La simmetria della matrice di rigidezza dell'elemento $\underline{\underline{K_{el}}}$ si dimostra per mezzo del Teorema di Betti (o della reciprocità).

• Ipotesi: struttura elastica

Si considerino le due condizioni di carico A e B applicate ad una trave incastrata-incastrata come in figura:

Preesiste lo stato di carico A

In seguito all'applicazione della forza P si determinano: un cedimento $δ_{PP}$ nel punto di applicazione di P e un cedimento $δ_{QP}$ in un altro punto della trave. Con l'applicazione dello stato di carico B in aggiunta ad A, i punti di applicazione delle forze del sistema preesistente (A) si spostano di una quantità $δ_{PQ}$, pertanto tali forze compiono un lavoro detto lavoro indiretto: $L_A=P⋅δ_{PQ}$

Preesiste lo stato di carico B

In seguito all'applicazione della forza P si determinano: un cedimento $δ_{QQ}$ nel punto di applicazione di Q e un cedimento $δ_{PQ}$ in un altro punto della trave. Con l'applicazione dello stato di carico A in aggiunta a B, i punti di applicazione delle forze del sistema preesistente (B) si spostano di una quantità $δ_{QP}$, pertanto tali forze compiono un lavoro indiretto: $L_B=Q⋅δ_{QP}$

Per il teorema di Betti i due lavori indiretti risultano essere uguali: $P⋅δ_{PQ} = Q⋅δ_{QP}$

Il nostro caso di interesse è la struttura dell'elemento finito triangolare, pertanto andiamo ad applicare il teorema di Betti al caso in figura:

Si impone che lo stato di carico A sia caratterizzato da una uno spostamento non nullo sul nodo 3 in direzione x($u_3$), mentre risulteranno nulli gli altri spostamenti. Si considera la matrice di rigidezza [6 x 6] e la si moltiplica per il vettore spostamento voluto:

l'unica colonna non nulla della matrice rigidezza sarà la quinta, cosicché la forza che bilancia il sistema sarà data da $K_{2,5}⋅u_3$

Lo stato di carico B è invece caratterizzato da uno spostamento non nullo sul nodo 1 in direzione y ($v_1$) mentre gli altri spostamenti sono nulli. Procedendo analogamente al caso precedente si moltiplica la matrice rigidezza per il vettore spostamento.
L'unica colonna non nulla della matrice rigidezza sarà la seconda quindi la forza che bilancia lo spostamento imposto sarà $K_{5,2}⋅v_1$.

Si applica a questo punto il teorema di Betti:
Supposto preesistente lo stato di carico A, si applica successivamente lo stato di carico B. Le forze di A($K_{2,5}⋅u_3$) compiranno lavoro sugli spostamenti indotti da B($v_1$), cosicché il lavoro indiretto sarà dato da:
$L_{B}=K_{2,5}⋅u_3⋅v_1$
Supponendo preesistente lo stato di carico B ed applicando successivamente A, si ottiene la situazione duale tale per cui il lavoro indiretto sarà:
$L_{A}=K_{5,2}⋅v_1⋅u_3$
Imponendo infine la condizione del teorema secondo cui i lavori indiretti sono uguali, si ottiene:
$L_{B}=L_{A} ⇒ K_{2,5}=K_{5,2}$

Considero una generica struttura $FEM$ corpo elastico vincolato

sorgente ipe

(rette dei vincoli diverse da x e y)

il nodo ha un suo spostamento $\delta$ rappresentato da due componenti lungo $x$, $y$ (in coordinate globali)

$\vec{\delta}=u\widehat{x}+v\widehat{y}$

è possibile definire un sistema di coordinate diverso anche solo per il singolo nodo o una famiglia di nodi, in questo caso è possibile definire $\vec{\delta}$ come: $\vec{\delta}=p\widehat{r}+q\widehat{s}$ dove
$\widehat{r}=r_{x}\widehat{x}+r_{y}\widehat{y}$ $(a)$
$\widehat{s}=s_{x}\widehat{x}+s_{y}\widehat{y}$ $(b)$

e $r_{x}=<\widehat{r}, \widehat{x}>, s_{x}=<\widehat{s}, \widehat{y}>$ sono i coseni direttori.

Si prendono le forme $(a)$, $(b)$ e si definiscono imponendo il prodotto scalare.

