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+===== Appunti della lezione =====
+a cura di Marco Valiante\\
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+==== Teoria della piastra (plate) ====
+La denominazione //piastra// è riferita ad un oggetto piano in parete sottile in cui sono presenti due dimensioni entro-piano  $a$  e  $b$ , che risultano essere molto maggiori della dimensione fuori-piano,  $h$ . Più precisamente, il nome piastra si usa per oggetti in parete sottile caricati con azioni fuori-piano.\\
+{{ :wikipaom2018:fig1.jpg?nolink&400 |}}
+Tali azioni possono essere delle forze con componente normale al piano diversa da zero, oppure delle coppie i cui vettori possono risultare entro-piano, ma sostituendo le coppie con le forze, esse risultano fuori-piano.\\
+Se l'elemento è caricato entro-piano, prende il nome di //lastra//. Un esempio di lastra possono essere il provino ad osso di cane per la prova a trazione (lo si potrebbe studiare anche con la teoria della trave).\\
+Una piastra non piana si chiama invece guscio (shell). Considerando però un corpo in parete sottile non piano, ad esempio una cupola, a livello infinitesimo un intorno di un punto può essere considerato piano.\\
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+Per poter sfruttare la teoria della piastra è necessario che sia individuabile una superficie media geometrica (piano medio), che lo spessore sia il più costante possibile e che la curvatura sia modesta. Infatti, se l'oggetto è dotato di grandi curvature o rapide variazioni di spessore, risulta difficile individuare il piano medio. Per risolvere il problema si procede con il seguente algoritmo: si traccia un piano medio di primo tentativo; successivamente si individua localmente alla superficie media la normale che, intersecando le superfici esterne, forma un segmento; il punto medio di tale segmento rappresenta la posizione del piano medio con una migliore approssimazione.{{ :wikipaom2018:fig3.jpg?nolink&200|}}\\
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+Considerando un elemento di piastra, risulta che le superfici superiore e inferiore sono scariche. Oppure, nel caso fosse presente un carico p, esso può essere trascurato perché  $p<<\sigma_{1},\sigma_{2}$ ; infatti  $\sigma_{1}$  e  $\sigma_{2}$  vengono amplificati dalla presenza del carico.\\
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+\\ {{:wikipaom2018:fig11.jpg?nolink&200 |}}
+Estraendo un concio con superficie quadrata, è possibile definire un sistema di riferimento locale  $xyz$ . Gli assi  $x$  e  $y$  sono presi paralleli agli spigoli del concio e, normalmente, non coincidono con gli assi  $X$  e  $Y$  del sistema globale. Per quanto riguarda l'asse  $z$ , di conseguenza, viene preso normale alla superficie e con l'origine sul piano medio.\\
+Un corpo in parete sottile è definito nella sua interezza da sole due entità: la sua superficie media (deformata o indeformata); uno spessore locale specifico per ogni punto della superficie media, in modo da ottenere un corpo solido partendo da un oggetto piano privo di volume.\\
+Tuttavia, può capitare che la piastra venga descritta partendo da un piano diverso da quello medio. La superficie con cui si parte per definire l'oggetto si chiama //piano di riferimento//.{{ :wikipaom2018:fig5.jpg?nolink&400 |}} Se la superficie di riferimento che viene fornita è diversa dal piano medio allora bisogna introdurre una quota  $o$  detta off-set, la quale permette di individuare il piano medio da cui poi poter sfruttare lo spessore. Infatti, l'off-set rappresenta lo scostamento del piano medio dal piano di riferimento. Se ad esempio viene fornita la superficie superiore come piano di riferimento, allora risulta che l'off-set vale  $o=-\frac{h}{2}$ .\\
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+Il materiale della piastra, per semplicità nella trattazione, è assunto omogeneo e isotropo. Pertanto, se si vuole determinare qualcosa che varia lungo lo spessore e che risulta ben definito nel dominio, allora basta integrare tra  $-\frac{h}{2}$  e  $\frac{h}{2}$  quando la superficie di riferimento è il piano medio. Mentre, se è presente anche l'off-set l'integrale diventa:
