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====== ELEMENTO TRIANGOLARE  A TRE NODI ======


Utilizzando il calcolo agli elementi finiti, ricaviamo dagli spostamenti le deformazioni e da queste le tensioni. Gli spostamenti sono le nostre incognite principali. Esiste anche la formulazione duale alle tensioni, che parte dall’equazione di equilibrio sulle tensioni, per ricavare tramite legame elastico le deformazioni e infine attraverso le equazioni di congruenza, gli spostamenti. Nella teoria dell’elasticità l’approccio tipico è quello alle tensioni, mentre nella teoria agli elementi finiti l’approccio è agli spostamenti.

===== DISCRETIZZAZIONE DEL DOMINIO =====

Il problema si riduce a conoscere gli spostamenti di ogni punto della struttura.
Definiamo un sistema di riferimento (x,y). Il problema agli spostamenti si riconduce a conoscerne, per ogni punto P della struttura :
  * u spostamento in direzione x;
  * v spostamento in direzione y;
  * w spostamento in direzione z.

Questi spostamenti sono funzione di x,y ed eventualmente di z.

Dobbiamo ricavare lo spostamento di ogni punto del dominio (infiniti se considero un continuo) per cui abbiamo infinite incognite, a causa della limitata capacità di calcolo dei computer dobbiamo perciò discretizzare il dominio.

Discretizzando il nostro dominio in una serie di sottodomini di forma **triangolare** è possibile suddividere una qualunque figura piana poligonale in composizioni di triangoli.
Tuttavia le strutture che andremo a studiare non sono poligonali, dobbiamo considerare un “errore di discretizzazione del contorno” dovuto al fatto che si approssimano tratti curvi con segmenti rettilinei.

Questi sottodomini determinano una “Partizione” e presentano le seguenti  proprietà:
  * l’unione dei sottodomini restituisce il dominio originale di partenza;
  * i sottodomini hanno intersezione nulla l’uno con l’altro, cioè non si sovrappongono.

L'errore di discretizzazione porta ad uno scostamento rispetto alla soluzione effettiva dato dlla rappresentazione del contorno (boundary). Questo si riduce se gli elementi vengono partizionati con una dimensione caratteristica, detta h (lato dell’elemento triangolare), molto più piccola (h/10 - h/100) oppure utilizzando elementi con lati curvilinei.

Triangolando tutto il dominio si crea una sorta di reticolo, ma la discretizzazione di tipo reticolare non si dimostra adatta a descrivere un componente continuo perché il materiale esistente tra le maglie irrigidisce molto la struttura e questo non è stimabile con un approccio ad aste. Per ovviare al problema si utilizzano i FEM discretizzando il dominio attraverso elementi finiti 2D, dove l’effetto irrigidente del materiale interno viene considerato tramite un approccio energetico (trattato nell'elaborato). 

Della struttura reticolare conserviamo il concetto di nodi di collegamento tra elemento ed elemento, ossia supponiamo che ognuno degli elementi triangolari si connetta agli altri tramite i vertici. Gli elementi interagiscono tra loro soltanto tramite forze applicate nei vertici e non c’è alcuna interazione diretta tra lati contigui.

Alternativamente si potrebbe suddividere il dominio in quadrilateri(2D) oppure tetraedri, esaedri o pentaedri(3D)  
====== CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI NODALI ======


I nodi hanno il vantaggio rispetto a tutti gli altri punti del dominio:
  * di essere in numero finito;
  * ne definisco un numero a piacere, a seconda delle mie esigenze di calcolo.

Occupiamoci del problema piano (l'estensione al caso tridimensionale è banale), definendo come incognite le due funzioni spostamento

$u= u\left ( x,y \right )$

$v= v\left ( x,y \right )$


Considerando un sistema con **N** nodi, le nostre incognite saranno $u_{i}$ e $v_{i}$, spostamenti del nodo //i//-esimo con $i= 1,...,N$ .

Con questa formulazione ogni elemento avrà $6$ g.d.l , ognuno dei quali rappresenta un’incognita del problema. Tuttavia esistono casi specifici in cui agli spostamenti nodali devo aggiungere altre quantità.

Per esempio gli “Herman-Elements”, hanno  $2$ g.d.l. per ogni nodo nel piano e 3 nello spazio, ed in più hanno un g.d.l di pressione idrostatica campionata al centroide di ogni elemento. 
====== SPOSTAMENTO DEGLI ELEMENTI – INTERPOLAZIONE LINEARE ======

A questo punto è necessario definire delle regole per ricavare dagli spostamenti nodali gli spostamenti di tutti i punti interni ad ogni sottodominio triangolare.

