparti radiale e circonferenziale.
Al bordo interno le componenti radiale, circonferenziale e assiale di tensione sono ricavabili come
Le componenti di deformazione assiale e circonferenziale al bordo interno – utili ad esempio per valutare l'aumento di volume del recipiente qualora pressurizzato – sono valutabili sulla base delle Eq. (4.1) p. 129 in
Lo spostamento radiale al bordo interno è valutato in $u=\epsilon_\theta r_i$ sulla base della seconda delle Eq. (2.2) p. 115.
La condizione di pari tensione globale e ovalizzante in mezzeria allo spinotto si ottiene combinando le formule (3.2.1-6), ottenendo – posto $\eta=\frac{di}{de}$
$$l=\frac{ \sqrt{3 \pi} \left( 1+\eta \right) \sqrt{1+\eta^2}}{4 \sqrt{1-\eta}} d_e=59.412\, \mathrm{mm}$$
Considerando un motore lento – e quindi uno spinotto sollecitato solo in fase di combustione, e dal solo carico associato alle pressioni dei gas – la condizione di criticità alla sezione di mezzeria si può valutare sulla base della (3.2.11) a p. 817, posto
si ottiene $$\sigma_o=\sigma_g=\frac{\sigma_\mathrm{crit,or}}{\sqrt{3}},$$ da cui $$P=\frac{8 W_g}{l}\frac{\sigma_\mathrm{crit,or}}{\sqrt{3}}=\frac{8 W_o}{r_m}\frac{\sigma_\mathrm{crit,or}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{\pi}}{3}\left(1-\eta\right)^\frac{3}{2} \sqrt{1+\eta^2} \cdot d_e^2 \sigma_\mathrm{crit,or}=127227.8\,\mathrm{N} $$
La tensione tagliante ai passaggi di portata risulta per tale carico $P$ pari a $$\tau_T=\frac{4}{3}\left(1+\frac{1}{\eta +\frac{1}{\eta}}\right)\frac{\frac{P}{2}}{\left(1-\eta^2\right)\frac{\pi d_e^2}{4}}=292.64\,\mathrm{MPa},$$ vedasi Eq. (3.2.24) p. 821.
Tale valore di tensione tagliante è piuttosto elevato, e suggerisce la possibilità – spesso rilevata in applicazioni pratiche – che la sezione dello spinotto al passaggio di portata risulti più sollecitata di quella in mezzeria.
Si valuta in funzione del carico di combustione $Q$ la tensione tagliante al passaggio di portata, ottenendo dalla Eq. (3.2.24)
$$\tau_T=\lambda_T \left(\frac{d_i}{d_e},\frac{l}{d_e}\right) \frac{Q}{d_e^2}$$
Si valuta in funzione dello stesso carico di combustione $P^{\prime\prime}$ la tensione ovalizzante, ottenendo dalle Eq. (3.2.4-6)
$$\sigma_o=\lambda_o\left(\frac{d_i}{d_e},\frac{l}{d_e}\right) \frac{Q}{d_e^2}$$
Facoltativamente, può essere valutata anche la componente di tensione indotta dall'azione dello sforzo normale, vedasi Eq. (3.2.25) e (3.2.31),
$$\sigma_N=\lambda_N \left(\frac{d_i}{d_e},\frac{l}{d_e}\right) \frac{Q}{d_e^2};$$
tale componente – in quanto normalmente piccola – potrebbe essere ignorata in un calcolo di prima approssimazione.
A questo punto, in analogia con Eq. (3.2.32) p. 822 si scrive
$$\left( \left( \frac{\lambda_o}{\sigma_\mathrm{f,crit, orig.}} \underbrace{ +\frac{\lambda_N}{\sigma_\mathrm{N,crit, orig.}} }_\mathrm{facoltativo} \right)^2 +\left( \frac{\lambda_T} {\tau_\mathrm{crit, orig.}} \right)^2\right)\left(\frac{Q}{d_e^2}\right)^2 =\frac{1}{n^2}$$
da cui si ricava, posto $n=1$, $Q$.