Condizione di curvatura torsionale $\kappa_{xy}$ unitaria: $$ \theta_x= -\frac{1}{2}x, \quad \theta_y= +\frac{1}{2}y $$
Al piano di riferimento $$ u=v=0 $$
Lo spostamento $w$ è stato in classe (mercoledì 22/3/2017) imposto nullo, generando un inaspettato stato tensionale non nullo al piano medio (vedi eq. von Mises stress, middle layer).
Sarebbe invece stato corretto impostare uno spostamento $w=w^\dagger$ coerente una pura curvatura torsionale, che in particolare rispetti non solamente
$$ \kappa_x = -\frac{\partial^2 w^\dagger}{\partial x^2} = +\frac{\partial \theta_y}{\partial x}=0, \quad \kappa_y = -\frac{\partial^2 w^\dagger}{\partial y^2} = -\frac{\partial \theta_x}{\partial y}=0, $$
e
$$ -\frac{\partial \theta_x}{\partial x} +\frac{\partial \theta_y}{\partial y} = \kappa_{xy}=1 $$
ma anche
$$ - 2 \frac{\partial^2 w^\dagger}{\partial x \partial y} = \kappa_{xy}=1. $$
In particolare la condizione $w=0$ impostata mercoledì 22/3/2017 non rispettava quest'ultima imposizione, e risultava quindi non coerente con una pura curvatura torsionale.
Un corretto spostamento $w$ in direzione $z$ associato ad una pura curvatura torsionale risulta
$$ w^\dagger = -\frac{1}{2}xy $$
più una eventuale quota di moti di corpo rigido, che non consideriamo.
In una piastra alla Reissner-Mindlin come quella in esame (elemento 75 Marc) lo spostamento normale è dato dalla somma di tale spostamento flessionale $w^\dagger$ e di uno spostamento puramente tagliante $w^\ddagger$, ossia
$$ w=w^\dagger+w^\ddagger $$
Nel caso io imponga uno spostamento totale $w=0$ (e quindi non coerente con le rotazioni imposte $\theta_x, \theta_y$ in condizioni di deformazione puramente flesso-torsional-membranale), induco nell'elemento una deformazione tagliante fuori piano con componenti medie $\bar{\gamma}_{zx},\bar{\gamma}_{yz}$, associata allo spostamento $w^\ddagger$ necessariamente compensante
$$ w^\ddagger = +\frac{1}{2}xy $$
con
$$ \quad \frac{\partial w^\ddagger}{\partial x }=\bar{\gamma}_{zx}=\frac{1}{2}y, \quad \frac{\partial w^\ddagger}{\partial y }=\bar{\gamma}_{yz}=\frac{1}{2}x $$
Tali deformazioni inducono lo stato tensionale non nullo rilevato al piano medio di piastra.
NB: Se impongo al modello $w=0$, ottengo una configurazione deformata nella quale il piano di riferimento rimane indeformato (spostamenti nulli solo sopra e sotto al piano di riferimento); le componenti di deformazione non sono però tutte nulle, in particolare sono non nulle le componenti $\gamma_{zx}$ e $\gamma_{yz}$. Se impongo al modello $w=w^\dagger$, ottengo viceversa una configurazione deformata che vede il materiale al piano di riferimento disposto su una forma a sella (a partire da una configurazione piana); le componenti di deformazion sono però nulle al piano di riferimento.
per aprire marc/mentat
mentat2013.1 -ogl -glflush
da terminale
v009: deformazioni corrette (o meno, a seconda del valore del termine Displacement z nelle b.c.) rispetto a svolgimento in classe e materiale fittiziamente ortotropo per valutare componenti di tensione e deformazione; anticipazione della prossima lezione.
Per ottenere in output lo stato tensionale risolto in componenti del sistema globale xyz occorre richiedere lo Global Stress dal menu Job results, sezione Available element scalars.
In alternativa è possibile richiedere le componenti in un sistema locale definito (sottomenu ORIENTATIONS di MATERIAL PROPERTIES, orientazione tipo uu_plane) attivando il tensore Stress in preferred sys su layers OUT & MID, e dalla sezione Element scalars i due
1st Element Orientation Vector e 2nd Element Orientation Vector su layer default.
Questa seconda opzione è richiesta per una corretta valutazione dello stato tensionale in materiali effettivamente ortotropi (es. lamine CFRP)