Consideriamo allora un elemento triangolare i cui nodi vengono denominati $i,j,k$ ed un generico punto $P$ interno ad esso.

Lo spostamento in direzione $x$  del punto interno $P$ si definisce come interpolazione lineare, nel piano $(x,y)$, dei valori di spostamento lungo $x$ dei nodi $i,j,k$.

Quindi $u_{p}$ è definito come interpolazione lineare degli spostamenti $u_{i}$, $u_{j}$, $u_{k}$.

Analogamente $v_{p}$ è definito come interpolazione lineare  degli spostamenti $v_{i}$, $v_{j}$, $v_{k}$.

{{ :wikipaom2016:nuovo_documento_2_1.jpg?300 |}}

Se lo spostamento interno è definito per interpolazione lineare, allora è una funzione lineare definita nella forma:


$u(x,y) = \alpha _{1}  +\alpha _{2}x + \alpha _{3}y$

$v(x,y) = \alpha _{4} + \alpha _{5}x + \alpha _{6}y$

Tutti i possibili spostamenti li vado ad ottenere modificando i coefficienti $\alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3}, \alpha _{4}, \alpha _{5}, \alpha _{6}$.
Affinché la funzione sia lineare, tali coefficienti debbono essere costanti in $x,y$: 
quindi devono valere per ogni punto dell’elemento e dunque in particolare anche ai nodi.

Scriviamo le funzioni sui nodi $i,j,k$.

Lo spostamento lungo x del nodo i sarà:

$u_{i}(x,y) = \alpha _{1}  +\alpha _{2}x_{i} + \alpha _{3}y_{i}= u_{i}$

Analogamente per gli spostamento lungo $x$ dei nodi $j,k$

$u_{j}(x,y) = \alpha _{1}  +\alpha _{2}x_{j} + \alpha _{3}y_{j}= u_{j}$

$u_{k}(x,y) = \alpha _{1}  +\alpha _{2}x_{k} + \alpha _{3}y_{k}= u_{k}$

Quindi ottengo un sistema di $3$ equazioni nelle $3$ incognite $\alpha _{1}$,
$\alpha _{2}$,$\alpha _{3}$ :

$$
\begin{cases} & u_{i} = \alpha_{1}+\alpha_{2}x_i+\alpha_{3}y_i\\  &u_{j} = \alpha_{1}+\alpha_{2}x_j+\alpha_{3}y_j\\  &u_{k} = \alpha_{1}+\alpha_{2}x_k+\alpha_{3}y_k\\ &\end{cases} 
$$

Risolvendo il sistema trovo tutti i coefficienti $\alpha$ in funzione degli spostamenti nodali.
Un alternativa a definire una forma lineare del campo degli spostamenti entro l’elemento è definire tre funzioni di forma lineari, una per ogni grado di libertà (la cui combinazione sarà implicitamente un campo lineare). Combinando le funzioni di forma trovo tutto il campo degli spostamenti entro l’elemento.
In definitiva posso costruire elementi semplicemente definendo grado di libertà e relative funzioni di forma.

===== FUNZIONI DI FORMA =====


Le funzioni di forma le definisco a priori e ne associo una per nodo, son sempre in funzione di x,y. Le scelgo polinomiali ma volendo potrei usare delle funzioni di forma armoniche se voglio degli spostamenti in serie di Fourier.

La **funzione di forma** (base nodo) dell’elemento $N_{i}$ è tale per cui:

  * se la campiono sul nodo $i-esimo$ vale $1$
  * se la campiono sugli altri due nodi $j$ e $k$ vale $0$

Allo stesso modo la funzione $N_{j}$, peso associato al nodo $j$:

  * se la campiono sul nodo $j-esimo$ vale $1$
  * se la campiono sugli altri due nodi $i$ e $k$ vale $0$


{{ :wikipaom2016:piani_inclinati.jpg |}}


Si noti dall’immagine che le funzioni di forma sono delle porzione di piano inclinato.

In generale le funzioni di forma hanno tali caratteristiche:

  * la somma delle $3$ su ogni punto vale sempre $1$; 
  * se abbiamo i $3$ valori della funzione ai $3$ vertici del triangolo, l’interpolazione lineare di quei $3$ valori al baricentro vale $1/3$ per ciascuno valore della funzione ai vertici.

