\section{Relazioni cinematiche di dipendenza tra gradi di libertà}
\subsection{Servo-link} \label{ss:servos}
Sia dato un sistema di $n$ gradi di libertà (gg.d.l) $\delta_i$, e siano definite $n$ componenti di azione esterna $F_i$ agenti (compienti lavoro) su tali gg.d.l., e sia definito un sistema di reazioni elastiche associate allo scostamento di tali gg.d.l. dal valore nullo nella forma $-k_{ij}\delta_j$. Siano
\begin{equation}
\label{eq_equilibrio}
\ma{K}\ve{\delta}=\ve{F}
\end{equation}
le equazioni di equilibrio ai vari gg.d.l. .

Si intende definire una relazione cinematica di dipendenza tra un g.d.l, nello specifico $\delta_j$, ed i restanti $\delta_i, i \neq j$, nella forma
\begin{equation}
\label{eq_defservo}
\delta_j=\sum_{i \neq j} \alpha_{ji} \delta_i + \Delta\delta_j
\end{equation}
Il termine $\Delta\delta_j$ è stato introdotto per permettere uno scostamento dalla relazione cinematica stessa, e rappresenta uno spostamento \emph{relativo} tra il termine di combinazione lineare e l'effettiva dislocazione del nodo.
Tale termine e potrà successivamente essere ridotto a valore nullo (o in generale imposto) con le consuete metodologie di vincolamento del grado di libertà.

Tale relazione cinematica imposta è chiamata \emph{servo-link} o \emph{multi-point constraint (MPC)}, ed è tipicamente implementata nei codici in forma omogenea $\Delta\delta_j=0$.

Se la forma algebrica \ref{eq_defservo} lega i vari gg.d.l. senza indurre relazioni di subordinazione, l'imposizione della stessa in forma di \emph{assegnazione} sancisce la condizione di dipendenza di $\delta_j$ dai restanti. Si dirà in particolare che $\delta_j$ è un g.d.l. \emph{dipendente} (o \emph{tied}) mentre i vari $\delta_i, i \neq j$ sono gg.d.l. \emph{indipendenti} (anche detti \emph{retained}\footnote{Questa denominazione nasce da un'implementazione alternativa a quella qui descritta che vede un'eliminazione del g.d.l. dipendente con conseguente riduzione del numero delle incognite stesso. I gg.d.l. indipendenti sono invece ``mantenuti'' da cui la denominazione.}).

In virtù della \ref{eq_defservo} sarà quindi possibile scrivere
\begin{equation}
\label{eq_defL}
	\left[
		\begin{array}{c}
			\delta_1 \\
			\vdots	\\
			\delta_{j-1} \\			
			\delta_j \\
			\delta_{j+1} \\
			\vdots	\\
			\delta_n \\
		\end{array}
	\right]
	=
	\left[
		\begin{array}{ccccccc}
			1      & \cdots & 0 & 0      & 0 & \cdots & 0   \\
			\vdots & \ddots & \vdots & \vdots &\vdots &   & \vdots   \\
			0      & \cdots & 1 & 0      & 0 & \cdots & 0   \\
			\alpha_{j,1}  & \cdots & \alpha_{j,j-1} & 1 & \alpha_{j,j+1} & \cdots & \alpha_n \\
			0      & \cdots &   0    & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
			\vdots &        & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
			0      & \cdots  &   0    & 0 & 0 & \cdots & 1 \\						
		\end{array}
	\right]
	\left[
		\begin{array}{c}
			\delta_1 \\
			\vdots	\\
			\delta_{j-1} \\
			\Delta\delta_j \\
			\delta_{j+1} \\
			\vdots	\\
			\delta_n \\
		\end{array}
	\right]
\end{equation} 
ed in forma compatta 
\begin{equation}
\label{eq_eqlink}
\ve{\delta}=\ma{L}\ve{\delta}^{\ast},
\end{equation}
che risulta essere un semplice cambiamento di base/componenti per la descrizione dello stato del sistema ad $n$ gg.d.l..