+ $\int_{-\frac{h}{2}}^{o}\cdots dz+\int_{o}^{\frac{h}{2}}\cdots dz$ .\\ {{:wikipaom2018:fig6.jpg?nolink&200 |}}
+Può succedere, inoltre, che il materiale non risulta omogeneo lungo lo spessore. È il caso del pannello sandwich, in cui una piastra di schiuma espansa è delimitato da due piastre d'alluminio. In questo caso, anche se il materiale varia lungo  $z$ , basta semplicemente suddividere l'integrale in:
+ $\int_{-\frac{h}{2}}^{\bar{z_{1}}}\cdots dz+\int_{\bar{z_{1}}}^{\bar{z_{2}}}\cdots dz+\int_{\bar{z_{2}}}^{\frac{h}{2}}\cdots dz$ \\
+Il problema si presenta quando si hanno materiali differenti lungo lo stesso piano. Per questo, l'ipotesi di materiale omogeneo deve essere valida almeno sullo stesso piano.\\ {{ :wikipaom2018:fig7.jpg?nolink&200|}}
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+Considerando un concio di piastra nella configurazione indeformata, si prende un generico punto P. Proiettando P sul piano di riferimento troviamo il punto Q (ad esso confluiscono tutti i punti appartenenti al segmento, compreso tra le superfici estreme, definito da P e Q).\\
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+In fase di deformazione, il sistema di riferimento locale non subisce alterazioni, restando lo stesso definito per l'oggetto indeformato.\\
+Per determinare la configurazione deformata, come prima cosa bisogna imporre un vincolo cinematico: il segmento individuato da PQ resta rettilineo a seguito della deformazione. Inoltre, tale segmento è assunto rigido, ciò significa che la sua lunghezza non varia durante la deformazione (in realtà è sbagliato perchè si deformerà di un infinitesimo di ordine superiore). Data la rigidità del segmento, esso può solamente rototraslare; quindi al massimo può avere 6 gradi di libertà.\\
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+{{:wikipaom2018:fig8.jpg?nolink&400 |}}
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+Prima di analizzare il comportamento del segmento si studia cosa succede al punto Q. Nella configurazione deformata esso risulta spostato in direzione  $x$  di una quantità  $u(x,y)$ , e in direzione  $y$  di  $v(x,y)$ . Inoltre, deformandosi si sposta anche di una quantità  $w(x,y)$  lungo l'asse  $z$ .\\
+Il segmento oltre a traslare può anche ruotare. Se dopo una rotazione risulta essere sempre lo stesso, allora significa che ha ruotato attorno al proprio asse; quindi la rotazione  $\psi(x,y)$  attorno all'asse  $z$  risulta irrilevante ai fini della trattazione. Dei 6 gdl del segmento, siccome è trascurata la rotazione  $\psi$ , ne restano 5 ( $u, v, w, \vartheta, \varphi$ ).\\
+La rotazione attorno all'asse  $x$ , definita positiva come in immagine, è chiamata  $\vartheta(x,y)$ ; mentre quella rispetto a y  $\varphi(x,y)$ .\\
+Il punto P, siccome appartiene al segmento rigido, a causa delle traslazioni  $u, v$  e  $w$  e delle rotazioni, subisce uno spostamento lungo  $x$  pari a  $S_{x}$ , lungo  $y$  a  $S_{y}$  e lungo  $z$  a  $S_{z}$ :
+ $S_{x}=u+zsin\varphi\approx u+z\varphi;\ S_{y}=v-zsin\vartheta\approx v-z\vartheta;$
+ $S_{z}=w-z[(1-cos\varphi)+(1-cos\vartheta)]\approx w$
+Queste approssimazioni sono possibili in quanto si sta lavorando con piccole rotazioni; infatti avere grandi rotazioni o grandi deformazioni fa perdere la linearità della risposta del sistema creando molti problemi. Tuttavia sono ammessi grandi spostamenti.\\
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+Ora che sono noti gli spostamenti, ricordando che si lavora con piccole deformazioni, si procede definiendo le deformazioni:
+ $\varepsilon _{x}=\frac{\partial S_{x}}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}+z\frac{\partial \varphi}{\partial x}$
+ $\varepsilon _{y}=\frac{\partial S_{y}}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial y}-z\frac{\partial \vartheta}{\partial y}$
+ $\varepsilon _{z}=\frac{\partial S_{z}}{\partial z}=0$
+ $\gamma _{xy}=\frac{\partial S_{x}}{\partial y}+\frac{\partial S_{y}}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}+z\left ( \frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{\partial \vartheta}{\partial x} \right )$
