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===== Es. 1 =====
Si scompone il carico P in una componente verticale $P_\mathrm{v}=P\sin(60^\circ)$, che dà luogo allo sforzo normale lungo l'appendice trabeiforme, e in una componente traversa $P_\mathrm{o}=P\cos(60^\circ)$, che dà luogo a taglio (trascurato nella trattazione suggerita) e a momento flettente.

Alla base dell'appendice (ovvero alla sezione di incastro), dove è collocato il raccordo "b", abbiamo $N=P_\mathrm{v}$ e $M_\mathrm{f}=P_\mathrm{o}\cdot \ell$ con $\ell$=43mm ((l'alternativa $\ell$=43mm-2mm che valutava il momento alla sezione al piede del raccordo, sebbene sconsigliata in assenza di indicazioni specifiche, era pure accettabile)).

In corrispondenza di tale raccordo, le tensioni nominali da sforzo normale e da momento flettente sono da calcolarsi come $\sigma_\mathrm{N}=\frac{N}{A}$ e $\sigma_\mathrm{Mf}=\frac{M_\mathrm{f}}{W}$ con $A=8\cdot 18\,\mathrm{mm}^2$ e $W=\frac{8 \cdot 18^2}{6}\,\mathrm{mm}^3$, data l'orientazione dell'asse neutro flessionale.

I fattori di forma a sforzo normale $\alpha_{k,N}$ e a flessione $\alpha_{k,f}$ sono forniti nel testo.

Si calcola il fattore di sensibilità all'intaglio come da (4.2.2) p. 306, acciai da bonifica.

I fattori di effetto intaglio a sforzo normale $\beta_{k,N}$ e a flessione $\beta_{k,f}$ si derivano quindi dalla (4.4.1) p. 309.

Le tensioni teoriche ed effettive si calcolano quindi applicando le (4.1.1) p. 292 e (4.3.1) p. 308.

Dal diagramma di Goodman del materiale a p. 248 si deriva la tensione critica per sollecitazioni flessionali modulate all'origine $\sigma_\mathrm{crit,f,or}$, pari a 300 MPa. 

Si utilizzano valori associati alla sollecitazione flessionale per via della presenza di gradiente tensionale nell'intorno del punto massimamente sollecitato (non si prevede plasticizzazione).

Le tensioni effettive indotte da sforzo normale e momento flettente si sommano al raccordo "b" in uno stato uniassiale di tensione cumulativo, da cui il calcolo del coefficiente di sicurezza come
$$
n=\frac{\sigma_\mathrm{crit,Mf,or}}{\sigma_\mathrm{eff,N}+\sigma_\mathrm{eff,Mf}}
$$
===== Es. 2 =====

Dalla lettura del grafico, abbiamo
  * componente di tensione $\sigma_\mathrm{x}$ che oscilla da una tensione superiore $\sigma_\mathrm{x,sup}=140$MPa ad una tensione inferiore $\sigma_\mathrm{x,inf}=-80$MPa, presa come riferimento di fase;
  * componente di tensione $\sigma_\mathrm{y}$ che oscilla da una tensione superiore $\sigma_\mathrm{y,sup}=40$MPa ad una tensione inferiore $\sigma_\mathrm{y,inf}=-100$MPa, **in controfase** rispetto alla $\sigma_\mathrm{x}$;
  * componente di tensione $\tau_\mathrm{xy}$ che oscilla da una tensione superiore $\tau_\mathrm{xy,sup}=60$MPa ad una tensione inferiore $\tau_\mathrm{xy,inf}=-20$MPa, di cui si omette discussione relativa alla fase, in quanto non rilevante ai fini della valutazione del coefficiente di sicurezza secondo le teorie proposte.


Dopo aver ribaltato il ciclo delle $\sigma_\mathrm{y}$ portandolo a $\sigma_\mathrm{y,sup}^\ast=100$MPa ad una tensione inferiore $\sigma_\mathrm{y,inf}^\ast=-40$MPa, in modo da avere tensione media $\sigma_\mathrm{y,m}^\ast\geq 0$, si calcolano i tre diversi coefficienti
$$ 
K_\mathrm{x }=\frac{1+\frac{\sigma_\mathrm{x,inf}}{\sigma_\mathrm{x,sup}}}{2}, \quad 
K_\mathrm{y }=\frac{1+\frac{\sigma_\mathrm{y,inf}^\ast}{\sigma_\mathrm{y,sup}^\ast}}{2}, \quad 
K_\mathrm{xy}=\frac{1+\frac{\tau_\mathrm{xy,inf}}{\tau_\mathrm{xy,sup}}}{2}, \quad 
$$

come da Eq. (6.2) p. 244.

Le tensioni critiche a flessione -- e non a sforzo normale, per via dello spiccato gradiente che caratterizza lo stato tensionale agli intagli -- e a taglio sono derivabili dal diagramma di Goodman del materiale a p. 253.

Il calcolo del coefficiente di sicurezza si effettua utilizzando la formula per stato piano completo (2.2.1.10) a p. 454 con $\sigma_\mathrm{x}=\sigma_\mathrm{x,sup}$, $\sigma_\mathrm{y}=-\sigma_\mathrm{y,sup}^\ast$, $\tau_\mathrm{xy}=\tau_\mathrm{xy,sup}$.

