Analizziamo qualche esempio di calcolo di instabilità fatto con gli elementi finiti.
Struttura di esempio:
Note sul modello specifico:
Il sistema è in equilibrio tuttavia non è posizionato nello spazio, quindi sono stati aggiunti i seguenti vincoli di posizionamento:
La struttura ha due piani di simmetria (xz e yz), quindi le deformate sono simmetriche a meno di un moto di corpo rigido non generalmente simmetrico.
La sezione ha area 62.84mm^2 e snervamento compressivo sotto sforzo normale di 10367 N.
Notare che su uno dei montanti è possibile preimpostare una perturbazione della rettilineità di entità 1mm.
Note generali:
Una volta lanciato il calcolo e mettendo a confronto la struttura indeformata con quella deformata, si nota un abbassamento della struttura stessa. Questo tipo di carico non sollecita particolarmente la struttura. Si nota però che una delle aste oblique (montanti) ha una certa flessione che è dovuta alla perturbazione di 1mm inserita sulla linearità di questo elemento, quindi la trave non è perfettamente rettilinea ma in corrispondenza di un nodo c'è una lievissima perturbazione. Per questo primo calcolo però questo aspetto non ci interessa, lo vedremo applicato ai casi successivi.
Si ricorda che con dei calcoli di tipo lineare-elastico non c'è possibilità di identificare eventuali fenomeni instabili perché l'instabilità viene indotta solo dall'ipotesi di grandi rotazioni, qualora cioè si chieda al risolutore di non approssimare il seno di un angolo con l'angolo stesso ed il coseno con 1, ma si utilizza bensì un espansione come minimo al secondo ordine.
Abbiamo visto l'altra volta che abbiamo a disposizione un algoritmo che, a partire da due fotografie della struttura, cerca di stimare cosa succederà amplificando la differenza di carico tra le due fotografie a valori maggiori di quella che è, in termini di carico, la distanza fra i due fotogrammi. Questo è un calcolo che in Marc si fa andando ad impostare uno specifico LOADCASE di tipo BUCKLE che è stazione dei modi di instabilità. Tale loadcase è un loadcase di estrazione di autovalori (fattori di amplificazione della differenza di carico per ottenere l'instabilità) e autovettori (modi di instabilità) che viene definito e non ulteriormente modificato. A questo punto si ha un initial load in cui applico il carico di 1000N verso il basso, accodato all'istante 0 da questo loadcase appena creato che calcola il fattore di amplificazione del carico applicato.
I due istanti di carico in cui estraggo le matrici Jacobiane della struttura sono quelle pre istante 0 e post istante 0; cioè in Marc il loadcase di buckling agisce sempre in relazione all'ultimo incremento calcolato, e le due fotografie della struttura vengono prese prima dell'ultimo incremento e dopo l'ultimo incremento. Se, ad esempio, avessi un incremento di carico di 50 step l'analisi di buckling prende lo stato al 49° step, prende lo stato al 50° step, guarda la differenza, fa l'estrapolazione lineare dell'evoluzione della matrice di rigidezza tangente (o dello Jacobiano) ed in base a questa estrapolazione mi da i risultati in termini di autovalori ed autovettori. Nel caso inserisca il loadcase di buckling a seguito dell'istante 0, le due condizioni a cui fotografo lo Jacobiano della struttura sono:
A questo punto cliccando su RUN → SUBMIT lanciamo il calcolo, il quale estrae il calcolo all'istante 0 e i primi 10 modi di instabilità post istante 0 (abbassamento visto prima). Lo step successivo all'istante 0 è il primo modo di instabilità che avviene con fattore 8462 di amplificazione dei 1000N di differenza tra lo 0 scarico e lo 0 carico. I modi di instabilità, come anche i modi propri, possono essere doppiamente simmetrici, doppiamente antisimmetrici oppure misti.
Questo calcolo è stato svolto con la struttura completa perché l'alternativa sarebbe stata quella di fare i vincoli di simmetria ed antisimmetria su ogni piano e lanciare tutte le combinazioni, con un conseguente peso computazionale molto più elevato! Abbiamo quindi predetto che quando la struttura è caricata in questo modo, essa presenta un carico critico di 8462N oltre al quale si hanno altri modi di instabilità. In particolare si nota che se la base della piramide fosse quadrata i primi due modi di instabilità sarebbero uguali, cioè con un autovalore di molteplicità doppia parlando in gergo algebrico. Il terzo modo di instabilità è quello di tipo torsionale che è doppio antisimmetrico, con il quale si nota che la punta della piramide ruota rispetto alla base; questo modo per alcuni dimensionamenti della sezione risulta essere quello dominante, come nel caso in cui a parità di area le sezioni fossero piene anziché cave.