+Il termine  $\varepsilon _{z}$  risulta essere nullo in quanto  $S_{z}$  non è funzione di  $z$ . Le deformazioni non nulle sono tutte entro-piano. In realtà sono presenti anche le deformazioni taglianti fuori-piano  $\gamma _{xz}$  e  $\gamma _{zy}$ .\\
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+Come per la trave, esistono due teorie della piastra e sono:
+  * la piastra di Kirchhoff, detta anche piastra sottile (thin shell), in cui si assume  $\gamma _{xz}\approx 0$  e  $\gamma _{zy}\approx 0$ , ciò significa che alle tensioni  $\tau _{xz}$  e  $\tau _{zy}$  non sono assoggettate deformazioni;
+  * la piastra di Reissner-Mindlin, chiamata anche piastra spessa (fat shall), in cui le deformazioni a taglio sono rilevanti, quindi  $\gamma _{xz}\neq 0$  e  $\gamma _{zy}\neq 0$  i quali possono essere considerati costanti lungo lo spessore.\\
+Considerando solo le deformazioni entro-piano, è possibile esprimere il tutto in termini vettoriali:
+$$\vec{\varepsilon }=\begin{bmatrix}
+\varepsilon_{x}\\
+\varepsilon_{y}\\
+\gamma_{xy}
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+\bar{\varepsilon_{x}}\\
+\bar{\varepsilon_{y}}\\
+\bar{\gamma_{xy}}
+\end{bmatrix}+ z\begin{bmatrix}
+\kappa_{x}\\
+\kappa_{y}\\
+\kappa_{xy}
+\end{bmatrix}= \vec{\bar{\varepsilon}}+z\vec{\kappa}$$
+Dove  $\vec{\bar{\varepsilon}}$  rappresenta il vettore deformazione riferito al piano medio ed ha componenti:
+ $\bar{\varepsilon_{x}}=\frac{\partial u}{\partial x};\ \bar{\varepsilon_{y}}=\frac{\partial v}{\partial y};\ \bar{\gamma_{xy}}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$
+Mentre,  $\vec{\kappa }$  è il vettore curvatura con componenti:
+ $\kappa_{x}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\approx \frac{1}{\rho _{x}};\ \kappa_{y}=-\frac{\partial \vartheta}{\partial y}\approx \frac{1}{\rho _{y}};\ \kappa_{xy}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{\partial \vartheta}{\partial x}$
+{{:wikipaom2018:fig9.jpg?nolink&200 |}}\\
+Per comprendere meglio la questione della curvatura, si può pensare di supporre che la piastra sia formata da tanti segmenti rigidi verticali. Tenendo fisso il segmento ad ascissa più negativa, si impone una rotazione attorno l'asse  $y$ , uguale per ogni segmento rispetto al suo precedente; ciò significa  $\kappa_{x}=cost> 0$ .
+Il materiale indeformato tra due  segmenti rigidi ha forma rettangolare, mentre, a seguito della deformazione, assume la forma di un quadrilatero strambo (le diagonali non sono più uguali). Ciò significa che è saltata fuori anche un po' di deformazione parallelepipeda dovuta al contributo di taglio e flessione.\\
+Siccome questa deformata è stata ottenuta con la sola rotazione senza che il piano medio subisse spostamenti, per cercare di escludere l'effetto tagliante si pensa di associargli uno spostamento  $w$  negativo.\\
+{{ :wikipaom2018:fig10.jpg?nolink&200|}}\\
+Si può notare come il piano medio vada a formare un arco di circonferenza di raggio  $\rho _{x}$ ; pertanto, essendo  $\kappa_{x}\approx \frac{1}{\rho_{x}}$ , è lecito chiamare  $\kappa_{x}$  curvatura.\\
+Il termine  $\kappa_{xy}$  rappresenta una curvatura mista e può essere assoggettato ad un caricamento torsionale. In realtà, se si ruota il sistema di 45° si può notare che esso coincide ad una doppia curvatura flessionale vista dalle due diagonali, ottenendo così una deformazione a sella.\\
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+Ora che sono note le deformazioni si possono calcolare le tensioni; tuttavia succede una cosa strana: avendo definito  $\varepsilon_{z}=0$  viene da pensare di essere in uno stato di deformazione piana; in realtà si lavora in uno stato di tensione piana, cioè con  $\sigma _{z}=0$ . Siccome il segmento è assunto rigido le due condizioni sono incompatibili.\\
+Nella lezione seguente si vedrà come mai è possibile lavorare con uno stato di tensione piana nonostante si è assunto  $\varepsilon_{z}=0.$
+===== Sezione a cura del docente =====
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+~~DISCUSSION~~