In particolare è possibile introdurre \ref{eq_defL} entro \ref{eq_equilibrio} ottenendo il cambiamento di incognite
\begin{equation}
\underbrace{\ma{L}^T \ma{K} \ma{L}}_{\ma{K}^\ast} \ve{\delta}^\ast = \underbrace{\ma{L}^T \ve{F}}_{\ve{F}^\ast}
\end{equation}
ove la premoltiplicazione di ambo i membri per $\ma{L}^T$ è stata introdotta per mantenere la simmetria del sistema, nonché una coerente definizione di lavoro virtuale delle azioni esterne nella forma 
\begin{equation}
\partial\ell=\left\langle \ve{F}^\ast ,\ve{\partial\delta}^\ast \right\rangle
\end{equation}

Andando infine ad analizzare in dettaglio il termine noto di \ref{eq_eqlink}, risulta in componenti che
\begin{equation}
F^\ast_i = F_i+ \alpha_{ji} F_j, \; i \neq j;\quad F^\ast_j = F_j ,
\end{equation}
ossia che la quota di azione esterna originariamente agente sul $j$-esimo g.d.l., ora reso dipendente, si ripartisce sugli altri gg.d.l. secondo gli stessi coefficienti $\alpha_{ji}$ che definiscono il legame cinematico.


\subsection{Link di forze/momenti risultanti distribuiti RBE3}

Si considera un nodo dipendente $C$ di coordinate $x_C,y_C,z_C$, detto nodo di controllo (alle forze... altrimenti la definizione è impropria), ed una nuvola di $n$ nodi indipendenti $P_i$ di coordinate $x_i,y_i,z_i$ e con peso relativo $q_i$. 

Si considera applicato al nodo $C$ un sistema di azioni esterne nella forma delle tre componenti di forza $U_C,V_C,W_C$ e nelle tre componenti di momento $\Omega_C,\Phi_C,\Psi_C$, riunite nel vettore
\[\ve{F}_C=\left[\ U_C \; V_C \; W_C \; \Omega_C \; \Phi_C \; \Psi_C \right]^T\]. 

Si definisce un centro di massa $G$ della nuvola di punti, le cui coordinate sono al solito
\begin{equation}
x_G = \frac{\sum_{i} q_i x_i}{\sum_{i} q_i},\quad
y_G = \frac{\sum_{i} q_i y_i}{\sum_{i} q_i},\quad
z_G = \frac{\sum_{i} q_i z_i}{\sum_{i} q_i}.
\end{equation}

Si definisce quindi una prima relazione di dipendenza cinematica, per cui le rototraslazioni 
\[
\ve{\delta}_C = \left[
u_C \; v_C \; w_C \; \theta_C \; \phi_C \; \psi_C
\right]^T
\] 
di $C$ sui tre assi $x,y,z$ sono definite in funzione delle rototraslazioni 
\[
\ve{\delta}_G = \left[
u_G \; v_G \; w_G \; \theta_G \; \phi_G \; \psi_G
\right]^T
\] 
del centro di massa $G$ secondo il vincolo di rototraslazione rigida
\begin{equation}
	\label{eq:linkCtoG}
	\left[
		\begin{array}{c}
			u_C \\ v_C \\ w_C \\ \theta_C \\ \phi_C \\ \psi_C \\
		\end{array}
	\right] 
	=
	\underbrace{
	\left[
		\begin{array}{cccccc}
			1 & 0 & 0 & 0           & +(z_C-z_G) & -(y_C-y_G) \\
			0 & 1 & 0 & -(z_C-z_G)  & 0          & +(x_C-x_G) \\ 
			0 & 0 & 1 & +(y_C-y_G)  & -(x_C-x_G) & 0          \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
		\end{array}
	\right]
	}_{\ma{L}_{CG}} 
	\cdot
	\left[
		\begin{array}{c}
			u_G \\ v_G \\ w_G \\ \theta_G \\ \phi_G \\ \psi_G \\
		\end{array}
	\right] 
\end{equation}
già visto per le RBE2.