Il segno negativo viene attribuito alla $\sigma_\mathrm{y}$ in virtù del suo essere in controfase alle $\sigma_\mathrm{x}$, a cui è stato implicitamente dato segno positivo; tale attribuzione di segno è associata alla natura maggiormente deviatorica delle tensioni all'istante in cui $\sigma_\mathrm{x}$ è massima, e rende positivo (e quindi peggiorativo rispetto al caso in fase) il termine 
$$-\left(\frac{\sigma_\mathrm{x}\sigma_\mathrm{y}}{\sigma_\mathrm{x,cr}\sigma_\mathrm{y,cr}}\right)>0$$.

L'utilizzo delle formule per stato triassiale non è da ritenersi corretta in quanto è disponibile una formula specifica per lo stato piano completo di tensione.


===== Es. 3 =====
Al bordo interno le componenti radiale, circonferenziale e assiale di tensione sono ricavabili come 
  * $\sigma_r=-p_i$
  * $\sigma_\theta=p_i\frac{r_e^2+r_i^2}{r_e^2-r_i^2}$ da Eq. (3.7) p. 666
  * $\sigma_a=A^\prime=\frac{p_i r_i^2}{r_e^2-r_i^2}$ da Eq. (3.2) p. 664

Per ricavare le componenti radiale e circonferenziale anche al bordo esterno (la componente assiale è costante lungo la parete), occorre calcolare $B^\prime$ come da Eq. (3.2) p. 664, e riferirsi alle Eq. (2.13) p. 662 con $r=r_e$.

La tensione ideale ai bordi esterno ed interno può essere quindi calcolata secondo Tresca; essendo le componenti radiale, circonferenziale e assiale associate a direzioni principali di tensione ($\tau_{r\theta}=\tau_{\theta a}=\tau_{ar}=0$), tale tensione ideale vale
$\sigma_\mathrm{id}=\max\left(\left| \sigma_\theta-\sigma_r \right|,\left| \sigma_r-\sigma_a \right|,\left|\sigma_a-\sigma_\theta\right|\right)$.

La pressione $p_{i,\mathrm{i.p.}}$ di incipiente plasticizzazione si calcola a partire da Eq. (5.4) p. 673, ponendo $\Delta p = p_i$ e $\sigma_{id}=R_s$ tensione di snervamento (a flessione, in virtù della presenza di gradiente tensionale in direzione radiale). Tale formula è applicabile in quanto ricavata dal criterio di Tresca come indicato dal testo, e in quanto basata sull'ipotesi sempre verificata nel caso di tubo/recipiente con fondi di componente assiale di tensione di valore intermedio tra le controparti radiale e circonferenziale.

La pressione $p_{i,\mathrm{scoppio}}$ di scoppio (completa plasticizzazione) può essere ricavata dall'Eq. (16.13) p. 718.

I coefficienti di sicurezza rispetto alle condizioni di incipiente plasticizzazione e di scoppio possono essere calcolati come rapporto tra la pressione critica di riferimento ($p_{i,\mathrm{i.p.}}$ o $p_{i,\mathrm{scoppio}}$) a numeratore, e la pressione $p_i$ effettivamente applicata a denominatore.
===== Es. 4 =====
La verifica dello spinotto è trattata nel par. 3.2 p. 808 sgg; il testo dell'esercizio si concentra sul calcolo delle tensioni da sforzo normale e da momento ovalizzante.

Momento ovalizzante e sforzo normale e si calcolano //"secondo le usuali formule"//((l'iperstatica che porta alla valutazione del momento ovalizzate sarebbe risolvibile -- con risultati leggermente diversi -- ricorrendo alla teoria della trave curva, ma il testo dell'esercizio rimanda alla più semplice trattazione presentata sullo Strozzi.)) come da Eq. (3.2.4) e (3.2.9), rispettivamente.

Si richiede di valutare tali tensioni dapprima //"secondo la consueta teoria della trave a curvatura trascurabile"//, quindi secondo le formule (3.2.5) e (3.2.6) per le tensioni da momento ovalizzante (con segno coerente con la loro natura compressiva in A e trattiva in B), e secondo la (3.2.9) per la tensione da sforzo normale (compressiva sia in A che in B).

Il testo dell'esercizio propone quindi di trattare l'ovalizzazione dello spinotto secondo la teoria della trave curva, par. 2.1 e 2.2 a pag. 602 e sgg.; in particolare l'espressione delle tensioni normali è invariata rispetto alla teoria della trave a curvatura trascurabile, mentre le tensioni da momento flettente sono da ricalcolarsi sulla base della (2.1.14) (con raggio neutro e baricentrico come da tabella 2.1.1, primo rigo, $y=r_n-r$, e valori $r=r_i$ e $r=r_e$ per i punti A e B, rispettivamente), e del momomento ovalizzante valutato in precedenza (inserito con segno negativo secondo convenzione, in quanto tende le fibre all'estradosso).

Le tensioni circonferenziali totali sono date dalla somma algebrica di tensioni da momento ovalizzante e da sforzo normale.