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Linea 1: | Linea 1: | ||
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+ | ====== Rigidezza di strutture in parete sottile al variare dello spessore ====== | ||
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+ | La rigidezza di struttura in parete sottile varia in maniera prevedibile rispetto alla variazione di spessore, essa è proporzionale allo spessore se il corpo lavora prevalentemente in modalità membranele o proporzionale al cubo dello spessore se lavora prevalentemente in modalità flessionale. \\ | ||
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+ | Prendiamo in esame due profilati in alluminio a sezione quadra di lato 80mm, lunghezza 660mm, giuntati per saldatura e sollecitati da rotazione imposta di 0.1 radianti ad un' | ||
+ | Sono state modellate sei strutture con sezione che varia da 16 mm a 0.5 mm (spessore decrescente verso destra in figura). | ||
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+ | Analizzando la coppia in direzione z dovuta al vincolo di rotazione imposta possiamo determinare la rigidezza della struttura come coppia diviso rotazione imposta.\\ | ||
+ | Una volta lanciato il calcolo è possibile fare considerarioni sulla modalità, membranale o flessionale, | ||
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+ | La coppia che agisce in direzione z sollecita il profilato verticale a flessione mentre l' | ||
+ | Nell' | ||
+ | L' | ||
+ | Nel modello a sezione più elevata è presente una deformabilità nulla al giunto e la deformabilità è distribuita sulle travi secondo il modello di trave a momento flettente e trave a momento torcente. Il modello a spessore meno elevato presenta travi che sostanzialmente rototraslano nello spazio e tutta la deformabilità è associata al giunto. | ||
+ | le strutture intermedie si comportano in maniera intermedia. | ||
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+ | A questo punto analizziamo il valore della coppia associata alla rotazione imposta in ogni modello plottando il reaction moment z in forma numerica e valutandolo nel punto di applicazione della rotazione imposta. Valutando il valore della coppia in relazione allo spostamento imposto avremo un valore della rigidezza della struttura. | ||
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+ | Creiamo un foglio di calcolo dove inseriamo i valori della coppia e calcoliamo le rigidezze, con i dati presi dal modello fem e secondo la teoria della trave. | ||
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+ | E' interessante notare il rapporto tra le due rigidezze al variare dello spessore; nel modello a sezione più elevata, quando non è presente una elevata deformazione al giunto, la rigidezza calcolata a fem è l'84% di quella calcolata in teoria della trave mentre nel caso di spessore minore è il 4%. Possiamo affermare quindi che la teoria della trave sovrastima moltissimo la rigidezza della struttura quanto più è presente deformazione al giunto. \\ | ||
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+ | Creiamo un grafico bilogaritmico rappresentante la rigidezza in funzione dello spessore. | ||
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+ | Dal grafico si nota che la pendenza della linea non è uniforme; vado quindi a valutare il rapporto incrementale in ognuno dei punti di campionamento, | ||
+ | I valori dei rapporti incrementali sono riportati nel foglio di calcolo soprastante e si può notare che variano da 1.18 a 2.69 rispettivamente per la struttura a spessore maggiore e quella a spessore minore. \\ | ||
+ | La teoria prevede che il rapporto incrementale possa variare fra 1 e 3 a seconda di quanto siano dominanti i fenomeni membranali rispetto a quelli flessionali. | ||
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+ | ====== Risposta dinamica di strutture elastiche ====== | ||
+ | ===== Matrice di massa per l' | ||
