Formulazione elemento piastra isoparametrico bilineare 4 nodi

Analogo all'elemento 75 di MSC.Marc.

modi deformativi piastra alla Reissner-Mindlin

caso di pura curvatura $\kappa_{xy}$, come da modello FEM prima lezione MARC

curvatura_torsionale_o_flessionale_anticlastica_kappaxy.odt

curvatura_torsionale_o_flessionale_anticlastica_kappaxy.pdf

Schema geometrico

schema corretto piastra

per $i=1\ldots4$

$$ N_{i}(\xi,\eta)=\frac{1}{4}\left(1 \pm \xi \right)\left(1 \pm \eta \right) $$

Interpolazione di coordinate, spostamenti, rotazioni $$ f(\xi,\eta)=\sum_i N_i(\xi,\eta) f_i = \mathrm{N} (\xi,\eta) \; \mathrm{f} $$ ove $\mathrm{N}(\xi,\eta)$ è un vettore riga, $\mathrm{f}$ è un vettore colonna di termini $f_i$ che possono essere

• $x_i$, $y_i$, $z_i$ coordinate nodali in un sistema di riferimento $Cxyz$ fisico ma locale, ossia rototraslato rispetto ad un sistema $OXYZ$ globale al fine di portare la direzione $z$ locale ad essere normale all'elemento ¹⁾
• $u_i$, $v_i$, $w_i$ spostamenti nodali rispetto agli assi $xyz$;
• $\theta_{x,i} \equiv \theta_i \equiv r_i$, $\theta_{y,i} \equiv \phi_i \equiv s_i$, rotazioni nodali rispetto agli assi $xy$;

Le funzioni spostamento $u(\xi,\eta)$,$v(\xi,\eta)$ e $w(\xi,\eta)$ sono riferite ai punti dul piano di riferimento.

In forma prodotto vettore riga / vettore colonna posso

Operatore differenziale a partire da valori nodali $f_i$ di una funzione, $i= 1\ldots n$ con $n$ numero di nodi ovvero numero di funzioni di forma

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} = \underbrace{ \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} \\ \frac{\partial x}{\partial \eta} &\frac{\partial y}{\partial \eta} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots \\ \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots \end{bmatrix} }_{\mathrm{Q}(\xi,\eta)} \begin{bmatrix} \vdots \\ f_i \\ \vdots \end{bmatrix} =\mathrm{Q}(\xi,\eta) \mathrm{f} $$

Notiamo che la matrice jacobiana può essere definita sulla base di

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} \\ \frac{\partial x}{\partial \eta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots \\ \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots \end{bmatrix} \mathrm{x} , \quad \begin{bmatrix} \frac{\partial y}{\partial \xi} \\ \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & \cdots \\ \cdots & \frac{\partial N_i}{\partial \eta}& \cdots \end{bmatrix} \mathrm{y} $$

Si può definire per blocchi

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix} = \underbrace{ \begin{bmatrix} \mathrm{Q}(\xi,\eta) && \mathrm{0} \\ \mathrm{0} && \mathrm{Q}(\xi,\eta) \end{bmatrix} }_{\mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta)} \begin{bmatrix} \mathrm{u} \\ \mathrm{v} \end{bmatrix} $$ ove $\mathrm{u}$ e $\mathrm{v}$ sono vettori colonna contenenti gli $n$ spostamenti nodali $u_i$ e $v_i$.

Poiché le componenti membranali di deformazioni sono definite sulla base degli spostamenti al piano di riferimento abbiamo

$$ \begin{bmatrix} \bar{\epsilon}_x \\ \bar{\epsilon}_y \\ \bar{\gamma}_{xy} \end{bmatrix} = \underbrace{ \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 1 && 0 \end{bmatrix} }_{\mathrm{H}^\prime} \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix} = \mathrm{H}^\prime \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta) \begin{bmatrix} \mathrm{u} \\ \mathrm{v} \end{bmatrix} $$

Le componenti di curvatura sono invece definite sulla base delle sole rotazioni (e non delle di $w$), da cui

$$ \begin{bmatrix} \kappa_x \\ \kappa_y \\ \kappa_{xy} \end{bmatrix} = \underbrace{ \begin{bmatrix} 0 && 0 && +1 && 0 \\ 0 && -1 && 0 && 0 \\ -1 && 0 && 0 && +1 \end{bmatrix} }_{\mathrm{H}^{\prime\prime}} \begin{bmatrix} \frac{\partial r}{\partial x} \\ \frac{\partial r}{\partial y} \\ \frac{\partial s}{\partial x} \\ \frac{\partial s}{\partial y} \end{bmatrix} = \mathrm{H}^{\prime\prime} \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta) \begin{bmatrix} \mathrm{r} \\ \mathrm{s} \end{bmatrix} $$

