A cura di Alessio Quintiliani
Concio di piastra indeformato tagliato normalmente dagli assi x e y (vista TOP).
Il concio è deformato a curvaturara xy mista torsionale
Kx=0
Ky=0
Kxy>0
La curvatura Kxy si ottiene per rotazione differenziale dei quattro segmenti rigidi (segmenti paralleli all’asse z in figura) che partono dai quattro vertici.
Il caso riportato in figura è a curvatura mista maggiore di zero in quanto si può vedere dalla formula di Kxy che è somma di due contributi maggiori di zero. Infatti la derivata in y della rotazione φ è positiva poiché abbiamo valori di φ crescenti lungo y crescenti (da negativo diventa positivo) e la derivata in x della rotazione θ è negativa poiché abbiamo valori di theta decrescenti lungo x crescenti (da positivo diventa negativo), però col meno davanti anche questo secondo termine dà un contributo positivo a Kxy. La superficie TOP da quadrata è diventata un rombo, la superficie MIDDLE rimane quadrata e la superficie BOTTOM diventa anch’essa un rombo ma ciò che si accorcia sulla superficie TOP si allunga sulla BOTTOM e viceversa: ho una contro-deformazione tra TOP e BOTTOM con MIDDLE che rimane indeformata.
Se osservo il concio di piastra dal fianco vedo la natura torsionale associata a Kxy.
Se invece, osservo il concio di piastra dal fianco ma dalle due diagonali (ruoto la vista di 45°) mi accorgo della natura flessionale di Kxy con curvatura e contro-curvatura. Ho una deformazione a sella molto evidente.
Legami tra rotazioni e spostamenti trasversi
Il piano di riferimento non coincide con il piano medio. La deformata è costruita supponendo:
u>0
v>0
φ<0
θ>0
Il legame tra la variazione di w nel muoversi in x e in y
Questa è l’apparente pendenza locale delle superfici della piastra, che diventa positiva muovendosi lungo y e lungo x crescenti. Deformazione definita apparente perché non ho ancora considerato il contributo delle deformazioni taglianti. Per piastre sottili (alla Kirchhoff), dove le deformazioni taglianti sono trascurabili, c’è totale equivalenza tra la derivata di w lungo x e y e gli angoli φ e θ. Se considero le deformazioni taglianti, la pendenza della griglia non è solo associata a φ e θ ma ci sono anche i contributi di γ_zx e di γ_yz.
Di queste 6 quantità, essendoci 2 relazioni, 4 sono indipendenti. Se le gamma sono nulle, w è l’incognita e le rotazioni φ e θ le ottengo derivando w. Se le γ sono non nulle questa cosa non vale e posso usare queste relazioni in molti modi in base a cosa ho noto. Si ricorda che la γ_xy (entropiano) è non nulla sia in piastra sottile che non sottile, mentre le gamma fuori piano (γ_zx e γ_yz) sono assunte nulle con la teoria della piastra sottile.
