Si abbandona l'idea di studiare un solo elemento triangolare, passando alla visione globale di una struttura, composta da tre elementi $1, 2, 3$ ed i rispettivi nodi $1, 2, 3, 4, 5$, come riportato in figura. I vertici di ogni elemento triangolare sono indicati da tre indici assunti in senso antiorario, rispettivamente i, j, k.

Matrice di rigidezza elemento 1, espressa come relazione tra forze e spostamenti ai nodi dell'elemento 1. Equivalenza tra numerazione locale e globale $[1i] \equiv 4$, $[1j] \equiv 5$, $[1k] \equiv 2$.

$$ \begin{bmatrix} U_{[1i],1}\\ V_{[1i],1}\\ U_{[1j],1}\\ V_{[1j],1}\\ U_{[1k],1}\\ V_{[1k],1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} & a_{26} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} & a_{36} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} & a_{46} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} & a_{56} \\ a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{65} & a_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{[1i]}\\ v_{[1i]}\\ u_{[1j]}\\ v_{[1j]}\\ u_{[1k]}\\ v_{[1k]} \end{bmatrix} $$

Matrice di rigidezza elemento 2. Equivalenza tra numerazione locale e globale $[1i] \equiv 2$, $[1j] \equiv 5$, $[1k] \equiv 3$.

$$ \begin{bmatrix} U_{[2i],2}\\ V_{[2i],2}\\ U_{[2j],2}\\ V_{[2j],2}\\ U_{[2k],2}\\ V_{[2k],2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} & b_{15} & b_{16} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} & b_{25} & b_{26} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} & b_{35} & b_{36} \\ b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44} & b_{45} & b_{46} \\ b_{51} & b_{52} & b_{53} & b_{54} & b_{55} & b_{56} \\ b_{61} & b_{62} & b_{63} & b_{64} & b_{65} & b_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{[2i]}\\ v_{[2i]}\\ u_{[2j]}\\ v_{[2j]}\\ u_{[2k]}\\ v_{[2k]} \end{bmatrix} $$

Matrice di rigidezza elemento 3. Equivalenza tra numerazione locale e globale $[1i] \equiv 1$, $[1j] \equiv 3$, $[1k] \equiv 5$.

$$ \begin{bmatrix} U_{[3i],3}\\ V_{[3i],3}\\ U_{[3j],3}\\ V_{[3j],3}\\ U_{[3k],3}\\ V_{[3k],3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & c_{15} & c_{16} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} & c_{25} & c_{26} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} & c_{35} & c_{36} \\ c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44} & c_{45} & c_{46} \\ c_{51} & c_{52} & c_{53} & c_{54} & c_{55} & c_{56} \\ c_{61} & c_{62} & c_{63} & c_{64} & c_{65} & c_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{[3i]}\\ v_{[3i]}\\ u_{[3j]}\\ v_{[3j]}\\ u_{[3k]}\\ v_{[3k]} \end{bmatrix} $$

Si vuole per esempio scrivere l'equazione di equilibrio in direzione $x$ del nodo 2.

Si suppone che sul nodo 2 agisca una forza esterna nodale P, scomponibile in due componenti ($P_{x}$, $P_{y}$). Sullo stesso nodo agiscono le reazioni degli elementi triangolari 1 e 2, che si indicano rispettivamente con $U_{2,1}$ e $U_{2,2}$, in cui il primo indice si riferisce al nodo mentre il secondo indica l'elemento. L'equazione di equilibrio è $P_{x}$= $U_{2,1}$ + $U_{2,2}$, dove:

$U_{2,1}$=$a_{5,1}u_4+a_{5,2}v_4+a_{5,3}u_5+a_{5,4}v_5+a_{5,5}u_2+a_{5,6}v_2 $

$U_{2,2}$=$b_{1,1}u_2+b_{1,2}v_2+b_{1,5}u_3+b_{1,6}v_3+b_{1,3}u_5+b_{1,4}v_5 $

La componente $U_{2,3}$ è nulla in quanto l'elemento 3 non contribuisce all'equilibrio del g.d.l. in questione, ovvero contribuisce con contributo nullo. In generale, solo una ridotta porzione di elementi - quelli che concorrono al nodo - contribuiscono all'equilibrio del nodo; l'equazione di equilibrio viene quindi costruita partendo da una forma (temporanea!!!) priva di contributi, andando via via ad aggiungere i termini che concorrono a definire l'equilibrio. Da notarsi che l'equazione acquisisce un completo significato fisico solo nella sua forma finale.

