Un’altra forma per lo Jacobiano, se lo si vuole scrivere in maniera più rapida, è quella illustrata: $$ J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial x}{\partial \eta} \\ \frac{\partial y}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial N_1}{\partial \xi} & \frac{\partial N_1}{\partial \eta} \\ \frac{\partial N_2}{\partial \xi} & \frac{\partial N_2}{\partial \eta} \\ \frac{\partial N_3}{\partial \xi} & \frac{\partial N_3}{\partial \eta} \\ \frac{\partial N_4}{\partial \xi} & \frac{\partial N_4}{\partial \eta} \end{pmatrix} $$

Lo Jacobiano è scritto in funzione delle coordinate nodali $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$, $y_{4}$, scritte in forma di matrice, moltiplicate per le derivate delle funzioni di forma in $\xi$ ed $\eta$.
In particolare, ad esempio, $\frac{\partial x}{\partial \xi}$ , che è il primo componente dello Jacobiano, lo vediamo come:

$$ \frac{\partial x}{\partial \xi} = x_{1} \frac{\partial N_{1}}{\partial \xi} + x_{2} \frac{\partial N_{2}}{\partial \xi} + x_{3} \frac{\partial N_{3}}{\partial \xi} + x_{4} \frac{\partial N_{4}}{\partial \xi} $$

Stesso dicasi per gli altri elementi.

Per ricavare la continuità degli spostamenti tra due elementi isoparametrici a quattro nodi non è strettamente necessario dover definire una trasformazione inversa in uno dei passaggi, ma è sufficiente fare qualche osservazione.

Facendo riferimento alla figura, abbiamo due elementi: elemento $1$ (“$ele1$”) ed elemento $2$ (“$ele2$”).
Questi elementi condividono un lato.
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ è la numerazione globale dei nodi.
Poi, affiancate a questa numerazione globale, ci sono le numerazioni locali.
Ad esempio: il nodo $2$ globale è il nodo $j$ di “$ele1$”, ma è anche il nodo $j$ di “$ele2$”, ovvero:

$$ [2] \equiv [1j] \equiv [2j] $$

Altro esempio: il nodo $5$ globale è il nodo $k$ di “$ele1$”, ma è anche il nodo $i$ di “$ele2$”, ovvero:

$$ [5] \equiv [1k] \equiv [2i] $$

L’idea è di definire una sorta di coordinata curvilinea, che in figura vediamo rappresentata sul piano $xy$, che valga $-1$ su un nodo e $1$ sull’ altro, e ovviamente passerà per uno zero, che nel caso specifico è in mezzeria.

Nella figura centrale abbiamo una rappresentazione leggermente spaccata, distanziata, del lato comune ai due elementi e vediamo ad esempio che sul lato di sinistra è possibile definire delle “funzioni di forma di lato”, derivate dalle “funzioni di forma di elemento”.
In particolare è possibile definire una funzione di forma che vale $1$ nel nodo $2$ globale (che nella figura centrale è il vertice in basso del lato di sinistra), e vale $0$ nel nodo $5$ globale (il vertice in alto del lato di sinistra), ed una seconda funzione di forma che vale $0$ nel nodo $2$ globale e vale $1$ nel nodo $5$ globale.

sorgente ipe

Hanno una corrispondenza con la funzione di forma del nodo locale.
A questo punto trovo una corrispondenza tra funzione di forma dell'elemento $1$ e funzione di forma dell'elemento $2$.
Dopo aver verificato che le due funzioni di forma evolvono in maniera maniere uguale, nel nostro caso lineare (si possono verificare anche casi quadratici), vedo che i due nodi dell'immagine dello spaccato si muovo insieme, muovendo $\xi$ i due punti si muovo insieme come se fossero lo stesso punto. (frecce blu) spostamento dei due punti.
Scorrendo $\eta$ da $-1$ a $1$ i due punti dello stesso lato hanno lo stesso identico spostamento
$\Rightarrow$ continuità degli spostamenti senza introdurre una funzione inversa.
L'imposizione di una funzione di qualsiasi tipo è arbitraria e ha ripercussioni sugli stati deformativi dell'elemento.