Avendo già definito le deformazioni entropiano come
Dove ε segnato è il vettore deformazione del piano di riferimento, z è la quota misurata a partire dal piano di riferimento e k è il vettore curvatura, ora passiamo alle tensioni. Le tensioni sono da derivarsi considerando o condizioni di libera strizione o di impedita strizione lungo z. Sono nel caso di impedita strizione se considero il segmento lungo z come rigido per cui la ε_z è nulla e avrò una deformazione piana. Sono, invece, in condizione di libera strizione se considero l’effetto Poisson per cui
Questa condizione è più veritiera rispetto alla condizione di segmento rigido. Suppongo che il materiale si comporti come tante fettine indipendenti: immagino di avere tante lastre di gommapiuma infilzate da dei segmenti rigidi
Provo ora a sottoporre le fettine di materiale a trazione, allungando la struttura: i punti evidenziati con dei puntini, rimangono solidali al segmento rigido. I segmenti rigidi che infilzano le fettine e i punti evidenziati, se nascono equidistanziati, rimangono tali anche dopo aver sollecitato la struttura a trazione. Questa è la configurazione deformata della piastra
Suppongo che il materiale abbia modulo elastico in direzione z Ez=0, per legare la condizione cinematica ed elastica insieme in modo corretto e senza contraddizioni. Se partivo subito da ε_z diverso da zero complicavo la cinematica con un termine infinitesimo di ordine superiore, allora per ricavarci le deformazioni abbiamo assunto ε_z=0 e poi quando parliamo di tensioni non consideriamo ε_z=0 (diverso da zero per effetto Poisson) ma Ez=0. Si creano dei tagli nel materiale ( o eventualmente delle compenetrazioni se sottopongo la struttura a compressione) perché ogni fettina va in strizione in maniera indipendente dalle altre: se tiro la piastra lungo x le fettine si accorciano lungo z e si aprono tagli nel materiale e se accorcio lungo x le fettine si espandono lungo z e ho delle compenetrazioni di materiale. Dalle deformazioni passo alle tensioni attraverso la matrice D
Dove D è uguale a
La matrice D è il legame elastico tra tensione e deformazione per materiale isotropo con stato piano di tensione. Il legame tra σ ed ε è rappresentabile con un prodotto matrice vettore e se D non è funzione di ε, il legame è lineare. Inoltre E appare solo raccolto fuori dalla matrice per cui il legame tra σ ed ε è scalato dal modulo di Young. Lo stesso discorso non vale per il coefficiente di Poisson υ perché me lo ritrovo anche all’interno della matrice. Lo stato piano tensionale prevede σ_z, τ_zx e τ_yz uguali a zero: la σ_z è nulla perché, come già affermato, anche se le ε_z sono diverse da zero ho che Ez è uguale a zero; la due τ fuori piano, invece, sono nulle se ho una curvatura uniforme, ma se ciò non accade non sono nulle è non sarebbe uno stato piano di tensione. Tuttavia se il materiale è isotropo anche se le due τ fuori piano sono diverse da zero, posso non considerarle nella matrice D perché sono disaccoppiate dalle tensioni piane: la τ_zx e la τ_yz si trattano a parte e non le considero.
Questa formula vale puntualmente e se il materiale è funzione di z, D è funzione di z: D(z). La teoria della trave si basa sulle risultanti che sono il risultato delle integrazioni delle tensioni sulla sezione. Un discorso analogo posso fare per la piastra dove, però, non integro sulla sezione ma sul segmento. Queste sono le espressioni del flusso degli sforzi, usate solo a livello infinitesimo.
Per dare un senso fisico a queste quantità immagino di prendere una piastra di dimensioni b, a, h (h«a,b) con una distribuzione uniforme di forza con valore della risultante pari a F.
Dal caricamento macroscopico riesco a passare a condizioni di flusso degli sforzi qx, qy, qxy (se il caricamento non è omogeneo è più complicato farlo): la qy=F/a è una forza per unità di lunghezza con forza in direzione y agente su tratto unitario di bordo. In questo caso la qx e la qxy sono pari a zero in quanto non ci sono σ_x e τ_xy.
Volendo fare un’analogia con la trave, taglio la piastra con un piano alto h e di larghezza unitaria
La qy è la risultante delle tensioni in y su quella faccia di larghezza unitaria. È una tensione di interfaccia che scambia con faccia subito prima e subito dopo (sempre di larghezza unitaria). I flussi degli sforzi qx, qy e qxy sono indici di caricamento per il segmento di piastra come N e T sono indici di caricamento per la sezione di trave: piastre con spessore h maggiore reggono qx, qy, qxy maggiori come travi con sezioni maggiori reggono carichi N maggiori. Dopo i flussi degli sforzi definiamo i flussi di momento
Il flusso lungo x mx è un momento che ha direzione e verso concorde con asse y, mentre il flusso lungo y my ha direzione e verso concorde con asse x. Il flusso mxy lo vedo come torcente perché sarebbe il flettente in x e in y sovrapposti. Per dare un senso fisico a mx, my e mxy immagino come prima una piastra di dimensioni b, a, h (h«a,b) con una distribuzione di coppia flettente uniforme la cui risultante è C.
