wikipaom2016:lez8
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== SIMMETRIA MATRICE DI RIGIDEZZA ====== | ||
+ | La simmetria della matrice di rigidezza dell' | ||
+ | |||
+ | ===== TEOREMA DI BETTI ===== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | * __Ipotesi__: | ||
+ | |||
+ | Si considerino le due condizioni di carico A e B applicate ad una trave incastrata-incastrata come in figura: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | __Preesiste lo stato di carico A__ | ||
+ | |||
+ | In seguito all' | ||
+ | Con l' | ||
+ | | ||
+ | __Preesiste lo stato di carico B__ | ||
+ | |||
+ | In seguito all' | ||
+ | Con l' | ||
+ | |||
+ | __Per il teorema di Betti i due lavori indiretti risultano essere uguali__: | ||
+ | ==== Applicazione del teorema di Betti all' | ||
+ | |||
+ | Il nostro caso di interesse è la struttura dell' | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Si impone che lo stato di carico A sia caratterizzato da una uno spostamento non nullo sul nodo 3 in direzione x($u_3$), mentre risulteranno nulli gli altri spostamenti. | ||
+ | Si considera la matrice di rigidezza [6 x 6] e la si moltiplica | ||
+ | |||
+ | l' | ||
+ | |||
+ | Lo stato di carico B è invece caratterizzato da uno spostamento non nullo sul nodo 1 in direzione y ($v_1$) mentre gli altri spostamenti sono nulli. | ||
+ | Procedendo analogamente al caso precedente si moltiplica la matrice rigidezza per il vettore spostamento. | ||
+ | {{: | ||
+ | L' | ||
+ | $K_{5, | ||
+ | |||
+ | Si applica a questo punto il **teorema di Betti**: \\ | ||
+ | Supposto preesistente lo stato di carico A, si applica successivamente lo stato di carico B. | ||
+ | Le forze di A(**$K_{2, | ||
+ | $L_{B}=K_{2, | ||
+ | Supponendo preesistente lo stato di carico B ed applicando successivamente A, si ottiene la situazione duale tale per cui il lavoro indiretto sarà: \\ $L_{A}=K_{5, | ||
+ | Imponendo infine la condizione del teorema secondo cui i lavori indiretti sono uguali, si ottiene: \\ | ||
+ | $L_{B}=L_{A} ⇒ K_{2, | ||
+ | |||
+ | ====== TRASFORMAZIONE DI COORDINATE ====== | ||
+ | |||
+ | Considero una generica struttura $FEM$ | ||
+ | corpo elastico vincolato | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | (rette dei vincoli diverse da x e y) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | il nodo ha un suo spostamento $\delta$ rappresentato da due componenti lungo $x$, $y$ (in coordinate globali) | ||
+ | |||
+ | $\vec{\delta}=u\widehat{x}+v\widehat{y}$ | ||
+ | |||
+ | è possibile definire un sistema di coordinate diverso anche solo per il singolo nodo o una famiglia di nodi, in questo caso è possibile definire $\vec{\delta}$ come: | ||
+ | $\vec{\delta}=p\widehat{r}+q\widehat{s}$ | ||
+ | dove \\ | ||
+ | $\widehat{r}=r_{x}\widehat{x}+r_{y}\widehat{y}$ | ||
+ | $\widehat{s}=s_{x}\widehat{x}+s_{y}\widehat{y}$ | ||
+ | |||
+ | e $r_{x}=< | ||
+ | |||
+ | Si prendono le forme $(a)$, $(b)$ e si definiscono imponendo il prodotto scalare. | ||
+ | |||
+ | $\vec{\delta}=pr_{x}\widehat{x}+pr_{y}\widehat{y}+qs_{x}\widehat{y}+qs_{y}\widehat{y}=(pr_{x}+qs_{x})\widehat{x}+(pr_{y}+qs_{y})\widehat{y}$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $u=pr_{x}+qx_{x}$ | ||
+ | $v=pr_{y}+qs_{y}$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $$\begin{pmatrix} | ||
+ | u\\ | ||
+ | v | ||
+ | \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} | ||
