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+ | =====LEZIONE 13===== | ||
+ | ==A cura di Marco Tambara e Nicolò Vincenzi == | ||
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+ | ===== Prova a flessione a 4 punti ===== | ||
+ | |||
+ | La prova a flessione a 4 punti consiste nel caricare una piastra appoggiata su due appoggi con due carichi come in figura. Si rileva inoltre che la struttura è simmetrica e di conseguenza se ne studia solo una metà. | ||
+ | {{ : | ||
+ | {{ : | ||
+ | Consideriamo un campione della piastra nella zona intermedia della stessa, evidenziato in figura in rosso. | ||
+ | Il caricamento comporta la sollecitazione flessionale pura nel campione, che in modulo vale $M_f=F\cdot l$, in cui $l$ è la distanza del punto di applicazione di una delle due forze dall' | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | m_x=&\ \frac{F l}{b}=\int_h \sigma_x z\, dz\\ | ||
+ | m_y=&\ 0\\ | ||
+ | m_{xy}=& | ||
+ | \end{align} | ||
+ | Ipotizzando il materiale isotropo e omogeneo, si può scrivere il sistema di 3 equazioni in 3 incognite ($k_x$, $k_y$ e $k_{xy}$): | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \underline{\underline{C}}\, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | e considerando che $\underline{\underline{C}}=\frac{h^3}{12}\, | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \frac{h^3}{12}\, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Risolvendo in Maxima, con $m_x=\frac{F l}{b}$, $m_{xy}=0$ e $m_y=0$: | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | k_x=&\ \frac{12 l F}{b h^3 E}\\ | ||
+ | k_y=&\ -\frac{12 l \nu F}{b h^3 E}= - \nu\, k_x | ||
+ | \end{align} | ||
+ | ===programma maxima=== | ||
+ | Questo significa che è presente una curvatura anche in direzione $y$, che non dovrebbe essere permessa dagli appoggi. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
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+ | |||
+ | Si realizza però, che per via della curvatura in y si che i punti di contatto tra appoggi e piastra inizialmente erano dei segmenti, ma ora sono diventati dei singoli punti. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Si nota quindi come, grazie a questa nuova configurazione di applicazione, | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | |||
+ | questo fatto è però in contrasto col tipèo di vincolo. Questi appoggi non potrebbero trasmettere un momento. Si deve però considerare il risultato " | ||
+ | In queste condizioni si ammette quindi che i vincoli possano trasmettere un certo momento $m_y=m_x\, | ||
+ | ===programma aggiornato=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Risultati analisi con Elementi Finiti==== | ||
+ | Di seguito sono riportati nuovamente lo schema del problema in esame e i relativi risultati dell' | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Analizzando il caso bilaterale si ha che la curvatura in y $k_y$ nel punto dell' appoggio, ad ascissa pari a 3, è nullo. Questo però è stato ottenuto forzando il contatto che in realtà è unilaterale e non bilaterale. Il secondo grafico mostra appunto questo risultato. si ha che per la natura del contatto vi è un gioco variabile $g(y)$ lungo la direzione y dovuto alla curvatura $k_y$. Si introduce quindi la condizione di Signorini. | ||
+ | $$ P(y)\ g(y)=0$$ | ||
+ | In questa relazione compaiono il suddetto gioco e la pressipone di contatto $P(y)$ e sta a indicare che dove il gioco non è nullo lo deve essere la pressione e viceversa. Di conseguenza si ha una non linearità dovuta all' inversione del carico e quindi la curvatura $k_y$ sull' appoggio, cioè ad ascissa 3, non è nulla. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== Teoria degli elementi finiti ==== | ||
+ | {{: | ||
+ | La teoria degli elementi finiti consiste nella caratterizzazione attraverso elementi, i quali hanno diverse proprietà. Un primo elemento di vasto impiego è l' | ||
+ | |||
+ | Questo rappresenta una porzione di materiale che si comporta coerentemente con i suoi gdl e si oppone alla deformazione linearmente. Sull' | ||
+ | |||
+ | I nodi sono i vertici del quadrilatero, | ||
+ | |||
+ | La funzione di interpolazione è | ||
+ | $$ | ||
+ | f_p=f_1 N_1(\xi, | ||
+ | + | ||
+ | f_2 N_2(\xi, | ||
+ | + | ||
+ | f_3 N_3(\xi, | ||
+ | + | ||
+ | f_4 N_4(\xi, | ||
+ | $$ | ||
+ | dove per ogni $\xi$ e $\eta$, $\sum_i N_i (\xi, | ||
+ | |||
+ | Per la definizione di $N$, si cerca una funzione continua e derivabile: i polinomi, con grado più basso possibile, sono adatti in quanto semplici da manipolare. Si scrive quindi $N_j$ evitando il termine quadratico $\xi^2$: | ||
+ | $$ | ||
+ | | ||
+ | $$ | ||
+ | Per ricavare i coefficienti si impone, per esempio nel vertice 1, che $N_1=1$ ($\xi=-1$ e $\eta=-1$) e negli altri 0. In questo modo si ottiene $a=b=c=d=\frac{1}{4}$: | ||
+ | $$ | ||
+ | N_1=\frac{1}{4}\left( 1-\xi\right)\left( 1-\eta\right) | ||
+ | $$ | ||
+ | Da questo si può osservare che $N=\frac{1}{4}$ al centro del quadratino, 1 nel primo vertice e 0 negli altri vertici. Quindi non è una retta lungo la direzione che congiunge i vertici 2 e 4. | ||
+ | | ||
+ | {{ : | ||
+ | ====Derivate parziali in $\xi$ e $\eta$ ==== | ||
+ | La funzione peso è derivabile: | ||
+ | $$ | ||
+ | | ||
+ | $$ | ||
+ | $$ | ||
+ | | ||
+ | $$ | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | La prima è bilineare in $\eta$ e costante in $\xi$, mentre la seconda è bilineare in $\xi$ e costante in $\eta$. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | ~~DISCUSSION~~ |