Esempio: fenomeno del Shear Locking (irrigidimento indotto dal taglio)

l'elemento dell'immagine $2$ ricopre un'area di spazio rettangolare.
In questo caso lo jacobiano vale
$x=a\xi$
$y=b\eta$
che corrispondono alla funzione mappatura;
$J$ allora vale

$$ \begin{pmatrix} a & 0\\ 0& b \end{pmatrix} $$

il cui determinante vale $ab$

supponiamo che l'elemento sia usato per modellare una trave a flessione

Posso confrontare la soluzione esatta del problema per flessione pura con il modo deformativo più vicino al caso precedente
$\Rightarrow$ è un modo deformativo a forma di trapezio.
Impongo la stessa rotazione delle face del concio di trave sia nel caso reale che isoparametrico 4 nodi. $ \frac{\theta}{2}$ è uguale per i due casi.
Ho una coppia flettente $C_{b}$ che genera la curvatura nel caso reale e $C_{el}$ nel caso isoparametrico quattro nodi.

Caso reale

$\varepsilon_{x}=-\frac{\theta y}{2a}=-\frac{\theta}{2}\frac{1}{a}y$
$\varepsilon_{y}$ nella soluzione esatta è generata dall'effetto poisson.
$\varepsilon_{y}=\nu\varepsilon_{x}=\nu\frac{\theta y}{2a}$ mentre $\sigma _{y}=0$ e $\sigma _{z}=0$
$\gamma _{xy}=0$ implica che il taglio è nullo

Caso isoparametrico quattro nodi

$\varepsilon_{x}=-\frac{\theta y}{2a}$
$\varepsilon_{y}=0$ (non ho spostamento in direzione $y$)
$\gamma _{xy}=-\frac{\theta x}{2a}$

Posso calcolare la differenza fra il modo calcolato numericamente e quello esatto
$\Rightarrow$ ho una deformazione spuria (in aggiunta a quella esatta).
Si nota che l'elemento isoparametrico quattro nodi si differenzia da quello reale per una deformazione $\gamma _{xy}$.
Sommando la soluzione esatta a $\gamma _{xy}$ dell'isoparametrico quattro nodi, ottengo la sa deformazione che è una deformazione di tipo tagliante.
Questo indica che quando rappresento un caso di pura flessione con un isoparametrico quattro nodi per i limiti delle funzioni di forma scelte ho una deformazione tagliante spuria, la quale assorbendo energia ha associato un contributo energetico il quale va sommato ai contributi energetici della soluzione esatta, generando un energia di deformazione maggiore e di conseguenza una maggiore per indurre lo stesso effetto.
$48\%$ di coppia in più per ottenere la stessa curvatura, cioè è il $48\%$ più rigido.
Se un elemento strutturale possiede $a>>b$ tale rapporto cala; al contrario se gli elementi sono molto lunghi $\frac{coppia_{iosa}}{coppia_{reale}}$ cresce.

Considero una generica struttura $FEM$ corpo elastico vincolato

sorgente ipe

(rette dei vincoli diverse da x e y)

il nodo ha un suo spostamento $\delta$ rappresentato da due componenti lungo $x$, $y$ (in coordinate globali)

$\vec{\delta}=u\widehat{x}+v\widehat{y}$

è possibile definire un sistema di coordinate diverso anche solo per il singolo nodo o una famiglia di nodi, in questo caso è possibile definire $\vec{\delta}$ come: $\vec{\delta}=p\widehat{r}+q\widehat{s}$ dove:
$\widehat{r}=r_{x}\widehat{x}+r_{y}\widehat{y}$ $(a)$ $\widehat{s}=s_{x}\widehat{x}+s_{y}\widehat{y}$ $(b)$

e $r_{x}=<\widehat{r}, \widehat{x}>, s_{x}=<\widehat{s}, \widehat{y}>$ sono i coseni direttori.

prendo le forme $(a)$, $(b)$ e le definisco imponendo il prodotto scalare.