Volendo per un elemento triangolare posso definire anche 6 funzioni di forma --> elemento triangolare a 6 nodi, vado ad aggiungere dei nodi anche nei tre lati. In questo caso devo utilizzare funzioni geometriche quadratiche la cui natura è del tipo:
 $\beta_1+\beta_2x+\beta_3y+\beta_4x^2+\beta_5y^2+\beta_6xy$ 
che definisco a mio piacere.

{{:wikitelaio2016:tria_6nodi.jpg?300|}}

Con le funzioni di forma riesco ad interpolare lo spostamento in direzione x,y notando che non ho interferenza tra gli spostamenti x nodali e x dell'elemento (analogamente vale per y). I sistemi di spostamento x e y son definiti disaccoppiati. 

====== CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI ======


Anziché considerare l’interpolazione di una funzione generica, consideriamo il problema agli spostamenti all’interno del triangolo:

$u(x,y)=N_{i}(x,y)u_{i}+N_{j}(x,y)u_{j}+N_{k}(x,y)u_{k}$

$v(x,y)=N_{i}(x,y)v_{i}+N_{j}(x,y)v_{j}+N_{k}(x,y)v_{k}$

Si può estendere il risultato trovato per elementi con un numero maggiore di nodi:

$U(x,y)=\sum_{l=1}^{M}N_{l}(x,y)u_{l}(x,y)$

Considerando che le funzioni $u(x,y)$ e $v(x,y)$ sono lineari, esse possono essere viste come un vettore $δ$ premoltiplicato per una matrice $N(x,y)$,che possiamo scrivere in questo modo:
dimensionalmente abbiamo tante righe quanto questo termine $u(x,y)$ e tante colonne quanto quest’altro elemento $δ$, quindi è una $2$ righe e $6$ colonne.


$$\begin{bmatrix}
U(x,y)\\ 
V(x,y)
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
N_i(x,y) &0  &N_j(x,y)  &0  &N_k(x,y)  &0 \\ 
 0&  N_i(x,y)&  0&  N_j(x,y)&  0& N_k(x,y)
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
u_i\\ 
v_i\\ 
u_j\\ 
v_j\\ 
u_k\\ 
v_k
\end{bmatrix}$$

Ad ogni colonna della matrice è associato un moto elementare sul mio elemento finito modulato per ogni g.d.l. E' anche possibile costruire delle funzioni di forma Base-g.d.l. che non derivino da una funzione di forma nodale in maniera cosi evidente (es.((prendo un elemento trave nel piano x,y considero un elemento che rappresenta un tratto finito di trave vedi disegno {{:wikitelaio2016:trave1_tria.jpg?300|}} la sezione iniziale e finale della trave possono traslare e ruotare inducendo una def. flessione che può essere rilevante. Sui nodi ho 3 gdl. Ora posso definire 2 funzioni di forma nodali lineari su questo elemento come da figura {{:wikitelaio2016:ff_tria_trave.jpg?200 |}} ora immagino lo spostamento associato ad una rotazione unitaria del nodo 2 $$\delta=\begin{bmatrix}
u_1\\ 
v_1\\ 
r_1\\ 
v_2\\ 
u_2\\ 
r_2
\end{bmatrix}$$ son i 6 gdl dell'elemento ma l'unico non nullo è r_2=1. I nodi 1,2 son presi sull'asse baricentrico. La rotazione imposta è di 1rad e decido che il mio elemento è definito in piccole rotazioni perciò nella rotazione tutti i punti si spostano sulla tangente piuttosto che sulla circonferenza (linearizzo il problema) e trovo lo spostamento di tutti i punti della sezione 2.

{{ :wikitelaio2016:trave_timo_tria.jpg?200 |}}

Nelle sezioni che stanno tra il nodo 1 e 2 applico l'interpolazione lineare sulle sezioni con rotazione che varia tra 0-1rad. Ora per ogni punto del mio elemento definisco gli spostamenti in funzione del mio unico gdl non nullo e completo la matrice N. 
La deformazione rappresentata è quella di una trave flesso-tagliante alla Timoshenko.
Se volessi rappresentare una trave puramente flessionale avrei dovuto usare le rotazioni per definire la tangente all'asse baricentro. La rotazione la utilizzo per definire una funzione cubica (4 parametri, due punti e 2 tangenti) la funzione di forma (Base-gdl) da associare alle funzioni è quella che trovo seguendo la cubica e andando a tracciare tutte le sezioni. {{ :wikitelaio2016:trave_eulero_tria.jpg?200 |}}
Concludendo al FEM definisco un elemento:
1)definendo lo spazio che ricopre(triangolo o quadrilatero) 
2)definendo le funzioni di forma Base 
3)gdl dello stesso definendo i gdl che spesso sono spostamenti o rotazioni )) ) 