La mx è una coppia su unità di bordo e in questo caso C/a=-mx dove il meno è dovuto al fatto che, per il verso della coppia C, a z>0 ho la σ_x<0 e a z<0 ho la σ_x>0. Qui ho che my=0 poiché non ho σ_y generati dalla coppia e mxy=0 in quanto mancano le coppie torcenti su entrambi i lati. Quest’ultimo termine mxy è diverso da zero se considero la piastra caricata con una distribuzione uniforme di coppie torcenti
Con τ_xy max al TOP, min al BOTTOM e nullo in mezzeria (andamento lineare). Oppure posso vedere questo caricamento come una doppia distribuzione di coppie flettenti con riusltante pari a C controrientate
L’azione torcente è uguale all’azione di due flettenti controrientati guardando il tutto ruotato di 45° rispetto ai bordi in quanto ottengo una curvatura a sella che vista ruotata di 45° corrisponde ad un’azione torsionale. Le tre componenti del flusso degli sforzi q sono sollecitazioni membranali (ci si sta riferendo a materiale omogeneo e non c’è offset), mentre le tre componenti del flusso dei momenti m sono sollecitazioni flessotorsionali. Separare le sollecitazioni esterne in membranali e flessotorsionali ci fa capire subito se il corpo sottile è soggetto a curvatura oppure no. Le ε al piano medio sono deformazioni membranali e il le componenti del vettore curvatura sono deformazioni flessotorsionali. Procedendo con l’integrazione
ε e k non sono funzione di z sennò si perde la rigidità del segmento da cui sono partito. Sia ε che k sono costanti e li metto a post moltiplicare l’integrale (non li metto a pre moltiplicare perché è un prodotto matrice per vettore e non è commutativo). Ho trovato due relazioni lineari che legano q e m con le deformazioni al piano medio e le curvature. Poi noto che ho blocchi uguali in entrambe le relazioni che chiamo matrice A, B e C. La A è lo spessore che moltiplica la media integrale della matrice D lungo lo spessore
Dove D segnato è il valor medio integrale di D lungo lo spessore e se il materiale è omogeneo questo valor medio coincide con D (la media è uguale in ogni punto). A lega q con k, B lega q con k e m con ε, C lega m con ε. Riscrivo le due relazioni in forma matriciale
La matrice 6×6 simmetrica (perchè B=B_trasposto in quando D=D_trasposto) è composta dai blocchi A, B, B_trasposto e C e descrive completamente le caratteristiche elastiche della piastra o del laminato se è composta da più materiali. Nel caso in cui l’offset O=0 (il piano medio coincide col piano di riferimento) e D è D(z)=D(-z) ovvero che in un laminato la distribuzione di materiale (pur non essendo constante in z) è simmetrico rispetto al piano medio la matrice B è una matrice nulla e se si verifica ciò il problema membranale e flessotorsionale sono disaccoppiati. Infatti B è la rigidezza mista che lega q con k e m con ε e se è una matrice con tutti elementi uguali a zero allora ε è dato solo da q e k è dato solo da m, ovvero non ho curvatura se non ho momenti e non ho deformazioni al piano medio se non ho flussi di sforzo. Con B nullo, il sistema di 6 equazioni in 6 incognite si divide in due sistemi di 3 equazioni in 3 incognite disaccoppiati, uno per il problema membranale e uno per quello flessotorsionale. Inoltre se D è costante
Il problema membranale e flessotorsionale è disaccopiato e ho che la rigidezza membranale A (intesa come q/ε_al piano medio) cresce con lo spessore, mentre la rigidezza flessiotorsionale C (intesa come m/k) cresce col cubo dello spessore e se voglio aumentare questa rigidezza di una certa quantità devo aumentare lo spessore di un valore che è la radice cubica della quantità di cui voglio aumentare la rigidezza. Se voglio aumentare entrambe le rigidezze della stessa quantità devo aumentare il modulo di Young E che compare nella matrice D presente in entrambe le espressioni delle rigidezze.