Come osservato al paragrafo \ref{ss:servos}, all'imposizione di tali relazioni cinematiche è associata una riduzione a nuovo punto di applicazione $G$ delle azioni agenti su $C$, con l'introduzione di opportuni momenti di trasporto come da
\begin{equation}
	\ve{F}_G	
	=
	\left[\ma{L}_{CG}\right]^T 
	\cdot
	\ve{F}_C, \quad 	
	\ve{F}_G = \left[
			U_G \; V_G \; W_G \; \Theta_G \; \Phi_G \; \Psi_G
	\right]^T  
\end{equation}

Si definisce quindi una seconda relazione di dipendenza per cui da una parte lo spostamento del nodo $G$ risulti la media pesata degli spostamenti ai nodi $P_i$, ovvero
\begin{equation}
u_G = \frac{\sum_{i} q_i u_i}{\sum_{i} q_i},\quad
v_G = \frac{\sum_{i} q_i v_i}{\sum_{i} q_i},\quad
w_G = \frac{\sum_{i} q_i w_i}{\sum_{i} q_i},
\end{equation}
e dall'altra le forze applicate in $C$ e ridotte a $G$ si distribuiscano ai nodi $P_i$ secondo i pesi dati, ossia
\begin{equation}
\label{eq:fdist}
U^\prime_i = U_C \frac{q_i}{\sum_{i} q_i},\quad
V^\prime_i = V_C \frac{q_i}{\sum_{i} q_i},\quad
W^\prime_i = W_C \frac{q_i}{\sum_{i} q_i}.
\end{equation}

Per quanto riguarda la distribuzione dei momenti ridotti a $G$ sui nodi $P_i$, si preferisce operare in termini di una seconda quota di forze nodali $U^{\prime\prime}_i,V^{\prime\prime}_i,W^{\prime\prime}_i$ piuttosto che in termini di una quote momenti $\Theta^{\prime}_i,\Phi^{\prime}_i,\Psi^{\prime}_i$.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1]{rbe3.pdf} 
\caption{Schema distribuzione momenti}
\label{fig:distrmom}
\end{figure}

Riferendosi a Figura \ref{fig:distrmom}, si considerano le componenti di momento $\Theta_G,\Phi_G,\Psi_G$ singolarmente nella riduzione a sistemi di forze equivalenti.

Preso l'esempio particolare della componente $z$ di momento $\Psi_G$, ad essa viene sostituito un sistema equivalente di forze $\ve{F}_{\Psi,i}$ distribuite ai punti $P_i$
%\begin{equation}
%\ve{F}_{\Psi,i}=U_{\Psi,i} \ve{\hat{\imath}} + V_{\Psi,i} \ve{\hat{\jmath}}
%\end{equation}
in sole componenti $x,y$ tali da avere 
\begin{itemize}
	\item retta d'azione sul piano $x,y$, normale alla congiungente $G-P_i$ ivi proiettata 
	\item verso coerente con il momento stesso 
	\item modulo proporzionale alla distanza proiettata
		\begin{equation}
			r_{z,i}=\sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_i^2}, \quad \Delta x_i = x_i-x_G,\quad \Delta y_i = y_i-y_G
		\end{equation}
		 e al peso $q_i$ del nodo
	\item momento risultante della distribuzione pari a $\Psi_G \hat{k}$
\end{itemize}
In particolare risulta
\begin{equation}
	\ve{F}_{\Psi,i}   = \frac{\Psi_G q_i }{\sum_j q_j  r_{z,j}^2} 
						\left(
								- \Delta y_i \hat{\ve{\imath}}
								+ \Delta x_i \hat{\ve{\jmath}}
						\right)
\end{equation}
e, una volta definiti 
		\begin{equation*}
			r_{x,i}=\sqrt{\Delta y_i^2 + \Delta z_i^2}, \quad r_{y,i}=\sqrt{\Delta z_i^2 + \Delta x_i^2}, \quad \Delta z_i = z_i-z_G
		\end{equation*}
si hanno per le altre componenti di momento le forme
\begin{equation}
	\ve{F}_{\Theta,i}	=\frac{\Theta_G q_i}{\sum_j q_j  r_{z,j}^2} 
						\left(	
							-	\Delta z_i\ve{\hat{\jmath}} 
							+	\Delta y_i\ve{\hat{k}},
						\right)
\end{equation}
\begin{equation}
	\ve{F}_{\Phi,i}		=\frac{\Phi_G q_i}{\sum_j q_j  r_{y,j}^2} 
						\left(
							- \Delta x_i \ve{\hat{k}}
							+ \Delta z_i \ve{\hat{\imath}}
						\right)
\end{equation}
le quali, raccolte per componenti e in notazione più compatta, danno
\begin{equation}
\label{eq:Mdist}
  U_i^{\prime\prime} \hat{\imath} +
  V_i^{\prime\prime} \hat{\jmath} +
  W_i^{\prime\prime} \hat{  k   } =
q_i 
\left|
\begin{array}{ccc}
	\hat{\imath} & 
	\hat{\jmath} & 
	\hat{k} \\
	\frac{\Theta_G}{\sum_j q_j  r_{x,j}^2} & 
	\frac{\Phi_G}  {\sum_j q_j  r_{y,j}^2} &
	\frac{\Psi_G}  {\sum_j q_j  r_{z,j}^2} \\
	\Delta x_i & 
	\Delta y_i & 
	\Delta z_i \\ 
\end{array}
\right|
\end{equation}