Osservazione:  
$U(x,y)$ non ha nessun pedice, poiché non è associato a nessun nodo, ma è relativo ad un punto generico dell’elemento.                                                                                		
Il vettore $δ$  raccoglie tutti i g.d.l dell’elemento.
In questo modo abbiamo definito gli spostamenti dei punti di ogni punto della struttura $u(x,y)$ in funzione degli spostamenti nodali.
Quindi dalle funzioni di forma dell’elemento è possibile ricavare facilmente delle funzioni di forma di struttura.
Le funzioni di forma di struttura di un dato nodo hanno sempre le caratteristiche:
  * valgono 1 sul nodo a cui sono associate;
  * valgono  0 su tutti gli altri nodi.

Sulla struttura però tali funzioni non sono più lineari, ma sono definite lineari a tratti, oppure lineari su di un sottodominio.
Quindi le funzioni di forma definite lineari sull’elemento, danno luogo a funzioni di forma sulla struttura lineari a tratti.
Da qui notiamo che lo spostamento di ogni punto della struttura è definito come funzione di forma della struttura per gli spostamenti del nodo a cui sono associate:

Dato un generico nodo $l$ della struttura, si può ricavare l’espressione dello spostamento di un generico punto  della struttura come : 

$$U(x,y)=\sum_{l=1}^{M}N_{l}(x,y)u_{l}(x,y)$$



per cui la stessa cosa che abbiamo fatto all’elemento possiamo estenderla alla struttura considerando le funzioni di forma di struttura derivate dalle funzioni di forma dell’elemento. In particolare, la funzione di forma della struttura sarà lineare a tratti se l'elemento è lineare, o quadratica se l'elemento è curvo.
Lo spostamento di un generico punto $(x,y)$ della struttura viene modulato tramite dei pesi, che sono gli spostamenti nodali.

Ovviamente risulterà che questo spostamento sarà pure una funzione lineare a tratti.


Possiamo riassumere i passaggi svolti in questo modo:

  * isolo dei sottodomini triangolari;
  * definisco come incognite rilevanti lo spostamento dei nodi di tali sottodomini triangolari, all’interno dei sottodomini uso delle interpolazioni lineari che sulla struttura diventano lineari a tratti. Perciò tutti gli spostamenti che posso rappresentare sono lineari a tratti.

Si nota che la forma lineare a tratti è un grosso vincolo, nel senso che nessuno degli elementi potrà mai incurvarsi, poiché se procedo per interpolazione lineare la deformata del triangolo dovuta agli spostamenti nodali rimarrà in configurazione rettilinea.

Quindi tutti i moti che non rispettino tale forma di linearità sono vietati, ciò porta ad un inevitabile irrigidimento della struttura. Di conseguenza i risultati tenderanno a sottostimare l’energia di deformazione nonché la rigidezza a carico imposto.

A questo punto le nostre funzioni di forma inseriscono un secondo tipo di errore che viene chiamato $$”formulation error”$$ tipicamente il più grande che c’è nella trattazione.
Esso può essere ridotto con le stesse metodologie di riduzione usate per l’errore di discretizzazione.
Ovviamente l’errore sarebbe zero, solo se avessimo infiniti nodi, cioè infiniti g.d.l. 
A questo, si aggiunge l’errore numerico dovuto alla precisione di calcolo implementata al calcolatore.

====== CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI ======


Nel caso piano piano ho due casi tipici: deformazione piana e tensione piana. Nel caso di deformazione piana tutte le componenti fuori piano di deformazione son nulle. Nel caso della tensione piana tutte le componenti di tensione fuori dal piano sono nulle.
Ci concentriamo sulla tensione piana.

====== Tensione piana ======

Caratterizzata da $\sigma_x≠0$, $\sigma_y≠0$, $\tau_xy≠0$, $\tau_yz=0$, $\tau_zx=0$, $\sigma_z=0$.

$\varepsilon _{z}=-\nu (\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y})$	 associata all’ipotesi che $\sigma _{z}=0$ definita con l'effetto Poisson. 