Quindi l'applicazione ad un codice FEM della teoria dell'instabilità si basa tipicamente nell'avere una condizione di carico dalla quale, utilizzando l'evoluzione della rigidezza tra la struttura senza carico e la struttura con applicazione del carico, si va ad estrapolare il primo carico critico.
Voglio ora andare a vedere cosa succede veramente nella struttura se applico qualcosa maggiore di 1000N, quindi vado ad impostare una BOUNDARY CONDITION di carico crescente, modulata cioè con una tabella di crescita lineare. In particolare all'istante 1 avrò 8462N compressivi e la struttura dovrebbe collassare, prima di tale istante la struttura è stabile. Ho impostato due loadcases:
E' importante attivare la non linearità; questo viene fatto con la seguente procedura:
JOBS -> PROPERTIES -> ANALYSIS OPTIONS -> ADVANCED OPTIONS -> LARGE ROTATIONS.[ON]
Quindi siamo nel caso di piccole deformazioni ma grandi rotazioni perché vogliamo andare a verificare la condizioni post critica per instabilità; occorre quindi verificare che il codice lavori con tutte le non linearità che producono l'instabilità perché i calcoli lineari non tengono conto dell'instabilità. Lanciando il calcolo, si ottengono i primi 8 incrementi ma si ottiene come risultato 2004 (messaggio che la struttura è labile). La struttura è stata ben definita come vincolamento per i primi sette incrementi, poi diventa labile per l'ottavo (come se perdesse dei vincoli); in realtà il problema è che l'instabilità viene rilevata come una matrice di sistema che diventa singolare in quanto si instaurano dei moti instabili. Non si riesce quindi a calcolare la struttura al 2% oltre il carico di instabilità ed esce un segnale di singolarità della matrice del tutto analogo a quello associato alla presenza di moti di corpo rigido.
Per vedere lo stato tensionale della struttura dovrei andare a vedere il massimo della Von Mises tra i vari layer; questo è possibile andando nelle proprietà di JOB RESULTS e chiedendo l'Equivalent Von Mises Stress ai valori massimi e minimi fra tutti i layer.
Nel caso scarico la prima frequenza propria risulta essere a 73.29 Hz, mentre nel caso precaricato a compressione è a 69.80 Hz; quindi strutture precaricate in forma compressiva hanno frequenze proprie di oscillazione più basse. Le frequenze proprie risultano funzione anche del precarico: mediamente si ha che un precarico compressivo abbassa la frequenza propria, mentre un precarico trattivo aumenta la frequenza propria.
Se volessi però andare a studiare l'evoluzione di questa struttura post carico critico è possibile tentare una via diversa che consiste nel procedere in controllo di spostamento invece di procedere con carico imposto; metto quindi un carrello in direzione z sulla punta ed abbasso a spostamento imposto. Così facendo riesco a studiare in maniera continua l'evolversi della struttura. Vado quindi ad impostare, anziché un carico crescente, uno spostamento crescente modulato tramite una tabella di crescita lineare nel tempo. Procedo in maniera analoga a prima ed impongo due loadcases:
Il secondo passaggio da effettuare è inserire una perturbazione nella struttura perché, pur essendo in controllo di spostamento, nell'intorno del carico critico si ha potenzialmente un'evoluzione discontinua della struttura che può mandare in crisi il metodo di Newton-Raphson non garantendo quindi la convergenza dei risultati. La perturbazione (fino ad ora non considerata) consiste nel perdere la perfezione della rettilineità di un montante, in particolare prendo un nodo a caso di un montante e lo sposto di 1mm in direzione y. Il carico critico non è funzione di questa perturbazione, ma l'entità della perturbazione definisce quanto è continua o meno l'evoluzione della soluzione lineare al modo di instabilità. Ora è possibile analizzare la struttura anche post instabilità!
In realtà, Marc ha tutta una serie di procedure interne per gestire la non linearità anche a controllo di carico, ma lo fa correggendo il metodo di Newton-Raphson aggiungendo delle equazioni (ogni step fa spostare il nodo di tot mm e l'evoluzione del carico lo fa in retroazione con quanto si vuole spostare il nodo ogni step); è un sistema piuttosto complicato che non vale la pena fare!