Nota quindi la relazione

$$ \underline{\epsilon}(\xi,\eta,z)=\underline{\bar{\epsilon}}(\xi,\eta) + z \underline{\kappa} (\xi,\eta) $$

valida per le componenti di deformazione entro piano al generico punto P

$$ \underline{\epsilon}= \begin{bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{bmatrix} $$

definite in funzione delle componenti (entro piano) di deformazione al punto Q, proiezione di P sul piano di riferimento ($z=0$ in Q)

$$ \underline{\bar{\epsilon}}= \begin{bmatrix} \bar{\epsilon}_x \\ \bar{\epsilon}_y \\ \bar{\gamma}_{xy} \end{bmatrix} $$

e delle curvature locali

$$ \underline{\kappa}= \begin{bmatrix} \kappa_x \\ \kappa_y \\ \kappa_{xy} \end{bmatrix} $$

Notiamo che mancano le componenti fuori piano $\epsilon_z, \gamma_{zx}, \gamma_{yz}$ che normalmente caratterizzano lo stato deformativo di un punto entro un corpo deformabile.

possiamo definire per blocchi (1° blocco: 3×8, 2° blocco: 3×4, 3° blocco: 3×8) una matrice $\mathrm{B}^\prime(\xi,\eta,z)$ 3×20 di legame spostamenti - deformazioni

$$ \underline{\epsilon}(\xi,\eta,z)= \begin{bmatrix} \mathrm{H}^\prime \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta) & \mathrm{0} & z \; \mathrm{H}^{\prime\prime} \mathrm{Q}^\ast (\xi,\eta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm{u} \\ \mathrm{v} \\ \mathrm{w} \\ \mathrm{r} \\ \mathrm{s} \end{bmatrix} $$

da cui, raccolti entro $\mathrm{d}$ i gg.d.l. nodali,

$$ \underline{\epsilon}(\xi,\eta,z)= \mathrm{B}^\prime(\xi,\eta,z) \mathrm{d} $$

ovvero, separando i termini di $\mathrm{B}^\prime$ in due distinte matrici in base a loro ordine in $z$ $$ \underline{\epsilon}(\xi,\eta,z)= \left( \mathrm{B}^\prime_0(\xi,\eta) + \mathrm{B}^\prime_1(\xi,\eta) z \right) \mathrm{d} $$

Le componenti di deformazione $\gamma_{yz}$ e $\gamma_{zx}$ possono essere definite sulla base dello scostamento tra le derivate in $x,y$ dello spostamento normale al piano $w$ e le componenti di rotazione $r,s$; in particolare

$$ \gamma_{yz}= \frac{\partial w}{\partial y} - r, \quad \gamma_{zx}= \frac{\partial w}{\partial x} + s $$

da cui

$$ \begin{bmatrix} \gamma_{zx} \\ \gamma_{yz} \end{bmatrix} = \mathrm{Q} (\xi,\eta) \mathrm{w} + \begin{bmatrix} 0 & +\mathrm{N}(\xi,\eta) \\ -\mathrm{N}(\xi,\eta) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm{r} \\ \mathrm{s} \end{bmatrix} $$

ovvero

$$ \begin{bmatrix} \gamma_{zx} \\ \gamma_{yz} \end{bmatrix} = \underbrace{ \begin{bmatrix} \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{Q} (\xi,\eta) & \begin{matrix} 0 \\-\mathrm{N}(\xi,\eta) \end{matrix} & \begin{matrix} \mathrm{N}(\xi,\eta) \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix} }_{\mathrm{B}^{\prime\prime} (\xi,\eta)} \begin{bmatrix} \mathrm{u} \\ \mathrm{v} \\ \mathrm{w} \\ \mathrm{r} \\ \mathrm{s} \end{bmatrix}= \mathrm{B}^{\prime\prime} (\xi,\eta) \; \mathrm{d} $$

con $\mathrm{B}^{\prime\prime}$ è definita per affiancamento di 5 blocchi 2×4.