I termini in \ref{eq:Mdist} andranno sommati a quelli ricavati in \ref{eq:fdist}, per cui la forza distribuita dal link RBE3 sull'$i$-esimo nodo risulterà
\begin{equation}
	\ve{F}_i =
  U_i\hat{\imath} +
  V_i\hat{\jmath} +
  W_i\hat{  k   } =
  (U_i^{\prime}+U_i^{\prime\prime}) \hat{\imath} +
  (V_i^{\prime}+V_i^{\prime\prime}) \hat{\jmath} +
  (W_i^{\prime}+W_i^{\prime\prime}) \hat{  k   }
\end{equation}
o, in forma algebrica
%
\begin{equation}
\left[
\begin{array}{c}
  U_i\\
  V_i\\
  W_i\\
  \Theta_i\\
  \Phi_i\\
  \Psi_i\\
\end{array}
\right] 
=
\underbrace{
q_i
\left[
\begin{array}{cccccc}
      \frac{1}{\sum_j q_j}&0&0& 
  0                                          & + \frac{\Delta z_i}{\sum_j q_j  r_{y,j}^2} & - \frac{\Delta y_i}{\sum_j q_j  r_{z,j}^2} \\
    0&\frac{1}{\sum_j q_j}&0&
  - \frac{\Delta z_i}{\sum_j q_j  r_{x,j}^2} &                                          0 & + \frac{\Delta x_i}{\sum_j q_j  r_{z,j}^2}\\
  0&0&\frac{1}{\sum_j q_j}&
  + \frac{\Delta y_i}{\sum_j q_j  r_{x,j}^2} & - \frac{\Delta x_i}{\sum_j q_j  r_{y,j}^2} & 0                                         \\
  0&0&0&0&0&0\\
  0&0&0&0&0&0\\
  0&0&0&0&0&0\\
\end{array}
\right]
}_{\ma{L}^T_{GP,i}} 
\left[
\begin{array}{c}
  U_G\\
  V_G\\
  W_G\\
  \Theta_G \\
  \Phi_G   \\
  \Psi_G   \\
\end{array}
\right] 
\end{equation}
%
Tale relazione è definita in forma specifica per ogni nodo $P_i$.

Alla distribuzione di forza appena descritta è associata la forma agli spostamenti risulta
\begin{equation}
\ve{\delta}_G=	\underbrace{
				\left[
					\begin{array}{ccccc}
						\ma{L}_{GP,1} & \cdots & \ma{L}_{GP,i} & \cdots & \ma{L}_{GP,n}
					\end{array}
				\right]
				}_{\ma{L}_{GP}}
				\underbrace{
				\left[
					\begin{array}{c}
						\ve{\delta}_1 \\ \vdots \\ \ve{\delta}_i \\ \vdots \\ \ve{\delta}_n
					\end{array}
				\right]^T
				}_{\ve{\delta}_{\forall i}}
\end{equation}
ove $\ma{L}_{GP}$ e $\ve{\delta}_{\forall i}$ sono definiti per blocchi. 

Ricordando infine la \ref{eq:linkCtoG} si può esprimere per il link RBE3 una condizione cinematica
\begin{equation}
	\ve{\delta}_c = \ma{L}_{CG} \cdot \ma{L}_{GP} \cdot \ve{\delta}_{\forall i}
\end{equation}
ed una caratteristica di distribuzione delle forze ai nodi $P_i$
\begin{equation}
\ve{F}_i = \ma{L}^T_{GP,i} \cdot \ma{L}_{CG}^T \cdot \ve{F}_C, \quad i=1\ldots n .
\end{equation}
