Se un sistema, a più gradi di libertà, è vincolato le sue matrici sono tutte vincolate, per cui in esse esiste deformazione, ed un grado di libertà è libero/vincolato (esempio: video elicottero che si rompe). I modi propri di una struttura, e quindi anche le relative frequenze proprie nonché la risposta dinamica, variano ampiamente in funzione del vincolamento. Fare lavorare una struttura sotto improprie condizioni di vincolo (alle quali magari la struttura non è nemmeno verificata) può essere pericoloso perchè si hanno modi propri diversi da quelli che mi aspetterei; ugualmente risulta pericoloso valutare le condizioni di sicurezza di una struttura sotto condizioni di vincolo improprie. Nel caso dell'elicottero, la struttura può essere verificata efficacemente in volo, se invece lo tengo ancorato a terra (vincolamento improprio) mentre lavora, azione per il quale non è stato progettato, posso andare incontro ad azioni secondarie di vincolo non trascurabili. La dinamica dei modi propri di alcuni componenti (rotori squilibrati ecc…), non danno problemi in assenza di vincoli, ovvero in volo, mentre possono causare problemi se l'elicottero è vincolato a terra a terra; La risposta dinamica va incontro ad una risonanza e si hanno numerosi problemi. In generale quando si progetta una struttura si devono riprodurre le condizioni di vincolo, altrimenti si trovano dei risultati di sicurezza/non sicurezza che non hanno nulla a che fare con la realtà.

Nel caso dell'elicottero il collegamento a terra ha introdotto dei modi propri che in fase di volo (corpo flottante in cielo) non ci sarebbero stati e che evidentemente vanno in risonanza con l'eccitante e danno problemi.

Le matrici “sentono” non tanto il valore specifico assegnato al grado di libertà vincolato quanto il fatto che esso sia appunto libero o vincolato.

Analizziamo ora la dinamica di una molla elicoidale, oggetto meccanicamente abbastanza semplice, che tuttavia ci sarà utile per fare alcune considerazioni. La molla è stata creata utilizzando degli elementi trave 2 nodi (o elementi linea 2 nodi, si possono creare dal manù MESH GENERATION selezionando la classe LINE (2); gli spostamenti e le rotazioni, gradi di libertà di questi elementi ai nodi, sono interpolati linearmente lungo il segmento), essi sono dotati di asse baricentrico (salvo presenza di offset), come proprietà geometrica bisogna spiegare che forma ha la sezione della trave, che in questo caso è circolare cava con diametro esterno D=12mm e diametro interno d=6mm, in titanio (è stata costruita per estrusione con raggio medio del filo di 20mm, passo 15 mm, 4 spire e mezzo); plottando graficamente la molla in 3D si nota come lo spazio tra spira e spira sia piuttosto ridotto, 3mm, per cui, specie in fase di compressione bisognerà porre attenzione sul possibile auto contatto.

Vogliamo ora estrarre le frequenze proprie dell'oggetto appena modellato. Rispetto a quanto abbiamo visto prima devo considerare come questo oggetto è modellato nello spazio.

Impostiamo quindi un caso di carico per la ricerca delle frequenze proprie di questa struttura, in condizioni libere:, dal menù principale di MSC.Marc:

ANALYSIS:LOADCOASES > NEW > DYNAMIC MODAL

Dobbiamo poi definire le proprietà del nostro caso, in questo caso non ce ne sono molte; fondamentalmente dal menù PROPERTIES si apre una scheda divisa in due parti sulla base di quale algoritmo usiamo (sono sostanzialmente dati numerici) : LANCZOS o POWER SWEEP, di default si utilizza il LANCZOS. Ognuno dei due algoritmi a disposizione ha particolari “rogne” da gestire, a seconda dei casi dovrò essere bravo io a scegliere il più conveniente dei due, nessuno risolve tutti i problemi in maniera perfetta, altrimenti non ci sarebbe questa dualità. Il LANCZOS è più veloce ed in questo caso non dovrebbe creare particolari problemi; si evitano togliendo i moti corpo rigido dalla risposta, che sono una delle possibili cause di problema, se si estrae un primo moto di CR esso poi “sporcherà” tutti i modi successivamente estratti. Tale struttura ha 6 moti di CR nello spazio a frequenza nulla (traslazione in x, y, z e una rotazione in x, y, z), questi non hanno ritorno elastico, ovvero sono a energia potenziale elastica nulla per cui ad essi è associato un odo proprio di dinamico con frequenza propria 0 rad/s o 0 Hz. Se lanciassi in questa forma l'algoritmo in oggetto otterrei sostanzialmente un primo modo proprio a bassa frequenza, un secondo modo proprio a bassa frequenza e tutti gli altri sporcati dalla presenza di questi.

Posso per questo gestire le basse frequenze con la relativa opzione LOWEST FREQUENCY, la quale mi permette di decidere quanti modi propri estrarre (in questo caso i primi 40), oltre una frequenza minima da me impostata; se lascio o Hz ovviamente troverò che i primi 6 modi propri sono quelli di CR che mi sporcano tutte le seguenti soluzioni, diversamente posso specificare una diversa soglia minima che tagli via tali moti di CR. Quale è la frequenza soglia che li divide? Empiricamente (ciò significa che non è una legge dimostrata e scritta) scelgo 0.1 Hz, frequenza a cui è associato un periodo di 10 s, ovvero sto palando di modi propri che, se dovessi visualizzarli fisicamente, hanno tale periodo, un qualunque corpo meccanico a cui possiamo pensare ha modi propri con frequenze più elevate(forse solo le struttura civili fanno eccezione) per cui la soglia appena inserita funzione discretamente bene; non mi aspetto infatti che la molla abbia un modo proprio a frequenza più bassa di 0.1Hz (poi verrà cambiata a 10 Hz per far convergere meglio l'algoritmo). Si attiva inoltre l'opzione NON POSITIVE DEFINITE, in questo modo si mette in conto che la matrice di rigidezza potrebbe risultare singolare, il software provvederà automaticamente a correggerla con leggeri termini di supporto sulla diagonale.

Abbiamo definito il LOADCASES, si crea un nuovo lavoro dal menù principale:

ANALYSIS:JOBS > NEW > STRUCTURAL

e lo chiamiamo “modi propri”, ne definiamo ora le proprietà, se ci fossero dei carichi inziali dovremmo attivare tutti i vincoli che vogliamo utilizzare per costruire la matrice di rigidezza della struttura, in questo caso non ce ne sono per cui non si attiva nulla; i modi propri saranno calcolati a partire da una struttura non vincolata.

il nostro calcolo procede come di seguito: si parte da uno step 0 in cui sono presenti i carichi assegnati a cui seguirà un loadcase modale che a partire dalle matrici di rigidezza, massa e smorzamento (in questo caso non è presente) dello step 0 calcola i modi propri ricercati. In realtà il loadcase modale ottiene come risultato dei vettori spostamento e rotazione ai gradi di libertà della struttura, successivamente dai risultati posso estrarre ad esempio la Von Mises a tutti i layer, oppure lo stato tensionale oppure per gli elementi trave alcune quantità specifiche ome ad esempio (??).

Una volta fatto girare il calcolo, possiamo aprire il file dei risultati e osservare i modi e le frequenze proprie estratte.

Per ogni modo proprio posso richiedere, accedendo alla seconda pagina dei risultati, alcune quantità in output come ad esempio il TORSIONAL MOMENT o il BENDING MOMENT e osservarne i relativi grafici.