$\gamma _{xz}=\gamma _{yz}=0$	associata all’ipotesi che $\tau _{zx}=\tau _{zy}=0$

Definisco le deformazioni con un operatore differenziale sottoforma di matrice:
$$N=\begin{bmatrix}
 \frac{\partial }{\partial x}&0 \\ 
 0&\frac{\partial }{\partial y} \\ 
 \frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial x} 
\end{bmatrix}$$

Avrò che $$\varepsilon =\begin{bmatrix}
\varepsilon _x\\ 
\varepsilon _y\ \\ 
\gamma _{xy}
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
 \frac{\partial }{\partial x}&0 \\ 
 0&\frac{\partial }{\partial y} \\ 
 \frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial x} 
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
U(x,y)\\ 
V(x,y)
\end{bmatrix}=L\cdot N(x,y)\cdot \delta $$


$L$ è una matrice $3X2$, nonchè operatore differenziale che contiene gli operatori di derivazione.
Tale operatore differenziale posso applicarlo direttamente alle funzioni di forma, ottenendo una matrice $B$, che lega le deformazioni agli spostamenti.

                                                                                                                                           
$$B=\begin{bmatrix}
 \frac{\partial }{\partial x}&0 \\ 
 0&\frac{\partial }{\partial y} \\ 
 \frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial x} 
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
N_i(x,y) &0  &N_j(x,y)  &0  &N_k(x,y)  &0 \\ 
 0&  N_i(x,y)&  0&  N_j(x,y)&  0& N_k(x,y)
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
\frac{\partial N_i}{\partial x} &0  &\frac{\partial N_j}{\partial x}  &0  &\frac{\partial N_k}{\partial x}  &0 \\ 
 0&  \frac{\partial N_i}{\partial y}&  0&  \frac{\partial N_j}{\partial y}&  0& \frac{\partial N_k}{\partial y}\\ 
 \frac{\partial N_i}{\partial y}&  \frac{\partial N_i}{\partial x}&  \frac{\partial N_j}{\partial y}&  \frac{\partial N_j}{\partial x}&  \frac{\partial N_k}{\partial y}& 
\frac{\partial N_k}{\partial x}\end{bmatrix}$$

Concludendo ho che: $$\varepsilon = B(x,y)\cdot \delta $$

Gli spostamenti nodali non sono in funzione di $(x,y)$. E' peculiarità dell'elemento 3 nodi nel piano e del tetraedro 4 nodi nello spazio il fatto che $B$ (essendo costituita da derivate di funzioni lineari) siano caratterizzati da stato deformativo uniforme infatti l’elemento triangolare è codificato come //CST// (Constant strain triangle)

In uno stato di tensione piana posso andare a definire una matrice di legame costitutivo:

$$
   \newcommand{\vec}[1]{\smash{\underline{#1}}}
   \newcommand{\mat}[1]{\smash{\underline{\underline{#1}}}}
   
   
   \begin{bmatrix}\sigma_{x} \\ \sigma_{y} \\ \tau_{xy} \end{bmatrix}
   = 
  {\mat{D}}
    \begin{bmatrix}\varepsilon_{x} \\ \varepsilon_{y} \\ \gamma_{xy} \end{bmatrix}
$$

scritta in forma compatta $\boldsymbol{\sigma }=\boldsymbol{D}\boldsymbol{\varepsilon}$

$\boldsymbol{D}$ è una matrice 3x3 proporzionale al modulo di Young $E$.

Nel caso di tensione piana materiale omogeneo isotropo lineare elastico la matrice del legame costitutivo sarà:
$${\mat{D}}= 
   
   \cfrac{E}{1-\nu^2}
   \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\
                   \nu & 1 & 0 \\
                   0 & 0 & \cfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}$$
                   
Con queste ipotesi ottengo che le σ sono in funzione degli spostamenti nodali.


Torniamo alla definizione di spostamento come combinazione lineare di $\alpha_{1} $, $\alpha_{2} $,..., $\alpha_{6} $.\\

$$
u(x,y)=\alpha_{1}+\alpha_{2}x+\alpha_{3}y
$$
$$
v(x,y)=\alpha_{4}+\alpha_{5}x+\alpha_{6}y
$$

E' noto che dal campo degli spostamenti posso ricavare le deformazioni per differenziazione come segue:

$$
\varepsilon_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}=\alpha_{2}
$$
$$
\varepsilon_{y}=\frac{\partial v}{\partial y}=\alpha_{6}
$$
$$
\gamma_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=\alpha_{3}+\alpha_{5} 
$$

