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+{{ :wikipaom2018:plate_from_stresses_to_resultants.pdf |}}
+{{ :wikipaom2018:four_point_bending_pstrain_v000.pdf |}}
+{{ :wikipaom2018:iso4_shapefun.pdf |}}
+{{ :wikipaom2018:dispensa_2018_03_27.pdf |}}
+{{ :wikipaom2018:fundamentals.tex |}}
+=====LEZIONE 13=====
+==A cura di Marco Tambara e Nicolò Vincenzi ==
+===== Prova a flessione a 4 punti =====
+La prova a flessione a 4 punti consiste nel caricare una piastra appoggiata su due appoggi con due carichi come in figura. Si rileva inoltre che la struttura è simmetrica e di conseguenza se ne studia solo una metà.
+{{ :wikipaom2018:25-0.png?200 |}}
+{{ :wikipaom2018:flex2.png?400 |}}
+Consideriamo un campione della piastra nella zona intermedia della stessa, evidenziato in figura in rosso.
+ Il caricamento comporta la sollecitazione flessionale pura nel campione, che in modulo vale  $M_f=F\cdot l$ , in cui  $l$  è la distanza del punto di applicazione di una delle due forze dall'appoggio più vicino. Considerando la figura, si può definire il flusso delle tensioni in direzione  $x$ ,  $y$  e  $z$ :
+\begin{align}
+m_x=&\ \frac{F l}{b}=\int_h \sigma_x z\, dz\\
+m_y=&\ 0\\
+m_{xy}=&\ 0
+\end{align}
+Ipotizzando il materiale isotropo e omogeneo, si può scrivere il sistema di 3 equazioni in 3 incognite ( $k_x$ ,  $k_y$  e  $k_{xy}$ ):
+\begin{equation}
+\underline{\underline{C}}\, \underline{k}=\underline{m}
+\end{equation}
+e considerando che  $\underline{\underline{C}}=\frac{h^3}{12}\, \underline{\underline{D}}$ , il sistema diventa:
+\begin{equation}
+\frac{h^3}{12}\, \underline{\underline{D}}\, \underline{k}=\underline{m}
+\end{equation}
+Risolvendo in Maxima, con  $m_x=\frac{F l}{b}$ ,  $m_{xy}=0$  e  $m_y=0$ :
+\begin{align}
+k_x=&\ \frac{12 l F}{b h^3 E}\\
+k_y=&\ -\frac{12 l \nu F}{b h^3 E}= - \nu\, k_x
+\end{align}
+===programma maxima===
+Questo significa che è presente una curvatura anche in direzione  $y$ , che non dovrebbe essere permessa dagli appoggi.
+{{ :wikipaom2018:pringles.png?400 |}}
+Si realizza però, che per via della curvatura in y si che i punti di contatto tra appoggi e piastra inizialmente erano dei segmenti, ma ora sono diventati dei singoli punti.
+{{ :wikipaom2018:contatto.png?400 |}}
+Si nota quindi come, grazie a questa nuova configurazione di applicazione, le forze tendano a ridurre la curvatura  $k_y$ . Tale curvatura però non si annullerà mai completamente in modo autonomo, bensì dovrebbero essere applicate due coppie agli estremi della piastra, come rappresentato  in figura:
+{{ :wikipaom2018:sforzi.png?400 |}}
+questo fatto è però in contrasto col tipèo di vincolo. Questi appoggi non potrebbero trasmettere un momento. Si deve però considerare il risultato "sperimentele" che vede il raddrizzarsi della piastra, quando sottoposta a schiacciamento. Questo implica che  $m_y\neq\,0$  e  $k_y=0$ . Bisogna quindi aggiornare la soluzione del problema su Maxima considerando questa seconda opzione.
+In queste condizioni si ammette quindi che i vincoli possano trasmettere un certo momento  $m_y=m_x\,\nu$  che rende nulla la curvatura in y,  $k_y$
+===programma aggiornato===
+====Risultati analisi con Elementi Finiti====
+Di seguito sono riportati nuovamente lo schema del problema in esame e i relativi risultati dell'analisi agli elementi finiti. I due grafici sono relativi rispettivamente ad un contatto bilaterale e un contatto unilaterale. Si nota inoltre che il termine  $\nu m_x$  non è altro che il termine  $m_x$  scalato col valore di  $\nu$ .