E' possibile anche trovare i modi proprio della struttura libera di “volare nello spazio”, tuttavia per ottenere qualcosa di realmente applicabile al caso pratico bisogna riprodurre il vincolo specifico del nostro caso pratico, supponiamo che la molla in questione faccia parte di un meccanismo di distribuzione. La base della molla è appoggiata alla testa del motore mentre la parte superiore è agganciata ad un bicchierino che si muove di spostamento imposto sotto una camma rotante; si inseriscono quindi i vincoli presenti nel fine da fine lezione presente in fondo alla pagina. Il vincolo di aderenza inferiore fa si che la molla non scorra o ruoti e resti sempre appoggiata senza staccarsi mentre il vincolo del bicchierino posto in testa sarà molto simile (ho sempre un RBE2) vincolerò però l'altro estremo della molla dando continuità su tutti i gradi di libertà lasciandone liberi soltanto due, l'unica cosa il bicchierino può fare è scorrere assialmente e ruotare attorno al suo asse. Lo spostamento libero o imposto? E' più corretto imporre lo spostamento, tale legge di moto è data dalla camma, può quindi muoversi ma secondo determinate modalità. Ricapitolando: si assume aderenza all'appoggio fisso, e solo libera rotazione assiale al bicchierino.

Il primo modo proprio che si estrae è a $ 337 Hz$, quando era libera invece il più basso era a $500 Hz$; i vincoli aggiunti irrigidiscono la struttura e mia abbassano la prima frequenza propria?In realtà quello che è successo è che ho preso una delle frequenze proprie che erano nulle e l'ho alzata vincolandola; i modi non possono calare di frequenza, anche se la struttura si irrigidisce grazie ad un vincolo.
Osservando gli spostamenti di questo primo modo proprio a $337 Hz$ insiste sulla rotazione del bicchierino si tratta di un modo circonferenziale, le rotazioni sono tutte assiali; questo modo “sparisce” se vincolo gli spostamenti circonferenziali (si potrebbe ottenere una modello ancor più realistico aggiungendo il momento di inerzia del bicchierino, la frequenza di tale modo proprio si abbasserebbe).

Il secondo modo proprio è un modo puramente assiale, le spire intermedie si spostano a spire estremali fisse. Può essere problematico, se infatti vado a vedere lo spostamento in direzione z, vedo che ho uno spostamento in alcune zone di 94 verso l'alto, mentre altre zone meno, ad esempio 87; la distanza relativa tra quei due nodi cala e si rischia l'auto contatto tra le spire, ciò andrebbe a modificare la dinamica della struttura per cui bisogna evitarlo. In questo modo proprio, le spire tendono a compattarsi questo fenomeno, come detto, va tenuto sotto controllo. La distribuzione ha un periodo che vale 2 giri motore (se il motore va a $12000 giri$ la distribuzione gira a $6000 giri$); se il moto torsionale è rilevante la mia sollecitazione a 12000 giri è circa a un quarto/terzo della prima frequenza propria, se 1 è la soluzione statica, la mia soluzione corrisponde alla soluzione statica più un 15%, se considero o meno rilevante nella mia notazione ingegneristica, faro rispettivamente una valutazione dinamica o statica.
Se un eccitante lavora a frequenze che sono di molto inferiori alla prima frequenza propria del sistema, io posso calcolare la struttura come statica. La prima informazione che traggo dalla modale è se devo proseguire con i calcoli dinamici o posso passare ad una valutazione statica (potrei fare una valutazione a fatica ad esempio).

Nel valutare se il sistema sia statico o meno devo comunque stare attento poiché se la camma si muovesse di moto perfettamente armonico ok, ma poiché io parto da un moto periodico che scompongo in serie Fourier, ampiamente irregolare, avrò delle componenti rilevanti in armoniche successive alla prima, se ad esempio l'avessi alla sesta ($600 Hz$) andrei incontro ad una risonanza; dunque mi conviene analizzare la risposta della molla non solo da $10 Hz, 600 giri$ a $100 Hz, 12000 giri$, è meglio aumentare il range di analisi per considerare le armoniche successive che ritengo significative (fino alla 10ma ad esempio).