Risulta che ad esempio, quando passo dagli spostamenti alle deformazioni, le quote $\alpha_{1} $ e $\alpha_{4} $ scompaiono, ossia $\alpha_{1} $ e $\alpha_{4} $ sono delle quote di spostamento che non generano deformazione.
$\alpha_{1} $ possiamo caratterizzarla come una traslazione rigida in direzione $x$, $\alpha_{4} $ è una traslazione rigida in direzione $y$, e quindi possiamo misurare i due moti di corpo rigido.
I moti di corpo rigido, per definizione, sono moti in cui l’elemento non si deforma. Quindi per questo stato di deformazione sono nulli.
Pertanto si può dire che le deformazioni sono nulle per:

$$
\alpha_{1}=\lambda_{1}   \qquad  \forall\lambda
$$
$$
\alpha_{4}=\lambda_{2}   \qquad  \forall\lambda 
$$

Ma si hanno deformazioni nulle anche nel caso in cui $\alpha_{3} $ e $\alpha_{5} $ sono uguali e opposte:

$$
\alpha_{3}=\lambda_{3}
$$
$$
\alpha_{5}=-\lambda_{3}
$$
$$
\Rightarrow\alpha_{3}=-\alpha_{5}
$$ 

In forma parametrica ho definito quelle tre forme di spostamento che danno deformazioni nulle.

Analizziamo il significato geometrico di $\alpha_{3} $ e $\alpha_{5} $.

Possiamo vedere come $\alpha_{3} $  e $\alpha_{5} $  sono legati ad una deformazione di tipo di rotazione.

Considero il piano $xy$.

{{ :wikipaom2015:deformazione_01.png?350x400|}}
{{ :wikipaom2015:deformazione_01.pdf|sorgente ipe}}

Ho un elemento che inizialmente nasce come un quadrato. Supponiamo di dare un moto che sia legato puramente ai coefficienti $\alpha_{3} $  e $\alpha_{5} $. La deformazione che ottengo è una deformazione tipo “rombo”.\\
Il quadrato è l’indeformata. Il rombo è la deformata.

Consideriamo il lato del quadrato giacente sull’asse $x$ in configurazione indeformata.\\
Notiamo che:

  * il punto ad $x=0$, in configurazione deformata, è rimasto fermo in questo esempio di pura deformazione a taglio;\\
  * gli altri punti del lato si spostano in direzione verticale sempre di più (per $x$ crescenti).\\
 
 
In particolare la funzione spostamento verticale $v(x,y)$ cresce con legge lineare.\\ 
La pendenza possiamo vederla legata a $\frac{\partial v}{\partial x}$. Cioè la variazione di spostamento in direzione $y$, man mano mi muovo in $x$, dà luogo a questa forma del lato deformato del cubetto (quello del rombo) ed è legata a $\frac{\partial v}{\partial x}$, che nel caso specifico è uguale ad $\alpha_{5} $.

Se $v$ fosse uguale a zero per ognuno di questi punti, $v$ sarebbe una costante in $x$ e $\frac{\partial v}{\partial x}$ sarebbe uguale a zero e questo lato rimarrebbe sulla configurazione indeformata.

Consideriamo adesso il lato del quadrato giacente sull’asse $y$ in configurazione indeformata.
In questo caso la configurazione deformata è legata allo spostamento in direzione $x$, via via crescente in $y$, dei nodi che, in configurazione indeformata, si trovavano sull’asse $y$. \\ 
In particolare:

  * il nodo ad $y=0$ non si sposta in direzione $x$;\\
  * il nodo in corrispondenza dell’altro estremo del lato considerato si sposta di una data quantità;\\
  * tutti i nodi si spostano con legge lineare.\\

Possiamo quindi vedere come pendenza di questo lato sulla deformata la derivata parziale $\frac{\partial u}{\partial y}$.\\ 
Ovvero, andando a campionare i punti via via crescenti in $y$, la crescita lineare può essere caratterizzata geometricamente da una retta con pendenza $\frac{\partial u}{\partial y}$, che è uguale anche ad $\alpha_{3} $  .

