Maglia Triangolare

La maglia triangolare è l’elemento base di molti telai ed è una struttura costituita da 3 tratti di trave collegati in diverse maniere, generalmente tramite giunzioni saldate.

La struttura reticolare viene calcolata supponendo le giunzioni come delle cerniere che non trasmettono momento flettente (supposizione fatta anche nella realtà).

Una struttura è completamente triangolata se, sostituendo ai 3 vertici saldati delle cerniere, non ha moti cinematici interni, in altri termini la struttura resta isostatica e non diventa labile.

Un esempio di maglia non completamente triangolata è la maglia quadrata.

Di seguito sarà analizzata una struttura triangolata sottoposta ad un generico carico P e si verificherà l'incidenza del momento flettente se questo non viene trascurato.

Si consideri una struttura triangolata tre volte iperstatica.

Si sostituiscono utilizzando delle cerniere gli incastri interni dei nodi e si aggiungono in ogni nodo delle coppie che tendono ad ampliare gli angoli della struttura: in tal modo risulta una struttura staticamente determinata con le tre coppie $Ca$, $Cb$ e $Co$ (Fig.3)

Adesso bisogna analizzare le reazioni che vengono a crearsi sulla struttura triangolare, sia sui nodi che sulle aste, quando agisce un generico carico $P$.

Si analizzi innanzitutto il carico $P$. Si osserva che i diagrammi di momento flettente e taglio sono nulli, per cui è d’uopo tracciare solo il diagramma dello sforzo normale.

Si consideri la coppia $C_B$: tale coppia esterna deve essere equilibrata da un’ altra coppia di uguale modulo e sullo stesso tratto di trave.

Si consideri, successivamente, la coppia $C_A$:

Ed infine, si consideri la coppia $C_O$:

Per i diagrammi del momento flettente della tre coppie si sono fissate delle ascisse curvilinee, una per ogni tratto.

Si imposta suddetta maglia triangolare sul calcolatore wxMaxima tramite il codice seguente.

Pulisco la memoria

-->  kill(all);

Definisco positive le quantità note tali:

-->  assume (a>0, b>0, l>0);

Definisco grandezze ausiliarie (lunghezze dei tratti):

-->  l : sqrt( a^2 + b^2);
-->  l_OA : a;
     l_OB : b;
     l_AB : l;

Definisco funzioni di forma associate al primo e al secondo nodo di ogni trave:
xi = s/l con s ascisssa curvilinea e l lunghezza di trave
xi = 0 è un posizionamento sul primo nodo
xi = 1 è un posizionamento sul secondo nodo

f(s/l) = f(xi) = f1 * N1(xi) + f2 * N2(xi) è una generica interpolazione lineare

-->  N1 : 1 - xi;
-->  N2 : xi ;

Definisco le caratteristiche di sollecitazione sulle travi:
N = sforzo normale;
Mf = momento flettente positivo se fibre tese esterne alla maglia, andamenti non costanti funzioni dell' ascissa curvilinea adimensionalizzata xi;
T = taglio

  
Contributi di:|------P------|----------CB----------|--------CA--------|----------CO-----------|
-->  N_OA :                P                  +CB/b                 +0              -CO/b    $
-->  N_OB :            P*b/a                     +0              +CA/a              -CO/a    $
-->  N_AB :           -P*l/a              -CB*a/l/b          -CA*b/a/l          +CO*l/a/b    $
-->  Mf_OA :               0                     +0        +0*N1+CA*N2        +CO*N1+0*N2    $
-->  Mf_OB :               0            +0*N1+CB*N2                 +0        +CO*N1+0*N2    $
-->  Mf_AB :               0            +0*N1+CB*N2        +CA*N1+0*N2                 +0    $
-->  T_OA :                0                     +0              -CA/a              +CO/a    $
-->  T_OB :                0                  +CB/b                 +0              -CO/b    $
-->  T_AB :                0                  -CB/l              +CA/l                 +0    $

