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===== Es. 1 =====
La fune applica alla puleggia una forza risultante di componenti verticale pari a $V=\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) T$ verso l'alto e orizzontale pari a $O=\frac{1}{\sqrt{2}} T$ verso sinistra.

Essendo l'albero della puleggia folle, la retta d'azione di tale forza risultante ha retta d'azione deve passare per l'asse dell'albero (l'albero non sarebbe in equilibrio alla rotazione altrimenti). 

Essendo la costruzione simmetrica, le reazioni di supporto dell'albero -- passanti per i centri dei due perni a strisciamento -- sono uguali tra loro e in somma opposte alla suddetta risultante

Tale forza risultante risulta quindi ripartita sui due rami della forcella; il singolo ramo di forcella si trova quindi caricato da una forza verticale pari a $\frac{V}{2}$, che induce sforzo normale trattivo $N=+\frac{V}{2}$, e da una forza trasversale pari a $\frac{O}{2}$, che produce un'azione di taglio pari a $Q=\frac{O}{2}$ (qui trascurata nella verifica) e un momento flettente linearmente crescente con la distanza dal centro del foro, valutato in $M_\mathrm{f}=\frac{O}{2} \ell$ alla base del ramo di forcella, con $\ell=$40 mm ((l'alternativa $\ell$=40mm-2mm che valutava il momento alla sezione al piede del raccordo, sebbene sconsigliata in assenza di indicazioni specifiche, era pure accettabile)); tale momento tende le fibre in corrispondenza del raccordo "b" alla base del ramo di forcella.

In corrispondenza di tale raccordo, le tensioni nominali da sforzo normale e da momento flettente sono da calcolarsi come $\sigma_\mathrm{N}=\frac{N}{A}$ e $\sigma_\mathrm{Mf}=\frac{M_\mathrm{f}}{W}$ con $A=6.5\cdot 18\,\mathrm{mm}^2$ e $W=\frac{6.5 \cdot 18^2}{6}\,\mathrm{mm}^3$, data l'orientazione dell'asse neutro flessionale.

I fattori di forma a sforzo normale $\alpha_{k,N}$ e a flessione $\alpha_{k,f}$ sono forniti nel testo.

Si calcola il fattore di sensibilità all'intaglio come da (4.2.2) p. 306ₚ, acciai da bonifica.

I fattori di effetto intaglio a sforzo normale $\beta_{k,N}$ e a flessione $\beta_{k,f}$ si derivano quindi dalla (4.4.1) p. 309ₚ.

Le tensioni teoriche ed effettive si calcolano quindi applicando le (4.1.1) p. 292ₚ e (4.3.1) p. 308ₚ.

Dal diagramma di Goodman del materiale a p. 248ₚ si deriva la tensione critica per sollecitazioni flessionali modulate all'origine $\sigma_\mathrm{crit,f,or}$, pari a 300 MPa. 

Si utilizzano valori associati alla sollecitazione flessionale per via della presenza di gradiente tensionale nell'intorno del punto massimamente sollecitato (non si prevede plasticizzazione).

Le tensioni effettive indotte da sforzo normale e momento flettente si sommano al raccordo "b" in uno stato uniassiale di tensione cumulativo, da cui il calcolo del coefficiente di sicurezza come
$$
n=\frac{\sigma_\mathrm{crit,Mf,or}}{\sigma_\mathrm{eff,N}+\sigma_\mathrm{eff,Mf}}
$$

===== Es. 2 =====
Al bordo interno le componenti radiale, circonferenziale e assiale di tensione sono ricavabili come 
  * $\sigma_r=-p_i$
  * $\sigma_\theta=p_i\frac{r_e^2+r_i^2}{r_e^2-r_i^2}$ da Eq. (3.7) p. 666ₚ
  * $\sigma_a=A^\prime=\frac{p_i r_i^2}{r_e^2-r_i^2}$ da Eq. (3.2) p. 664ₚ

Per ricavare le componenti radiale e circonferenziale anche al bordo esterno (la componente assiale è costante lungo la parete), occorre calcolare $B^\prime$ come da Eq. (3.2) p. 664, e riferirsi alle Eq. (2.13) p. 662ₚ con $r=r_e$.

La tensione ideale ai bordi esterno ed interno può essere quindi calcolata secondo Tresca; essendo le componenti radiale, circonferenziale e assiale associate a direzioni principali di tensione ($\tau_{r\theta}=\tau_{\theta a}=\tau_{ar}=0$), tale tensione ideale vale
$\sigma_\mathrm{id}=\max\left(\left| \sigma_\theta-\sigma_r \right|,\left| \sigma_r-\sigma_a \right|,\left|\sigma_a-\sigma_\theta\right|\right)$.

La pressione $p_{i,\mathrm{i.p.}}$ di incipiente plasticizzazione si calcola a partire da Eq. (5.4) p. 673, ponendo $\Delta p = p_i$ e $\sigma_{id}=R_s$ tensione di snervamento (a flessione, in virtù della presenza di gradiente tensionale in direzione radiale). Tale formula è applicabile in quanto ricavata dal criterio di Tresca come indicato dal testo, e in quanto basata sull'ipotesi sempre verificata nel caso di tubo/recipiente con fondi di componente assiale di tensione di valore intermedio tra le controparti radiale e circonferenziale.