+ | Fino ad ora sono stati affrontati problemi statici, in cui le sollecitazioni non variano in funzione del tempo. È possibile definire anche sistemi quasi-statici, | ||
+ | I sistemi statici hanno una risposta elastica che è completamente descritta dalla matrice di rigidezza mentre nell’analisi di sistemi dinamici occorre considerare anche la presenza di fenomeni viscosi e inerziali. | ||
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+ | Partiamo dalla definizione di matrice di massa di un elemento finito facendo riferimento, | ||
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+ | |||
+ | Per implementare la cinematica della piastra alla Mindlin sui 25 nodi giacenti sul piano medio, preso come piano di riferimento, | ||
+ | Consideriamo il volume infinitesimo dell’elemento dΩ , un sistema di coordinate globali xyz e un sistema di coordinate locali $\xi\eta\zeta$, | ||
+ | La deformata del moto elementare del grado di libertà rotazione attorno l’asse y è la seguente: | ||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Nella figura si può vedere il campo di spostamento generato in direzione x, che può essere raccolto in una funzione scalare $N_{j}^{u} (\xi ,\eta ,\zeta)$ nelle coordinate locali $\xi$, $\eta$, $\zeta$, dove u indica lo spostamento lungo x e j lo specifico grado di libertà. Applicando il medesimo procedimento anche ai moti elementari di spostamento lungo y e z si ottengono le funzioni $N_{j}^{v} (\xi ,\eta ,\zeta)$ e $N_{j}^{w} (\xi ,\eta ,\zeta)$. | ||
+ | Per ciascun grado di libertà si può quindi costruire il vettore | ||
+ | {{ : | ||
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+ | La natura di tali $\underline{N}_{j} (\xi ,\eta ,\zeta )$ è propria dello specifico elemento; ad esempio per un elemento isoparametrico piano 4 nodi, con nodi numerati (1,2,3,4) si ha: | ||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Il campo degli spostamenti $\underline{\delta ^{*}}$ è rappresentabile nella forma | ||
+ | {{ : | ||
+ | dove | ||
+ | {{ : | ||
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+ | È una matrice 3 x n, con n numero gradi di libertà nodali totali sull’elemento e | ||
+ | {{ : | ||
+ | è il vettore contenente tali gdl. | ||
+ | Poiché la matrice dei moti elementari non è funzione del tempo, derivando il campo degli spostamenti $\underline{\delta ^{*}}$ si ottiene il campo di velocità: | ||
+ | {{ : | ||
+ | L’energia cinetica propria del materiale compreso entro l’elemento vale | ||
+ | {{ : | ||
+ | dove ρ è la densità puntuale del materiale. Sostituendo al suo interno la forma generica della velocità puntuale, si ottiene | ||
+ | {{ : | ||
+ | ricordando infine che il vettore delle velocità nodali non varia nelle variabili di integrazione, | ||
+ | {{ : | ||
+ | da cui si ricava la definizione di MATRICE DI MASSA $\underline{\underline{M}}$. | ||
+ | L’integrazione di quest’ultima formula può essere condotta per quadratura gaussiana; in particolare si può scrivere | ||
+ | {{ : | ||
+ | Dove $\underline{\underline{J}}(\xi ,\eta ,\zeta )$ è lo Jacobiano relativo al cambio di coordinate (ξ,η,ζ) -> (x, | ||
+ | Eguagliando la variazione nel tempo di energia cinetica | ||
+ | {{ : | ||
+ | alla potenza fornita da un sistema di forze esterne agenti sui nodi dell’elemento (tali forze equilibrano sul nodo le reazioni inerziali, e quindi sono ad esse uguali e contrarie) | ||
+ | {{ : | ||
+ | otteniamo la relazione: | ||
+ | {{ : | ||
+ | che lega le forze da applicare all’elemento affinché questo acceleri con determinate accelerazioni nodali (derivate seconde nel tempo degli spostamenti ai vari gdl). | ||
+ | $\underline{\underline{M}}$ è una matrice simmetrica e definita positiva, ciò comporta che qualunque vettore velocità non nullo deve dare un contributo di energia cinetica esclusivamente positiva. | ||
+ | La matrice delle rigidezze $\underline{\underline{K}}$ è invece semidefinita positiva; esistono spostamenti non nulli che generano energia potenziale elastica nulla, questi sono i moti di corpo rigido. | ||