+{{ :wikipaom2018:4pointbend.png?600 |}}
+Analizzando il caso bilaterale si ha che la curvatura in y  $k_y$  nel punto dell' appoggio, ad ascissa pari a 3, è nullo. Questo però è stato ottenuto forzando il contatto che in realtà è unilaterale e non bilaterale. Il secondo grafico mostra appunto questo risultato. si ha che per la natura del contatto vi è un gioco variabile  $g(y)$  lungo la direzione y dovuto alla curvatura  $k_y$ . Si introduce quindi la condizione di Signorini.
+ $P(y)\ g(y)=0$
+In questa relazione compaiono il suddetto gioco e la pressipone di contatto  $P(y)$  e sta a indicare che dove il gioco non è nullo lo deve essere la pressione e viceversa. Di conseguenza si ha una non linearità dovuta all' inversione del carico e quindi la curvatura  $k_y$  sull' appoggio, cioè ad ascissa 3, non è nulla.
+==== Teoria degli elementi finiti ====
+{{:wikipaom2018:quadratino_2.png?400 |}}
+La teoria degli elementi finiti consiste nella caratterizzazione attraverso elementi, i quali hanno diverse proprietà. Un primo elemento di vasto impiego è l'elemento piastra quadrilatero a 4 nodi.
+Questo rappresenta una porzione di materiale che si comporta coerentemente con i suoi gdl e si oppone alla deformazione linearmente. Sull'elemento si definisce una funzione di interpolazione, la quale permette, noti gli spostamenti dei nodi, di ricavare gli spostamenti di un qualsiasi punto dell'elemento.
+I nodi sono i vertici del quadrilatero, e in questi punti la funzione è definita:  $f_1$ ,  $f_2$ ,  $f_3$  e  $f_4$ .
+La funzione di interpolazione è
+$$
+f_p=f_1 N_1(\xi,\eta)
++
+f_2 N_2(\xi,\eta)
++
+f_3 N_3(\xi,\eta)
++
+f_4 N_4(\xi,\eta)
+$$
+dove per ogni  $\xi$  e  $\eta$ ,  $\sum_i N_i (\xi,\eta)=1$ . Il valore di  $N_j (\xi_i,\eta_i)$  deve essere 1 se  $i=j$ , 0 se  $i\neq j$ .
+ Per la definizione di  $N$ , si cerca una funzione continua e derivabile: i polinomi, con grado più basso possibile, sono adatti in quanto semplici da manipolare. Si scrive quindi  $N_j$  evitando il termine quadratico  $\xi^2$ :
+ $$
+ N_j=a_j+b_j\, \xi + c_j\, \eta+d_j\, \xi \eta
+ $$
+Per ricavare i coefficienti si impone, per esempio nel vertice 1, che  $N_1=1$  ( $\xi=-1$  e  $\eta=-1$ ) e negli altri 0. In questo modo si ottiene  $a=b=c=d=\frac{1}{4}$ :
+$$
+N_1=\frac{1}{4}\left( 1-\xi\right)\left( 1-\eta\right)
+$$
+Da questo si può osservare che  $N=\frac{1}{4}$  al centro del quadratino, 1 nel primo vertice e 0 negli altri vertici. Quindi non è una retta lungo la direzione che congiunge i vertici 2 e 4.
+ Invece, mantenendo  $\xi$  costante  $N_j$  è lineare in  $\eta$  e viceversa. Questo andamento è detto bilineare. L'andamento bilineare è importante perché se si bloccano tutte le variabili tranne una, e l'unica libera è bilineare, allora sui 4 lati del quadrato il suo andamento è lineare.
+{{ :wikipaom2018:griglia.png?400 |}}
+====Derivate parziali in  $\xi$  e  $\eta$  ====
+ La funzione peso è derivabile:
+ $$
+ \frac{\partial f}{\partial \xi}= \sum_i f_i \frac{\partial N_i}{\partial \xi}
+ $$
+ $$
+ \frac{\partial f}{\partial \eta}= \sum_i f_i \frac{\partial N_i}{\partial \eta}
+ $$
+ Dunque le derivate sono
+  $\frac{\partial f}{\partial \xi}= d \eta + b$
+ e
+  $\frac{\partial f}{\partial \eta}= c \xi + d$
+ La prima è bilineare in  $\eta$  e costante in  $\xi$ , mentre la seconda è bilineare in   $\xi$  e costante in  $\eta$ .
+----
+~~DISCUSSION~~