La pressione $p_{i,\mathrm{scoppio}}$ di scoppio (completa plasticizzazione) può essere ricavata dall'Eq. (16.13) p. 718ₚ.

I coefficienti di sicurezza rispetto alle condizioni di incipiente plasticizzazione e di scoppio possono essere calcolati come rapporto tra la pressione critica di riferimento ($p_{i,\mathrm{i.p.}}$ o $p_{i,\mathrm{scoppio}}$) a numeratore, e la pressione $p_i$ effettivamente applicata a denominatore.

Le componenti di deformazione possono essere valutate con le consuete formule
$$\epsilon_\theta=\frac{1}{E}\left( \sigma_\theta - \nu\left( \sigma_r + \sigma_a \right) \right)$$
$$\epsilon_a=\frac{1}{E}\left( \sigma_a - \nu\left( \sigma_r + \sigma_\theta \right) \right)$$
riportate nel capitolo sui tubi.

===== Es. 3 =====
Si considera una sezione rettangolare con dimensioni $h$×$b$ rispettivamente ortogonale e parallela all'asse neutro flessionale, e pari a 16 e 10 mm da figura.

Il momento di cerniera plastica si valuta con la consueta formula 
$M_\mathrm{f,cp}=\frac{bh^2}{4}R_\mathrm{s};$

Essendo i due appoggi superiori simmetricamente disposti rispetto allo spintore centrale, ognuno esercita una reazione pari a $\frac{F}{2}$, che opera sulla sezione A-A con braccio $c$ pari a 38 mm, la forza $F$ necessaria a produrre il suddetto momento flettente è $F=2\cdot\frac{M_\mathrm{f,cp}}{c}$.

Le tensioni residue ai punti C e B sono valutabili sottraendo alle tensioni ivi indotte dal caricamento elastoplastico ($+R_{s}$ e $-R_{s}$ rispettivamente) le tensioni associate ad un caricamento forzosamente elastico((ovvero, sommando le tensioni associate ad un //anti//-caricamento di momento pari a $M_\mathrm{f,cp}$, e opposto in verso; vedasi in particolare l'integrazione {{ :wikicdm9:tensioni_residue_trave_elastoplastica_flex.pdf |}})), valutabili queste ultime in come 
$$\pm\frac{M_\mathrm{f,cp}}{\frac{bh^2}{6}}=\pm\frac{3}{2}R_\mathrm{s}$$.

Tali tensioni sono valutate quindi in
$\sigma_\mathrm{res,C}=+R_\mathrm{s}-\left(+\frac{3}{2}R_\mathrm{s}\right)$ e $\sigma_\mathrm{res,B}=-R_\mathrm{s}-\left(-\frac{3}{2}R_\mathrm{s}\right)$; come di consueto, al punto C snervato a trazione le tensioni residue sono compressive, mentre al punto B snervato a compressione le tensioni residue sono trattive. 

I tratti di manufatto soggetti a deformazioni residue sono quelli sui quali si registra il superamento del momento flettente di inizio plasticizzazione.

Il tratto $\ell$ di manufatto non interessato da deformazioni residue comprende quindi il tratto scarico a sbalzo a sinistra di estensione 74mm, più una porzione del tratto di barra compreso tra appoggi fissi superiore e inferiore; essendo la reazione vincolare esercitata dall'appoggio fisso superiore pari a F/2, il momento di incipiente plasticizzazione $M_\mathrm{f,ip}=\frac{bh^2}{6}R_\mathrm{s}$ viene raggiunto ad una distanza $d=\frac{M_\mathrm{f,ip}}{F/2}=\frac{2}{3}\cdot c=25.33$ mm dal suddetto appoggio.

Si ottiene quindi una estensione complessiva $\ell=74+25.33$ mm.

===== Es. 4 =====

Il piede di biella risulta tensionato solo quando la biella viene posta a trazione; tale azione trattiva risulta massima al punto morto superiore in fase di incrocio.
In tale condizione, il piede è sollecitato dalle forze necessarie a decelerare le masse di pistone, spinotto e fasce elastiche((si trascura qui la massa della porzione di piede a valle della sezione critica)); l'accelerazione di riferimento è quella propria del pistone al punto morto superiore.

Tali forze sono quantificate in $F_\mathrm{pb,pms,i}=a_\mathrm{pb,pms} \cdot m_\mathrm{psf}=13500\;\mathrm{N}$  come indicato sul testo.

I calcoli si sviluppano quindi secondo la procedura descritta nel paragrafo 2.4 p. 771.

La pressione di contatto assunta a distribuzione uniforme si calcola come carico su area diametrale (pressione media); essendo da mettere in sicurezza sia la superficie dell'arco superiore del piede (lato pistone), sia la superficie dell'arco inferiore (lato fusto), occorrerebbe qui utilizzare il carico massimo in modulo, ossia -- nello specifico -- quello dovuto alla combustione a bassi regimi ("in avviamento"), ossia 19200 N. Si è accettato tuttavia come corretto anche il valore massimo in modulo del carico nelle "condizioni di funzionamento" riportate a 5500 rpm, ossia $\max\left(19200-13500,13500,9800\right)=13500$N.