$\vec{\delta}=pr_{x}\widehat{x}+pr_{y}\widehat{y}+qs_{x}\widehat{y}+qs_{y}\widehat{y}=(pr_{x}+qs_{x})\widehat{x}+(pr_{y}+qs_{y})\widehat{y}$

$u=pr_{x}+qx_{x}$ $v=pr_{y}+qs_{y}$

$$\begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r_{x} & s_{x}\\ r_{y}&s_{y} \end{pmatrix}\binom{p}{q}$$

che è la matrice di trasformazione da coordinate locali a coordinate globali. In generale si dispongono per colonne le componenti dei versori del sistema di partenza scomposte secondo il sistema di destinazione; inoltre si dimostra che per l'operazione inversa, l'inversa della matrice di trasformazione coincide con la sua trasposta.

$$\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r_{x} & r_{y}\\ s_{x}&s_{y} \end{pmatrix}\binom{u}{v}$$
Parto dalle incognite di un sistema $FEM$ cioè gli spostamenti $\begin{pmatrix} u_{1}
v_{1}
.
.
.
u_{i-1}
v_{i-1} \end{pmatrix}$

dove $v_{i-1}$ è l'ultimo nodo delle coordinate globali.

$\underline{\delta}$ può essere scritto in funzione di un vettore simile, identico fino a $v_{i-1}$ e identico da $u_{i+1}$ a $u_{N}$. In questo modo viene semplice imporre $u_{N}=0$

tutti gli elementi non diagonali (al di fuori dei quadratini (vedi matrice di trasformazione) sono elementi nulli.
Intorno alla diagonale ho dei blocchi di matrici con elementi diagonali pari a $1$, quindi $u_{1}$ e $v_{1}$ sono moltiplicati per la matrice identità e danno come risultato $u_{1}$ $v_{1}$.
Ogni blocco può contenere un'ipotetica trasformazione di riferimento da riferimento globale a un qualsiasi sistema locale.

$\underline{\delta}=\underline{\underline{T}}\underline{{\delta}}^*$
$\underline{\underline{k}}\underline{\underline{T}}\underline{\underline{\delta}}=\underline{{f}}$

facendo così perdo la simmetria della matrice; per recuperarla si premoltiplicano ambo i membri per $\underline{\underline{T}}^T$:

$\underline{\underline{T}}^T\underline{\underline{k}}\underline{\underline{T}}\underline{\underline{\delta}}=\underline{{f}}\underline{\underline{T}}^T$ o in forma più compatta:$\underline{\underline{k}}'\underline{{\delta}}'=\underline{{f}}'$

Può essere utile a volta imporre vincoli cinematica con spostamenti non nulli, per esempio nel caso del tubo pressurizzato.

sorgente ipe

vincolando isostaticamente vedo che il sistema si sposta: $-u_{k}=u_{j}$ e $v_{l}=-v_{i}$
considere i quattro nodi $i$, $j$, $k$, $l$

E'possibile in generale ottenere lo stesso risultato imponendo delle condizioni di forma, ossia si impongono dei vincoli tra il grado di libertà $j-esimo$ e gli altri $i-j$.

$\delta_j=\sum_{i \neq j} \alpha_{ji} \delta_i + \Delta\delta_j$
Dal punto di vista matematico introduco una caratteristica di dipendenza $\delta_{j}$ detta “$servo-link$” tra i gradi di libertà. Il termine $\Delta\delta_j$ rappresenta uno spostamento relativo tra il termine di combinazione lineare e l'effettiva dislocazione del nodo; esso potrà essere successivamente annullato attraverso un vincolamento del gdl.

Si procede partendo da un vettore degli spostamenti $\vec{\delta}$.

$\Rightarrow$ $\underline{\delta}=\underline{\underline{L}}\underline{\delta}^{*}$

inserisco questa forma nel sistema di equazioni di equilibrio nodali.

$\underline{\underline{K}}\underline{\underline{L}}\underline{\delta}*=\underline{F}$

Si nota che si è persa la simmetria e si ha un numero di incognite maggiore.

Come già fatto si premoltiplicano per $L^{T}$ ambo i membri:

$ \underline{\underline{L}}^T\underline{\underline{K}}\underline{\underline{L}}\underline{\delta}^*= \underline{\underline{L}}^T\underline{F}$ , ovvero in forma più compatta: $\underline{\underline{K}}'\underline{\delta}^*=\underline{F}'$
La premoltiplicazione per $L^T$ è inoltre necessaria per mantenere una definizione coerente di lavoro virtuale delle forze esterne.