A questo punto andiamo a fare un grafico di abbassamento/reazione vincolare tramite:
HISTORY PLOT -> SET LOCATION -> campiono il vertice -> END LIST prendendo tutti gli incrementi che ho calcolato.
Creo quindi una curva per l'unica locazione che ho in cui metto come asse x lo spostamento z, e come asse y la reazione vincolare in direzione z: si nota che gli spostamenti sono negativi perché diretti verso il basso e la reazione vincolare è compressiva perché anch'essa diretta verso il basso. E' possibile comunque invertire i versi degli assi; fino al 95% è fatto in un solo step quindi l'andamento è per forza lineare e per spostamenti imposti superiori a quelli che danno il carico critico, il carico rimane costante.
Vediamo ora come modificare questa struttura al fine di aumentare il carico critico sopportabile.
piramide_buckling_neotiranti.mfd
Inserisco dei tiranti tra i vertici delle basi e circa metà del corrispondente lato opposto per ognuno di essi, in modo tale da inibire i modi critici di instabilità. I tiranti sono delle sezioni circolari di diametro pari a 2mm.
Lanciamo il calcolo e vediamo se questa soluzione risulta migliorativa. Il carico critico si alza a 1000N * fattore 12.67, quindi i tiranti sono efficaci nel supportare i montanti della struttura, in quanto, invece di un carico critico di 8462N (caso precedente), il primo fenomeno instabile si verifica a 12670N.
La massa è aumentata in maniera risibile, al massimo il problema sono gli ingombri aggiuntivi.
L'efficacia di tale irrobustimento è confermata dal caricamento non lineare.
piramide_buckling_neopannelli.mfd
Qui è stato aggiunto un supporto consistente in una pannellatura sottile (0.8mm), peraltro di massa relativa non trascurabile (2kg aggiuntivi rispetto agli 1.17kg della struttura originaria). C'è collasso nodale ovunque, quindi i giunti tra le travi sono con continuità di spostamento e rotazione e non è modellata una deformabilità propria del giunto. In particolare i pannelli sono considerati ad esempio saldati sulla superficie delle aste tubolari sempre con continuità di spostamento e rotazione.
L'irrigidimento è consistente, in quanto l'abbassamento si riduce a 0.03354 mm sotto i 1000N di carico. Il primo carico critico si è tuttavia abbassato a soli 1000N * fattore 3.527; ad entrare in instabilità è un pannello e ciò potrebbe non essere critico per la struttura sottostante vera e propria. Quindi l'inserimento dei pannelli fornisce dei modi di instabilità che sono più bassi di quelli in assenza dei pannelli stessi! In pratica vedo che tutti i primi 10 modi propri di instabilità coinvolgono solamente i pannelli; ciò è confortante in quanto è presumibile che la struttura sotto non dovrebbe cedere su quei carichi.
Al fine di andare ad analizzare la condizione di criticità della struttura, procedo con un calcolo non lineare con abbassamento imposto di 5mm suddiviso su 1000 step.
Il solutore esce con codice di errore 2004 appena raggiungo il carico critico di pannello. Per procedere comunque utilizzo l'opzione
LOADCASES -> PROPERTIES -> SOLUTION CONTROL -> NON-POSITIVE DEFINITE.[ON]
che inibisce il fermo del solutore in caso di matrice (quasi) singolare.
Procedendo a spostamento imposto, ottengo soluzioni in equilibrio stabile fino a circa 405000 N; si nota in particolare che la pannellatura, pur ampiamente deformata secondo modi instabili, riesce ancora a stabilizzare le travi della struttura piramidale.
In una struttura complessa e pannellata (come ad esempio una carrozzeria) i pannelli sono oggetti che vanno subito in instabilità, soprattutto se non sono pretensionati. Tuttavia il fatto che un pannello vada in instabilità non vuol dire immediatamente che la struttura sia inaffidabile, sicuramente è un campanello d'allarme ma posso comunque svolgere un calcolo non lineare di questo tipo con perturbazione indotta, ed andare a studiare lo stato di sicurezza della struttura che ha sottoinsiemi già andati in instabilità in quanto la parte della struttura ancora stabile trattiene questi sottoinsiemi dai loro spostamenti eccessivi.