Si può notare che passando dal singolo elemento alla struttura, la matrice quadrata delle rigidezze aumenta la propria dimensione, da 6×6 a 10×10, a causa della presenza dei 5 nodi della struttura globale. Le espressioni $U_{2,1}$ e $U_{2,2}$ risultano essere:

$U_{2,1}$=$0+0+a_{5,1}u_4+a_{5,2}v_4+0+0+a_{5,3}u_5+a_{5,4}v_5+a_{5,5}u_2+a_{5,6}v_2 $

$U_{2,2}$=$0+0+b_{1,1}u_2+b_{1,2}v_2+b_{1,5}u_3+b_{1,6}v_3+0+0+b_{1,3}u_5+b_{1,4}v_5 $

dove gli zeri sono posizionati in corrispondenza dei nodi che non danno contributo all'equilibrio del nodo 2.

$$ \begin{bmatrix} \cdot\\ \cdot\\ U_2\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & a_{5,5}+b_{1,1} & a_{5,6}+b_{1,2} & b_{1,5} & b_{1,6} & a_{5,1} & a_{5,2} & a_{5,3}+b_{1,3} & a_{5,4}+b_{1,4} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\ v_1\\ u_2\\ v_2\\ u_3\\ v_3\\ u_4\\ v_4\\ u_5\\ v_5\end{bmatrix} $$

La regola generale per la codifica sui nodi è la seguente: se $n$ è un generico nodo, il grado di libertà lungo $x$ è associato all'indice $2n-1$, mentre quello lungo $y$ va associato all'indice $2n$. Facendo riferimento all'immagine sottostante ed esaminando l'elemento $1$, si può notare che: al vertice $4$, a cui corrispondono gli indici di riga e colonna $1$ e $2$, della matrice rigidezza $6x6$, sono associati, per la regola generale della codifica dei nodi, gli indici di riga e colonna $7$ e $8$, della matrice rigidezza $10x10$.

$(2n)-1=(2*4)-1=7$

$(2n)=(2*4)=8$

Analogo procedimento va eseguito per gli altri indici nodali.

aggiungere funzione di forma nodo j

Si ricordi che i nodi non si possono sdoppiare o aprire ed i lati non possono sovrapporsi (compenetrazione di materiale) o allontanarsi (creazione di aria) perché il campo di spostamenti è lineare.

Quando ad un componente reale viene applicato un carico esterno, esso risulta essere distribuito sulla superficie. Tuttavia, data la natura discreta dell’oggetto che si studia, con riferimento alla teoria degli elementi finiti, appare evidente la necessità di trasformare il carico distribuito in forze applicate ai nodi dell'elemento. Si consideri il seguente caso:

In cui si indica con $ξ$ l'ascissa coincidente con un lato dell'elemento triangolare e con $i$ e $j$ i nodi. Attraverso l'analisi FEM si ha il passaggio dal carico distribuito alle forze nodali.

Si può notare che le forze nodali risultano essere scomposte lungo le direzioni x e y. Si procede con un approccio energetico in quanto bisogna trovare l'equivalente tra tensioni e forze. Per qualsiasi spostamento del lato in esame, il lavoro compiuto dalle forze nodali è equivalente al lavoro compiuto dalle azioni distribuite. Si considera l'esempio lungo la direzione x:

in cui si ha solamente lo spostamento $u$ del nodo j mentre gli altri nodi rimangono fermi; si utilizzano le funzioni di forma, che si possono scrivere come:

$N_{j}(x(ξ),y(ξ))u_{j}$

Facendo riferimento ad una porzione infinitesima si ha:

L'equazione del lavoro è:

$F_{x_{j}}*u_{j}= \int_{0}^{l}(N_{j}(x(ξ),y(ξ))u_{j})(p(ξ)cos(α)+q(ξ)cos(β))\, dξ $

dove $α+β=90°$

Il primo fattore presente nell'integrale rappresenta lo spostamento, mentre il secondo identifica la forza infinitesima. Dimensionalmente si ha che $F_{x_{j}}$ si esprime in $N/mm$ ovvero newton per unità di spessore.