Vincolando un grado di libertà si perde un'equazione che impone la cinematica.
Supponiamo che $F$ di partenza descriva una struttura con un carico applicato in corrispondenza del grado di libertà vincolato. Analizzando $\delta$ risulta, in componenti, che:
${F_i}^*=F_i +\alpha_{ji}, i≠j$ ; ${F_i}^*=F_i$

Il carico $F$, che è applicato al nodo reso dipendente, viene implicitamente ripartito su tutti gli altri nodi con quei coefficienti $\alpha$.
Quindi vediamo che quello che era nato come un vincolo di dipendenza cinematica, è un oggetto che posso anche usare per spalmare un carico su più nodi.\ Proviamo a pensare ad un esempio.

Supponiamo io abbia una struttura di questo tipo:

sorgente ipe

ho degli elementi hex8, esaedri ad $8$ nodi (estensione tridimensionale dell'isoparametrico $4$ nodi), che compongono una specie di colonna.
Voglio spalmare un carico $P$ tra questi quattro nodi ($1$, $2$, $3$ ,$4$ in figura).
Quello che posso fare è creare un ulteriore nodo $5$ al centro (ho quindi una struttura a 12+1 nodi), in qualche modo svincolato dalla struttura (non è collegato a nessun elemento), in cui dico ad esempio che lo spostamento in direzione $x$ del nodo $5$ è uguale alla media degli spostamenti $1$, $2$, $3$, $4$, quindi:

$u_{5}=\frac{1}{4}u_{1}+\frac{1}{4}u_{2}+\frac{1}{4}u_{3}+\frac{1}{4}u_{4}$

Stessa cosa per lo spostamento in direzione $y$:

$v_{5}=\frac{1}{4}v_{1}+\frac{1}{4}v_{2}+\frac{1}{4}v_{3}+\frac{1}{4}v_{4}$

Idem per lo spostamento in direzione $z$:

$w_{5}=\frac{1}{4}w_{1}+\frac{1}{4}w_{2}+\frac{1}{4}w_{3}+\frac{1}{4}w_{4}$

In pratica dico che quel nodo si sposta come la media degli altri.
Ovviamente risulta che una volta che rendo questo nodo dipendente, non posso più vincolarlo ulteriormente, cioè non posso dire in contemporanea che $u_{5}$ sia uguale a quanto appena scritto nella formula, ma anche che $u_{5}=0$.
Sono due opposizioni che, in via teorica, potrebbero essere non compatibili. Un nodo può essere reso dipendente una sola volta.
Quindi quando un grado di libertà viene reso dipendente con una qualche relazione cinematica, il suo valore non può più essere imposto, non può più essere reso dipendente da nient'altro.

Se faccio una cosa di questo tipo ed applico un carico $P$ in direzione $y$ al nodo $5$, per questa trasformazione io ottengo che quel carico $P$ viene suddiviso $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$ sui nodi $1$, $2$, $3$, $4$.
Quindi gli stessi pesi che definiscono la dipendenza cinematica, per via di questa trasformazione definiscono anche la distribuzione del carico che era originariamente applicato a quel grado di libertà. Quel grado di libertà lo tolgo dal sistema, però ciò che era applicato a quel carico non lo elimino, ma semplicemente lo spalmo, sulla base di quegli stessi pesi, sugli altri $4$ nodi.
Vedremo che questa formulazione si può generalizzare, ed otterremo in forma più generica un vincolo di carico distribuito.
L'importante è che si mantiene sempre una sostanziale corrispondenza tra un vincolo cinematico e una ripartizione delle forze agenti sul grado di libertà vincolato. Un vincolo cinematico ha sempre una ripercussione sulla distribuzione delle forze.

Esiste anche un'altra forma per ottenere lo stesso effetto, che mantiene la matrice nelle dimensioni originali.
L'idea è questa. Lo stesso effetto di vincolamento, che è descritto qui, lo si può scrivere in una forma sostanzialmente analoga, ma che non cambia il numero di incognite, prendendo questa equazione e scrivendola in una forma modificata:

$\delta_{j}=\sum \alpha_{ji}\delta_i+\Delta\delta_{j}$

considerando $\Delta\delta_{j}=0$ imposto per vincolamento ha lo stesso effetto della forma $\delta_{j}=\sum \alpha_{ji}\delta_i$.
$\Delta\delta_{j}$ rimane un'incognita del problema.

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Materiale di riferimento:
versiona aggiornata lucidi links (con vari errori corretti)

sorgenti latex