+ | |||
+ | ==== Equilibrio dinamico ==== | ||
+ | Si definisce equilibrio dinamico per una struttura elastica, massiva e con possibilità di dissipazione di tipo strutturale o viscosa la seguente equazione: | ||
+ | |||
+ | $$M\ddot{x} + C\dot{x} + Kx = F(x)$$ | ||
+ | |||
+ | dove x=x(t) è la risposta nel tempo del sistema, ovvero il vettore dei gradi di libertà del sistema. | ||
+ | * $M\ddot{x}$ sono le forze esterne da applicare alla struttura per avere l' | ||
+ | * $C\dot{x}$ sono le forze esterne da applicare alla struttura per mantenere la velocità $\dot{x}$ in presenza di dissipazioni. | ||
+ | * $Kx$ sono le forze esterne da applicare alla struttura perequilibrare le reazioni elastiche date dagli spostamenti $x$. | ||
+ | Se le forze esterne $F(t)$ sono pari alla somma di questi tre contributi allora si ha l' | ||
+ | |||
+ | ==== Risposta periodica ==== | ||
+ | |||
+ | Ricerchiamo ora la soluzione peridica del problema, cioè la risposta a regime a sollecitazioni periodiche, trascurando quindi il transitorio. Per fare ciò si può scomporre la forzante in somma di armoniche utilizzando la serie di Fourier: $$F(t)=\bar{f}e^{j\omega t}$$ | ||
+ | Se il problema è lineare possiamo valutare la risposta del sistema ai singoli contributi e ricomporre le varie risposte per ottenere la risposta globale.\\ | ||
+ | $\bar{f}$ è un vettore complesso che ha per elementi modulo e fase di ogni grado di libertà del sistema.\\ | ||
+ | Un sistema lineare da una risposta armonica a fronte di una sollecitazione armonica. Un sistema può diventare non lineare a causa di plasticità, | ||
+ | Nella pratica ingegneristica si trattano come lineari anche sistemi non lineari, commettendo un certo errore, ma evitando un aumento eccessivo del costo computazionale. | ||
+ | Dall' | ||
+ | $$(-\omega M+j\omega C+K)\bar{x}=\bar{f}$$ | ||
+ | sistema di n equazioni in n incognite complesse. Si nota che per $\omega\rightarrow0$ il problema si riconduce a un caso statico, per $\omega \rightarrow \infty$ il sistema diventa analogo alla legge di Newton | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | ==== Analisi modale ==== | ||
+ | Si vanno a ricercare i modi propri della struttura, ossia quei particolari moti periodici che sono ammessi dall' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Eliminando il termine dissipativo si ottiene il sistema algebrico nell' | ||
+ | $$(-\omega^2 M+K)\bar{x}=0$$ | ||
+ | dove il termine moltiplicativo di $\bar{x}$ viene chiamato matrice di sistema. | ||
+ | Si tratta di un problema agli autovalori le cui soluzioni sono le coppie autovalore e autovettore $(\omega _{i}^2, | ||
+ | Essendo $M$ definita positiva si può riscrivere come: | ||
+ | $$(M^{-1}K-\omega^2I)\bar{x}=0$$ | ||
+ | I valori di $\omega^2$ che forniscono soluzioni non banali del problema sono le radici del polinomio: | ||
+ | $$det(K-\omega^2_{i}M)=0$$ | ||
+ | da cui si ricavano lecoppie di autovalori e autovattori $(\omega _{i}^2, | ||
+ | Se non si vuole calcolare l' | ||
+ | |||
+ | Gli autovettori sono definiti a meno di una costante se gli autovalori sono tutti distinti, quindi se $\bar{x}_i$ è un modo proprio lo è anche $\lambda\bar{x}_i$. Se gliautovalori non sono tutti distinti, per esempio esiste un autovlore $\lambda$ (con molteplicità 3) a cui sono associati tre autovettori, | ||
+ | Gli autovettori ricavati dal problema sono normalizzati secondo la normalizzazione a massa modale che prevede la scalatura della massa modale in modo che il suo valore sia unitario. | ||
+ | $$\bar{x}^T_iM\bar{x}_i=\lambda\bar{x}^T_iM\lambda\bar{x}_i=1$$ | ||
+ | dove $\bar{x}^T_iM\bar{x}_i$ è la massa modale.\\ | ||
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+ | Di conseguenza i risultati ricavati dall' | ||
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+ | ~~DISCUSSION~~ | ||
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