Per aprire correttamente i volumi della guida di Marc nella macchina virtuale (v001 e v002) aprire un terminale e copiaincollare il comando

su -

seguito dalla password di amministratore (“topogigio”), quindi copiaincollare

ln -s /usr/bin/atril /usr/local/bin/acroread

A questo punto i file della guida di Marc/Mentat dovrebbero essere raggiungibili dal menu HELP di Mentat. Non occorre ripetere l'operazione.

testo esercizio (rev.1) modello base esame (rev.1)

L'estrazione di modi propri può essere per semplicità svolta con bocchettoni incastrati piuttosto che nella condizione di vincolo indicata nel testo.

Si ricorda che i modi propri (come i modi di instabilità) di una struttura simmetrica rispetto ad un piano per geometria, materiale e vincoli possono essere simmetrici o antisimmetrici rispetto allo stesso piano. Nel caso si cerchi il modo a frequenza propria minima occorre o verificare tutte le combinazioni di simmetria/antisimmetria possibili per i modi, o più semplicemente modellare la struttura completa.

Svolti:

• caso A
• caso B Il vincolo di antisimmetria rispetto al piano yz con normale x risulta correttamente NON applicato al nodo di controllo dell'RBE2 al terminale in quanto tale corpo rigido non attraversa il piano di simmetria.
• caso C
• caso D: qui l'analisi modale è stata svolta a partire dalla configurazione a spostamento imposto non nullo; in assenza di indicazione LARGE ROTATIONS che attiva le nonlinearità geometriche, e quindi il ruolo del precarico iniziale il risultato non è funzione dell'entità dello scostamento, che può anche essere imposto nullo.

testo esercizio modello base esame

Per applicare le sollecitazioni alle estremità di sezione è consigliabile o impostare degli edge load opportuni o creare delle RBE2; notare che come da nota sul testo le rotazioni e i momenti z in un modello piano sono rappresentati dal terzo grado di libertà, quello usualmente riferito a spostamenti e forze in z.

(piuttosto complicato, pure un po' troppo)

profilo_aperto_esempio_vincolamento_base_v000.mfd profilo_aperto_esempio_vincolamento_svolto_v000.mfd

Applicare al profilo in acciaio modellato una sollecitazione di momento torcente tale da indurre tensioni tangenziali massime unitarie, ossia

$$ M_t = \frac{1}{3} l t^3 \frac{1}{t} 1 \mathrm{MPa} $$

con spessore di parete t= 2mm e perimetro di sezione l= 300 mm.

Da modellarsi con 2 piani di antisymm.

Nel modello base sono inseriti

• una rbe2 con gdl dipendenti parzializzati in modo da lasciare libera deformazione fuori piano dei nodi delle facce terminali del profilo;
• un vincolo ausiliario che posiziona tale rbe2 alla rotaz. x; tale rbe2 infatti risulta disaccoppiata dalla struttura in tz, rx e ry per via della parzializzazione dei g.d.l.
• un vincolo di posizionamento della struttura alla rotazione x ottenuto per blocco della ty al nodo di controllo; la ty è vincolata anche al piano di antisymm con nz.

modello base esame

in acciaio, spessore 0.5 mm

provare a caricare con

• sforzo normale 15.708 N
• momento flettente con asse momento x, 37.493 Nmm
• momento flettente con asse momento y, 37.493 Nmm
• momento torcente, 74.987 Nmm

di entità tali da indurre tensioni sigma e tau unitarie sul tubo non intagliato

Supponendo infine uno degli estremi incastrato, calcolare la rigidezza flessionale come rapporto tra coppia in direzione x o y applicata all'altro estremo e rotazione dello stesso.

Esercizio svolto con antisimmetria (non strettamente richiesta, potete procedere con duplicazione della porzione di struttura modellata), estremi allungati per controllare tensione nominale unitaria.

modello svolto

modello, carichi come da traccia, spessore parete 3 mm, materiale Alluminio (E=70000 MPa, nu=0.3, rho=2.7e-9 tonn/mm^3)

due tracce di esempio per esercizio

soluzione seconda traccia

esercitazione_assemblaggio_svolto.pdf

Per chi non avesse svolto a programma l'argomento “forma bandata della matrice di rigidezza”, l'esercizio è da svolgersi con matrice in forma naturale (“piena”) come a lezione e come nell'esercizio sopra proposto. Per gli altri conviene comunque svolgerlo su matrice piena, quindi ricopiare in forma bandata.

traccia

La particolarissima trasformazione (x,y)←($\xi$,$\eta$) rende facilmente valutabile la trasformazione inversa (x,y)→($\xi$,$\eta$) e lo Jacobiano, che nel caso (a) si riduce ad una matrice identità e nel caso (b) è una matrice diagonale.

Data l'invertibilità della trasformazione è possibile scrivere gli spostamenti in funzione di (x,y) [normalmente sono esprimibili solo in funzione di ($\xi$,$\eta$)] e derivare le deformazioni come per gli elementi triangolari 3 nodi.

La natura continua degli spostamenti al passaggio tra un elemento iso4 e l'altro è garantita dal comune spostamento ai nodi, e dall'interpolazione lineare sul lato che ho in ambo gli elementi. Vedere nel caso lezione 12 paom 2015

Per evidenziare la natura in generale discontinua di tensioni e deformazioni al passaggio tra un elemento iso4 e l'altro è sufficiente generare un controesempio, in particolare utilizzando il modello allegato ottengo componenti di tensione $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\tau_{xy}$ discontinui come in figura