Con particolare riferimento a profilati in parete sottile.

Legame tra componenti di tensione e componenti di deformazione per un materiale elastico lineare isotropo

$$ \def\X{\frac{E\left(1-\nu\right)}{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}} \def\Y{\frac{E\nu }{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}} \begin{bmatrix} \sigma_{x}\\ \sigma_{y}\\ \sigma_{z}\\ \tau_{xy} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \X&\Y&\Y&0&0&0 \\ \Y&\X&\Y&0&0&0 \\ \Y&\Y&\X&0&0&0 \\ 0 &0 &0 &G&0&0 \\ 0 &0 &0 &0&G&0 \\ 0 &0 &0 &0&0&G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \epsilon_{x}\\ \epsilon_{y}\\ \epsilon_{z}\\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{yz} \\ \gamma_{zx} \end{bmatrix} $$

$$ \def\X{\frac{1} {E}} \def\Y{\frac{-\nu}{E}} \def\Z{\frac{1} {G}} \begin{bmatrix} \epsilon_{x}\\ \epsilon_{y}\\ \epsilon_{z}\\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{yz} \\ \gamma_{zx} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \X&\Y&\Y&0&0&0 \\ \Y&\X&\Y&0&0&0 \\ \Y&\Y&\X&0&0&0 \\ 0 &0 &0 &\Z&0&0 \\ 0 &0 &0 &0&\Z&0 \\ 0 &0 &0 &0&0&\Z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{x}\\ \sigma_{y}\\ \sigma_{z}\\ \tau_{xy} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \end{bmatrix} $$

Si noti che:

• E rappresenta il modulo di Young,
• $\nu$ rappresenta il coefficiente di Poisson (per i materiali di nostro interesse, principalmente metallici, vale circa 0,3)
• G rappresenta il modulo di taglio, legato a E e $\nu$ dalla relazione:

$$ G=\frac{E}{2\left ( 1+\nu \right )} $$

Si considera uno stato tensionale uniassiale $\sigma_z = E \epsilon_z$.

Applicazione della formula di Jourawski a sezioni in parete sottile aperta e chiusa.

Applicazione di Jourawsky su sezioni sottili aperte. Procedura per la determinazione del centro di taglio

Applicazione di Jourawsky su sezioni sottili aperte. Procedura per la determinazione del parametro incognito $\tau_c t_c$.

Energia potenziale elastica di un concio di trave in taglio/torsione, $\tau \equiv \tau_{zs}$ con $s$ ascissa curvilinea a scorrere sulla parete sottile a partire dal punto di taglio C.

Definizione $\tau(s)$ sui tratti della sezione in parete sottile $$ \tau\left(s \right )t\left(s \right )=\iint_{A^\star}\frac{d \sigma_z}{dz} d A - \tau_C t_C = \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) d \cdot - \tau_C t_C $$

Suppongo qui $\sigma_z$ uniforme lungo lo spessore (stato di taglio membranale).

Energia associata alla combinazione taglio / momento torcente indotto dal carico traverso se applicato con braccio $d$ rispetto al centro di taglio

$$ U = \oint \frac{\tau^2(s)}{2G} t(s) ds=\oint \frac{\left( \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) d \cdot - \tau_C t_C \right)^2}{2G} t(s) ds =\frac{1}{2}T_y v_C + \underbrace{ \frac{1}{2} \underbrace{T_y d}_{M_t} \theta}_{\geq 0} $$ ove $v_C$ è lo spostamento in direzione y del centro di taglio

Essendo l'energia relativa al momento torcente $\geq 0$, il caso a $d$ nullo è un minimo dell'energia potenziale elastica.

$$ \frac{\partial U}{\partial t_C \tau_C} = 0 $$

$$ \frac{\partial U}{\partial \left(\tau_C t_C \right )} = \oint \frac{ +2\left( \tau_C t_C \right) - 2 \left( \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) \;d \cdot \right) }{2G} t\; ds =0 $$ e quindi $$ \tau_C t_C = \frac{ \oint \frac{ \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t \;d \cdot }{G} t\; ds }{\oint \frac{ t }{G} \; ds } $$

Lucidi della lezione

Lucidi e appunti spicci

Materiale di riferimento/approfondimento per sezioni in parete sottile chiusa e aperta a torsione

C. Felippa, Torsion Of Open Thin Wall (OTW) Sections C. Felippa, Torsion Of Closed Thin Wall (CTW) Sections