Cerchiamo ora di valutare se la sollecitazione torsionale è rilevante o meno????

Procediamo ora con l'analisi di risposta diretta, che significa che andiamo a risolvere il sistema di equazioni, in cui applico un termine noto di forza (o spostamento) imposta, matrice di rigidezza, matrice massa ed eventualmente matrice smorzamento; $\omega$ è la forzante che varia tra $10 Hz$ a $100 Hz$ per vari step. Mi piacerebbe campionare con risoluzione di $1 Hz$.

Definisco quindi lo spostamento imposto armonico in estremità dal menù:

BOUNDARY CONDITIONS > NEW > STRUCTURAL > HARMONIC BC'S: FIXED HARMONIC DISPLACEMENTS

e lo chiamo corsa_bicchierino, imposto le proprietà con l'opzione PROPERTIES, posso fornire una MAGNITUDE&PHASE al mio oscillatore armonico: spostamento z = 1 sotto forma di magnitude

Ora, analogamente a quanto visto prima creiamo un nuovo loadcase, DYNAMIC HARMONIC, e lo chiamo risposta_in_frequenza, le relative proprietà si possono vedere dal file di fine lezione disponibile in fondo alla pagina. Successivamente creo un nuovo lavoro, sulla falsa riga di quello che estrae i modi propri, devo disattivare il precedente loadcase e attivare quello appena creato (risposta_in_frequenza); i risultati che voglio sono più o meno li stessi. Ora posso lanciare il calcolo.

All'incremento 1 del file dei risultati,(1mo step)ho la deformata della struttura quando la sollecitazione di spostamento imposto è applicata con frequenza $10 Hz$, dalla modalità NUMERICS leggo gli spostamenti z e devo immaginarli modulati per $\cos(\omega t)$. Questa soluzione dovrebbe essere molto simile a quella statica. Più aumento la frequenza più la soluzione si discosta da quella statica.

NOTE:

1) GEOMETRIC PROPERTIES: TRUSS, è una proprietà geometrica che può essere associata ad elementi linea 2 nodi, fa si che essi reagiscano soltanto a sforzo normale, non possono essere applicate torsione e taglio (relativamente a queste condizioni di carico sono cedevoli, inoltre questi elementi non possono essere curvi), si può ipotizzare quindi di avere una cerniera sferica tra elemento e proseguo della struttura, una sorta di biellette cedevoli. Questa proprietà è utilizzata ad esempio per strutture reticolari (es.gru da costruzione) oppure meccanismi (es.sospensioni multi-link). Se ne metto due in fila ottengo ovviamente una struttura labile.

2)In questo caso in cui si ha a che fare con una sezione circolare cava non è realmente fondamentale definire l'asse locale x di sezione (comunque giriamo la sezione sempre circolare rimane), se non per avere un'idea abbastanza chiara di come sono da leggersi le tensioni.

3)DYNAMIC MODAL calcola i modi propri, mentre DYNAMIC TRANSIENT calcola l'evoluzione dinamica in transitorio a partire da delle condizioni iniziali, modalità molto costosa ma è l'unica che gestisce le non linearità, DYNAMIC HARMONIC è la risposta periodica della struttura a sollecitazioni periodiche (risposta in frequenza), SPECTRUM RESPONSE è invece una forma speciale di DYNAMIC HARMONIC che in input prende, invece che le forze modulate armonicamente, uno spettro casuale di sollecitazioni (il passaggio tra queste due può essere gestito anche tramite excel).

Sezione circolare cava, $d_e$ = 12mm, $d_i$ = 6mm, in titanio.

Raggio medio filo 20 mm, passo 15mm, 4.5 spire.

Si assume aderenza all'appoggio fisso, e solo libera rotazione assiale al bicchierino.

molla_dyn_ebertocchi_v000.mud

molla_dyn_ebertocchi_v00a_finelezione.mud