+ | r_{x} & s_{x}\\ | ||
+ | | ||
+ | \end{pmatrix}\binom{p}{q}$$ | ||
+ | |||
+ | che è la matrice di trasformazione da coordinate locali a coordinate globali. In generale si dispongono per colonne le componenti dei versori del sistema di partenza scomposte secondo il sistema di destinazione; | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $$\begin{pmatrix} | ||
+ | p\\ | ||
+ | q | ||
+ | \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} | ||
+ | r_{x} & r_{y}\\ | ||
+ | | ||
+ | \end{pmatrix}\binom{u}{v}$$ \\ | ||
+ | Parto dalle incognite di un sistema $FEM$ cioè gli spostamenti | ||
+ | $\begin{pmatrix} | ||
+ | u_{1}\\ | ||
+ | v_{1}\\ | ||
+ | .\\ | ||
+ | .\\ | ||
+ | .\\ | ||
+ | u_{i-1}\\ | ||
+ | v_{i-1} | ||
+ | \end{pmatrix}$ | ||
+ | |||
+ | dove $v_{i-1}$ è l' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | $\underline{\delta}$ può essere scritto in funzione di un vettore simile, identico fino a $v_{i-1}$ e identico da $u_{i+1}$ a $u_{N}$. | ||
+ | In questo modo viene semplice imporre $u_{N}=0$ | ||
+ | |||
+ | tutti gli elementi non diagonali (al di fuori dei quadratini (vedi matrice di trasformazione) sono elementi nulli.\\ | ||
+ | Intorno alla diagonale ho dei blocchi di matrici con elementi diagonali pari a $1$, quindi $u_{1}$ e $v_{1}$ sono moltiplicati per la matrice identità e danno come risultato $u_{1}$ $v_{1}$.\\ | ||
+ | Ogni blocco può contenere un' | ||
+ | |||
+ | $\underline{\delta}=\underline{\underline{T}}\underline{{\delta}}^*$ \\ | ||
+ | $\underline{\underline{k}}\underline{\underline{T}}\underline{\underline{\delta}}=\underline{{f}}$ | ||
+ | |||
+ | facendo così perdo la simmetria della matrice; per recuperarla si premoltiplicano ambo i membri per $\underline{\underline{T}}^T$: | ||
+ | |||
+ | $\underline{\underline{T}}^T\underline{\underline{k}}\underline{\underline{T}}\underline{\underline{\delta}}=\underline{{f}}\underline{\underline{T}}^T$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Può essere utile a volta imporre vincoli cinematica con spostamenti non nulli, per esempio nel caso del tubo pressurizzato. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | vincolando isostaticamente vedo che il sistema si sposta: | ||
+ | considere i quattro nodi $i$, $j$, $k$, $l$ | ||
+ | ===== Servo-link (o Multi-Point Constraint) ===== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | E' | ||
+ | |||
+ | $\delta_j=\sum_{i \neq j} \alpha_{ji} \delta_i + \Delta\delta_j$ \\ | ||
+ | Dal punto di vista matematico introduco una caratteristica di dipendenza $\delta_{j}$ detta " | ||
+ | |||
+ | Si procede partendo da un vettore degli spostamenti $\vec{\delta}$.\\ | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $\Rightarrow$ $\underline{\delta}=\underline{\underline{L}}\underline{\delta}^{*}$ | ||
+ | |||
+ | inserisco questa forma nel sistema di equazioni di equilibrio nodali.\\ | ||
+ | |||
+ | $\underline{\underline{K}}\underline{\underline{L}}\underline{\delta}*=\underline{F}$ | ||
+ | |||
+ | Si nota che si è persa la simmetria e si ha un numero di incognite maggiore.\\ | ||
+ | |||
+ | Come già fatto si premoltiplicano per $L^{T}$ ambo i membri:\\ | ||
+ | |||
+ | $ \underline{\underline{L}}^T\underline{\underline{K}}\underline{\underline{L}}\underline{\delta}^*= \underline{\underline{L}}^T\underline{F}$ , ovvero in forma più compatta: $\underline{\underline{K}}' | ||