Si chiama **deformazione tagliante** la somma delle due derivate. \\ 
Per piccoli spostamenti, ovvero quando è possibile assumere che angolo e tangente coincidano, la deformazione totale del cubetto, cioè lo spostamento angolare tra l’indeformata e la deformata vede un angolo che è $\alpha_{3} $ + $\alpha_{5} $ .
La deformazione a rombo viene caratterizzata come scostamento dalla forma quadrata di angolo:\\ 

$$
\alpha_{3} + \alpha_{5} = \gamma_{xy}
$$

Cosa succede se $\alpha_{5} $ = - $\alpha_{3} $   , o viceversa?\\ 
Se andiamo a costruire la deformata del quadratino elementare con $\alpha_{5} $ e $\alpha_{3} $ che sono uguali ed opposti otteniamo semplicemente un quadratino ruotato.\\

{{:wikipaom2015:quadrato_ruotato.png|}}
{{:wikipaom2015:quadrato ruotato.pdf|sorgente ipe}}

Pertanto quando $\alpha_{3} $ = -$\alpha_{5} $ si ha una **pura rotazione** intorno all'asse $z$.
                   

====== Applicazione su elemento a 3 nodi ======

{{ :undefined:elemento_tria_def.jpg?300 |}}

Prendiamo l'elemento triangolare a 3 nodi e lo portiamo in una configurazione deformata (aggiungo degli spostamenti nodali). Noti gli spostamenti nodali e nota la forma indeformata posso ricostruire la forma deformata. Poiché il lato nasce rettilineo e gli spostamenti sono entro piano, un segmento viene trasformato da una funzione lineare solo in un altro segmento. (questo non succede nell'elemento triangolare sei nodi dove lati rettilinei posso diventare parabolici) Il vettore degli spostamenti (imposti) sarà :$$\delta=\begin{bmatrix}
u_1\\ 
v_1\\ 
u_2\\ 
v_2\\ 
u_3\\ 
v_3
\end{bmatrix} $$ 

Se in quella porzione di spazio ho materiale elastico reagirà alla deformazione, risulta che quel tipo di deformata non è in equilibrio con l'assenza di forze perché una volta scaricato il corpo tende a tornare nella situazione indeformata più un arbitrario moto di corpo rigido. La deformata può esistere solo in presenza di forze che son son uguali e contrarie alle reazioni elastiche del materiale che dentro l'elemento. Le forze le vado ad applicare sui nodi per mantenere l'elemento nella nella configurazione deformata.(sui nodi e non in altro modo perché si imposta la soluzione del sistema FEM come la soluzione dell'equilibri sui singoli nodi)

Definisco le forze nodali:

$$\begin{bmatrix}
X_1\\ 
Y_1\\ 
X_2\\ 
Y_2\\ 
X_3\\ 
Y_3
\end{bmatrix} $$ dove $X,Y$ sono le componenti di forza nelle rispettive direzioni x e y da applicare ai singoli nodi.
Se il sistema si comporta linearmente risulta che le forze necessarie a mantenere l'elemento deformato sono lineari all'entità della deformata stessa. La linearità la vado a rappresentare come pre moltiplicazione per matrice ${\mat{K}}$(6x6) che rappresenta la **rigidezza** dell'elemento.

$$\begin{bmatrix}
X_1\\ 
Y_1\\ 
X_2\\ 
Y_2\\ 
X_3\\ 
Y_3
\end{bmatrix}
={\mat{K}} \begin{bmatrix} u_1 \\ v_1 \\ u_2 \\ v_2 \\ u_3 \\ v_3 \end{bmatrix}
 $$
In forma compatta
$$F={\mat{K}}\cdot \delta$$

Nota la geometria dell'elemento, noto il legame costitutivo dell'elemento (lineare elastico), dobbiamo ottenere la matrice di rigidezza.
La devo trovare per via energetica.
Utilizzo il teorema dei lavori virtuali, vado a cercare quelle forze che son energeticamente equivalenti all'energia potenziale elastica che si genera all'interno dell'elemento per data deformazione.
Definisco uno spostamento virtuale $\delta$__u__ come uno spostamento virtuale di tutti i punti dell'elemento ma che __rispetta la cinematica interna imposta delle funzioni di forma__ (base-gdl)

$$\delta\underline u(x,y)=
\begin{bmatrix}
\delta u(x,y)\\ 
\delta v(x,y)
\end{bmatrix}$$

Quindi:

$$\delta\underline u(x,y)={\mat{N}}(x,y)\cdot\delta\underline u$$
dove \delta\underline u non è più funzione di x e y ma son gli spostamenti nodali.

$$\delta\underline u=\begin{bmatrix}
\delta u_1\\ 
\delta v_1\\ 
\delta u_2\\ 
\delta v_2\\ 
\delta u_3\\
\delta v_3\\
\end{bmatrix} $$

Dagli spostamenti virtuali posso ricavare delle deformazioni virtuali.