I momenti flettenti sono assunti positivi se le fibre tese sono esterne alla maglia.
Definiamo l' energia potenziale elastica.
Sezioni circolari (eta è un parametro correttivo, A è l' area , J è il momento di inerzia):

-->  sezione : [eta = 1.11 , A = %pi*d^2/4 , J = %pi*d^4/64 ];
-->  materiale : [ G = E/2/(1 +nu) ];

Calcolo energia potenziale elastica:

-->  U : 

integrate(
    (       N_OA^2/2/E/A 
      +    Mf_OA^2/2/E/J 
      + eta*T_OA^2/2/G/A 
    ) *     l_OA
 , xi
 , 0
 , 1
   ) 
 +
integrate(
    (       N_OB^2/2/E/A 
      +    Mf_OB^2/2/E/J 
      + eta*T_OB^2/2/G/A 
    ) *     l_OB
 , xi
 , 0
 , 1
   ) 
 +
integrate(
    (       N_AB^2/2/E/A 
      +    Mf_AB^2/2/E/J 
      + eta*T_AB^2/2/G/A 
    ) *     l_AB
 , xi
 , 0
 , 1
   ) 
 ;
-->   U : expand(U);

Devo ricavare le tre reazioni incognite CA, CO e CB.

Teorema di Castigliano:
diff( U , CA ) = rotazione su cui CA compie lavoro, l' angolo di apertura della cerniera in A come variazione rispetto all'indeformata.
Tale rotazione deve essere nulla per coerenza con il vincolo interno originario (continuità, rotazioni e traslazioni al nodo).

Imposto un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite sopradefinite:

-->  sol_iper : linsolve(
[
  diff(U,CA) = 0,
  diff(U,CB) = 0,
  diff(U,CO) = 0
] 
,
[CA, CB, CO]
) $

Soluzione del problema con cerniere (sistema isostatico):

-->  sol_iso : [ CA=0, CB=0, CO=0 ];

Espressione energia potenziale elastica con cerniere:

 
-->  U_iso : ev( U, sol_iso, infeval);

Espressione energia potenziale elastica con incastri interni (sistema iperstatico):

-->  U_ipe : ev (U, sol_iper, infeval);

Ricavo cedimento maglia triangolare, iso e iperstatico:

-->  delta_iso : diff ( U_iso, P);
-->  delta_ipe : diff ( U_ipe, P);

Definisco il rapporto tra le rigidezze dei due casi: ratio = rigidezza_iso / rigidezza_iper , <1

-->  ratio : delta_ipe / delta_iso;

Poiché le espressioni risultano essere troppo lunghe per essere visualizzate, tento la valutazione di un caso specifico, assegnando i seguenti valori:

-->  myratio : ev( ratio,
              b = a * 1 ,
              sezione , 
              materiale , 
              nu=3/10 , 
              d = a * zeta,
              infeval 
             ) ;

Definisco:
zeta = d/a (d = diametro)
trave sottile se zeta «1
trave tozza se zeta prossimo a 1

-->  ev(myratio, zeta = 1/10, numer, infeval);

A questo punto viene costruito un grafico rappresentante l'andamento di “myratio” al variare del rapporto “zeta”:

-->  wxplot2d (
          [ myratio ],
          [ zeta, 0.001, 1],
          [legend, "myratio"]
         );

Com'è possibile notare dal grafico, per rapporti zeta prossimi a zero il rapporto tra le rigidezze è molto vicino ad 1. Questo significa che per travi molto snelle è possibile trascurare l'azione del momento flettente senza compiere errori considerevoli.

Diagrammi Mf, T, N da lucidi

File maxima a pausa intermedia qui

File maxima a fine lezione qui

File marc di verifica, a=100mm, b=50mm, d=20mm, E=1000MPa, nu=0.3, P=1000N qui

File maxima con verifica qui

Vincenzo Iasevoli mat. 104048, Vincenzo Marotta mat. 105212, Simone Ceccarelli mat. 103806