+ | La premoltiplicazione per $L^T$ è inoltre necessaria per mantenere una definizione coerente di lavoro virtuale delle forze esterne. | ||
+ | |||
+ | Vincolando un grado di libertà si perde un' | ||
+ | Supponiamo che $F$ di partenza descriva una struttura con un carico applicato in corrispondenza del grado di libertà vincolato. Analizzando $\delta$ risulta, in componenti, che: \\ | ||
+ | ${F_i}^*=F_i +\alpha_{ji}, | ||
+ | |||
+ | Il carico $F$, che è applicato al nodo reso dipendente, viene implicitamente ripartito su tutti gli altri nodi con quei coefficienti $\alpha$.\\ | ||
+ | Quindi vediamo che quello che era nato come un vincolo di dipendenza cinematica, è un oggetto che posso anche usare per spalmare un carico su più nodi.\ | ||
+ | Proviamo a pensare ad un esempio. | ||
+ | |||
+ | Supponiamo io abbia una struttura di questo tipo: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ho degli elementi hex8, esaedri ad $8$ nodi (estensione tridimensionale dell' | ||
+ | Voglio spalmare un carico $P$ tra questi quattro nodi ($1$, $2$, $3$ ,$4$ in figura).\\ | ||
+ | Quello che posso fare è creare un **ulteriore** nodo $5$ al centro (ho quindi una struttura a 12+1 nodi), in qualche modo svincolato dalla struttura (non è collegato a nessun elemento), in cui dico ad esempio che lo spostamento in direzione $x$ del nodo $5$ è uguale alla media degli spostamenti $1$, $2$, $3$, $4$, quindi: | ||
+ | |||
+ | $u_{5}=\frac{1}{4}u_{1}+\frac{1}{4}u_{2}+\frac{1}{4}u_{3}+\frac{1}{4}u_{4}$ | ||
+ | |||
+ | Stessa cosa per lo spostamento in direzione $y$: | ||
+ | |||
+ | $v_{5}=\frac{1}{4}v_{1}+\frac{1}{4}v_{2}+\frac{1}{4}v_{3}+\frac{1}{4}v_{4}$ | ||
+ | |||
+ | Idem per lo spostamento in direzione $z$: | ||
+ | |||
+ | $w_{5}=\frac{1}{4}w_{1}+\frac{1}{4}w_{2}+\frac{1}{4}w_{3}+\frac{1}{4}w_{4}$ | ||
+ | |||
+ | In pratica dico che quel nodo si sposta come la media degli altri.\\ | ||
+ | Ovviamente risulta che una volta che rendo questo nodo dipendente, non posso più vincolarlo ulteriormente, | ||
+ | Quindi quando un grado di libertà viene reso dipendente con una qualche relazione cinematica, il suo valore non può più essere imposto, non può più essere reso dipendente da nient' | ||
+ | |||
+ | Se faccio una cosa di questo tipo ed applico un carico $P$ in direzione $y$ al nodo $5$, per questa trasformazione io ottengo che quel carico $P$ viene suddiviso $\frac{1}{4}$, | ||
+ | Quindi gli stessi pesi che definiscono la dipendenza cinematica, per via di questa trasformazione definiscono anche la distribuzione del carico che era originariamente applicato a quel grado di libertà. Quel grado di libertà lo tolgo dal sistema, però ciò che era applicato a quel carico non lo elimino, ma semplicemente lo spalmo, sulla base di quegli stessi pesi, sugli altri $4$ nodi.\\ | ||
+ | Vedremo che questa formulazione si può generalizzare, | ||
+ | L' | ||
+ | |||
+ | Esiste anche un' | ||
+ | L'idea è questa. Lo stesso effetto di vincolamento, | ||
+ | |||
+ | $\delta_{j}=\sum \alpha_{ji}\delta_i+\Delta\delta_{j}$ | ||
+ | |||
+ | considerando $\Delta\delta_{j}=0$ imposto per vincolamento ha lo stesso effetto della forma $\delta_{j}=\sum \alpha_{ji}\delta_i$.\\ | ||
+ | $\Delta\delta_{j}$ rimane un' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | Materiale di riferimento: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ~~DISCUSSION~~ |