$\vec{\delta}=pr_{x}\widehat{x}+pr_{y}\widehat{y}+qs_{x}\widehat{y}+qs_{y}\widehat{y}=(pr_{x}+qs_{x})\widehat{x}+(pr_{y}+qs_{y})\widehat{y}$

$u=pr_{x}+qx_{x}$ $v=pr_{y}+qs_{y}$

$$\begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r_{x} & s_{x}\\ r_{y}&s_{y} \end{pmatrix}\binom{p}{q}$$

che è la matrice di trasformazione da coordinate locali a coordinate globali.
Parto dalle incognite di un sistema $FEM$ cioè gli spostamenti $\begin{pmatrix} u_{1}
v_{1}
.
.
.
u_{i-1}
v_{i-1} \end{pmatrix}$

dove $v_{i-1}$ è l'ultimo nodo delle coordinate globali.

[matrice di trasformazione]

$\underline{\delta}$ può essere scritto in funzione di un vettore simile, identico fino a $v_{i-1}$ e identico da $u_{i+1}$ a $u_{N}$. In questo modo viene semplice imporre $u_{N}=0$

tutti gli elementi non diagonali (al di fuori dei quadratini (vedi matrice di trasformazione) sono elementi nulli.
Intorno alla diagonale ho dei blocchi di matrici con elementi diagonali pari a $1$, quindi $u_{1}$ e $v_{1}$ sono moltiplicati per la matrice identità e danno come risultato $u_{1}$ $v_{1}$.
Ogni blocco può contenere un'ipotetica trasformazione di riferimento da riferimento globale a un qualsiasi sistema locale.

$\underline{\delta}=\underline{\underline{T}}\underline{{\delta} ^{*}}$ $\underline{\underline{k}}\underline{\underline{T}}\underline{\underline{\delta}}=\underline{\underline{F}}$

facendo così perdo la simmetria della matrice; per recuperarla agisco come segue.

inserire formule

Può essere utile a volta imporre vincoli cinematica con spostamenti non nulli, per esempio nel caso del tubo pressurizzato.

sorgente ipe

vincolando isostaticamente vedo che il sistema si sposta: $-u_{k}=u_{j}$ e $v_{l}=-v_{i}$
considere i quattro nodi $i$, $j$, $k$, $l$

in generale posso imporre delle condizioni di forma, ossia impongo dei vincoli tra il grado di libertà $j-esimo$ e gli altri $i\neqj$.
[inserire formule]

Dal punto di vista matematico introduco una caratteristica di dipendenza $\delta_{j}$.
Si procede partendo da un vettore degli spostamenti $\vec{\delta}$.

inserire matrice

$\Rightarrow$ $\underline{\delta}=\underline{\underline{L}}\underline{\delta}^{*}$

inserisco questa forma nel sistema di equazioni di equilibrio nodali.

$KL/delta=F$

Si nota che si è persa la simmetria e si ha un numero di incognite maggiore

moltiplico per $L^{T}$

[inserire formule]

vincolando un grado di libertà perdo un'equazione e ci metto un equazione che impone la cinematica.
Supponiamo che $F$ di partenza descriva una struttura con un carico applicato in corrispondenza del grado di

inserire formule

Il carico $P$, che è applicato al nodo reso dipendente, viene implicitamente spalmato su tutti gli altri nodi con quei coefficienti $\alpha$.
Quindi vediamo che quello che era nato come un vincolo di dipendenza cinematica, è un oggetto che posso anche usare per spalmare un carico su più nodi.\ Proviamo a pensare ad un esempio.

Supponiamo io abbia una struttura di questo tipo:

sorgente ipe

ho degli elementi $hex8$, esaedri ad $8$ nodi (estensione tridimensionale dell'isoparametrico $4$ nodi), che compongono una specie di colonna.
Voglio spalmare un carico $P$ tra questi quattro nodi ($1$, $2$, $3$ ,$4$ in figura).
Quello che posso fare è creare un nodo $5$ al centro, in qualche modo svincolato dalla struttura (non è collegato a nessun elemento), in cui dico ad esempio che lo spostamento in direzione $x$ del nodo $5$ è uguale alla media degli spostamenti $1$, $2$, $3$, $4$, quindi:

$u_{5}=\frac{1}{4}u_{1}+\frac{1}{4}u_{2}+\frac{1}{4}u_{3}+\frac{1}{4}u_{4}$

Stessa cosa per lo spostamento in direzione $y$:

$v_{5}=\frac{1}{4}v_{1}+\frac{1}{4}v_{2}+\frac{1}{4}v_{3}+\frac{1}{4}v_{4}$

Idem per lo spostamento in direzione $z$:

$w_{5}=\frac{1}{4}w_{1}+\frac{1}{4}w_{2}+\frac{1}{4}w_{3}+\frac{1}{4}w_{4}$

In pratica dico che quel nodo si sposta come la media degli altri.
Ovviamente risulta che una volta che rendo questo nodo dipendente, non posso più vincolarlo ulteriormente, cioè non posso dire in contemporanea che $u_{5}$ sia uguale a quanto appena scritto nella formula, ma anche che $u_{5}=0$.
Sono due opposizioni che, in via teorica, potrebbero essere non compatibili. Un nodo può essere reso dipendente una sola volta.
Quindi quando un grado di libertà viene reso dipendente con una qualche relazione cinematica, il suo valore non può più essere imposto, non può più essere reso dipendente da nient'altro.

Se faccio una cosa di questo tipo ed applico un carico $P$ in direzione $y$ al nodo $5$, per questa trasformazione io ottengo che quel carico $P$ viene suddiviso $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$ sui nodi $1$, $2$, $3$, $4$.
Quindi gli stessi pesi che definiscono la dipendenza cinematica, per via di questa trasformazione definiscono anche la distribuzione del carico che era originariamente applicato a quel grado di libertà. Quel grado di libertà lo tolgo dal sistema, però ciò che era applicato a quel carico non lo elimino, ma semplicemente lo spalmo, sulla base di quegli stessi pesi, sugli altri $4$ nodi.
Vedremo che questa formulazione si può generalizzare, ed otterremo in forma più generica un vincolo di carico distribuito.
L'importante è che si mantiene sempre una sostanziale corrispondenza tra un vincolo cinematico e una ripartizione delle forze agenti sul grado di libertà vincolato. Un vincolo cinematico ha sempre una ripercussione sulla distribuzione delle forze.

Esiste anche un'altra forma per ottenere lo stesso effetto, che mantiene la matrice nelle dimensioni originali.
L'idea è questa. Lo stesso effetto di vincolamento, che è descritto qui, lo si può scrivere in una forma sostanzialmente analoga, ma che non cambia il numero di incognite, prendendo questa equazione e scrivendola in una forma modificata:

$\delta_{j}=\sum \alpha_{ji}\delta_i+\Delta\delta_{j}$

considerando $\Delta\delta_{j}=0$ imposto per vincolamento ha lo stesso effetto della forma $\delta_{j}=\sum \alpha_{ji}\delta_i$.
$\Delta\delta_{j}$ rimane un'incognita del problema.

Ho un forzamento albero-mozzo, in cui quella in figura a sinistra è la mesh dell'albero e quella in figura a destra è la mesh del mozzo. Entrambe sono discretizzate, quindi ho dei nodi. Uno dei modi per ottenere un forzamento albero-mozzo è di costruire due strutture sulla geometria nominale, quindi con raggio interno del mozzo pari al raggio esterno dell'albero, e poi introdurre un distacco forzato (tipo una specie di spessore) tra l'uno e l'altro della quantità da progetto. Ed un modo abbastanza semplice per farlo è il seguente.

[inserire immagine 10]

introduco un distacco forzato della quantità relativa al fornimento. imposizione del fornimento con interferenza diametrale di entità 0,05 mm posso dire che lo spostamento radiale del mozzo è uguale a uno spostamento radiale 0,025 mm.

cioè $u_{j}=u_{i}+0,025$ [mm]

fatto questo per ogni coppia di nodi i,j per ogni coppia di nodi su mozzo e albero.

$u_{j}=\alpha u_{i}+0,025$

FINIRE

sorgente ipe

Per evidenziare la natura in generale discontinua di tensioni e deformazioni al passaggio tra un elemento iso4 e l'altro è sufficiente generare un controesempio, in particolare utilizzando il modello allegato ottengo componenti di tensione $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\tau_{xy}$ discontinui come in figura

sorgente ipe

Affiancando due elementi iso4 deformati a pura flessione si osserva la discontinuità delle deformazioni $\gamma_{xy}$.