: si possono utilizzare le normali funzioni di forma dell'elemento invece che definire una nuova ascissa curvilinea e funzioni di forma di lato

Le funzioni di forma non sono sempre lineari; ad esempio considerando il triangolo a 6 nodi, oppure il quadrato ad 8 nodi, si può constatare che esse risultano essere quadratiche (paraboliche) e non lineari.

manca funzione di forma nodo j

Tornando ad esaminare la struttura a 5 nodi si può notare che essa è priva di vincoli. In tali condizioni il sistema associato alla struttura risulta avere $∞^3$ soluzioni, non riuscendo a risolvere numericamente il problema. La teoria FEM prevede che le forze nodali siano note e che gli spostamenti siano incogniti. Una struttura non vincolata risulterebbe essere labile, il che implicherebbe la non agevole valutazione degli spostamenti. L'introduzione dei vincoli fa si che la determinazione degli spostamenti sia possibile, in quanto la struttura risulta essere isostatica e quindi presentare un'unica soluzione. Per imporre dei valori predefiniti agli spostamenti è necessario lavorare sull'equazione di equilibrio delle forze nodali. Affinché la collocazione dei vincoli sia ottimale è necessario che l'asse della cerniera non sia concorrente a quello del carrello.

Ritornando al caso visto in precedenza, il sistema di equazioni dell'equilibrio $previncolamento$ è dato dalla relazione scritta in forma matriciale:

$K δ = F$

Si suppone di voler applicare un vincolo alla struttura, in particolare si vuole bloccare lo spostamento lungo la direzione $y$ del nodo 4, imponendo l'equazione di congruenza del vincolo $v_4= c$. Per l'introduzione di tale equazione è necessario cancellare un'equazione già presente nel sistema di partenza; più precisamente si cancellerà l'equazione relativa allo spostamento lungo $y$ del nodo $4$; questo perché il vincolo introdotto bilancia tutto.

$$ \begin{bmatrix} \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ c\\ \cdot\\ \cdot\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \Box_1 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \Box_2 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \Box_3 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \Box_4 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \Box_5 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \Box_6 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \Box_7 & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \Box_9 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \Box_{10} & \cdot & \cdot \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\ v_1\\ u_2\\ v_2\\ u_3\\ v_3\\ u_4\\ v_4\\ u_5\\ v_5\end{bmatrix} $$

Annullando però i termini della matrice $K$ alla riga considerata, si annulla anche la simmetria della stessa; per rendere nuovamente simmetrica tale matrice si dovranno annullare anche i termini simmetrici a quelli della riga considerata. Possono presentarsi due diversi casi:

• Nel caso in cui la forza risulta essere nulla, non si hanno problemi in quanto lo spostamento sarà identicamente nullo;
• Nel caso in cui la forza risulta essere diversa da zero, l'annullamento dei termini della riga non causa problemi, cosa che invece accade quando si vogliano annullare i termini della colonna.

In tal caso, infatti, lo spostamento non sarà più identicamente nullo, il che implica che i prodotti degli elementi, che si collocano sulla 8° colonna e lo spostamento associato risultano essere noti, per cui si portano a destra dell'uguale, essendo termini noti.

$$ \begin{bmatrix} \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ c\\ \cdot\\ \cdot\\ \end{bmatrix} - c\cdot \begin{bmatrix} \Box_1\\ \Box_2\\ \Box_3\\ \Box_4\\ \Box_5\\ \Box_6\\ \Box_7\\ 0\\ \Box_9\\ \Box_{10}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 & \cdot & \cdot \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\ v_1\\ u_2\\ v_2\\ u_3\\ v_3\\ u_4\\ v_4\\ u_5\\ v_5\end{bmatrix} $$

Ovviamente si procederà analogamente per l'introduzione di altri vincoli.