$$\delta\underline ε= \begin{bmatrix}
\delta\varepsilon _x\\ 
\delta\varepsilon _y\ \\ 
\delta\gamma _{xy}
\end{bmatrix}= {\mat{B}}\cdot\delta\underline u $$

Posso definire lo stato di variazione tensionale indotta dallo spostamento $\delta\underline u$ $$\delta σ={\mat{D}}{\mat{B}}\cdot\delta\underline u $$
Ora introduciamo un ipotesi cioè che la configurazione(deformata) da cui partiamo era in equilibrio. Se ho un sistema in equilibrio e lo perturbo con degli spostamenti virtuali posso applicare il //teorema dei lavori virtuali//((PLV dice che presa una struttura inizialmente in equilibrio e perturbata questa struttura da una serie di spostamenti arbitrari con la regola che rispettino i vincoli del sistema, in particolare per questo elemento devono rispettare la cinematica delle funzioni di forma, ho che il lavoro virtuale è il lavoro delle forze esterne compiuto sugli spostamenti virtuali.))
Nel mio caso le forze esterne sono $F=(X_1,Y_1,X_2,Y_2,X_3,Y_3)$ perciò 
$$\delta W = X_1\delta u_1+Y_1\delta v_1+X_2\delta u_2+Y_2\delta v_2+X_3\delta u_3+Y_3\delta v_3=\underline F^T\cdot\delta\underline u=\delta\underline u^T\cdot\underline F$$
La variazione di energia potenziale elastica è il lavoro dello stato tensionale sullo stato deformativo aggiunto.

$$\delta U=\int_{V}\left[\sigma_x\delta\epsilon_x+\sigma_y\delta\epsilon_y+\tau_xy\delta\gamma_xy \right]dV$$

Integro sul volume perché se l'elemento è fisico ha anche uno spessore.
Se deformo la struttura è possibile che lo stato tensione vari rispetto allo stato iniziale. Da $\sigma_x$ vado a $\sigma_x+\delta\sigma_x$ ma $\delta\sigma_x$ compie la loro su questi spostamenti che è un infinitesimo di ordine superiore se considero gli spostamenti infinitesimi. Quindi per togliermi il problema aggiungo che gli spostamenti sono infinitesimi (non è strettamente necessario, ma semplifica).
Solo se assumo gli spostamenti infinitesimi posso passare all'energia potenziale elastica in forma ridotta
$$\delta U=\int_{V}\left[\delta\underline\varepsilon^T\cdot\underline\sigma\right]dV$$

$$\delta U=\int_{V}\left[\delta\underline u^T\cdot\mat B^T\mat D \mat B\underline u\right]dV =\delta\underline u^T \left[\int_{V} \left(\mat B^T\mat D\mat B\right)dV \right]\underline u $$
Peculiarità dell' elemento triangolare 3 nodi è che $\mat b$ sia costante su tutto l'elemento. Tutto l'integrando è costante sul volume. L'integrale si riduce a:

$$ \delta U= \delta\underline u^T\left[\mat B^T\mat D\mat B \cdot a\cdot t \right]\underline u  $$

Dove $a$ e $t$ son area e spessore fuori piano (volume). Questa è la variazione di energia potenziale elastica indotta dallo spostamento virtuale. 
Per il PLV devo avere $ \delta U=\delta W$ 
Questa relazione deve valere per ogni spostamento virtuale a piacere. Risulta che:
$$\underline{F}=\left[\mat B^T\mat D\mat B \cdot a\cdot t \right]\underline u$$
Abbiamo perciò determinato la $\mat K$ che è definita come:
$$\mat K=\mat B^T\mat D\mat B \cdot a\cdot t $$
Essendo $\mat D$ proporzionale al modulo di Young trovo che raddoppiando questo nel materiale mi raddoppia la matrice di rigidezza. La matrice di rigidezza è funzione delle funzioni di forma da $\mat B$, è proporzionale allo spessore ma è **invariante rispetto alla scala dimensionale dell'elemento**. (se scalo di un fattore $\lambda$ l'elemento i termini di $\mat B$ scalano di un fattore $1/\lambda$ ma aumenta al contempo di un fattore $\lambda^2$ l'area di integrazione dei contributi; osservo quindi che $\mat K$ è costante su elementi  geometricamente simili)

====== Proprietà della matrice K ======

$\mat K$ di dimensione 6x6 è singolare e ha rango=3 cioè 3 autovalori nulli 
$$\mat K\cdot\underline v_i=0$$ esistono un $v_1,v_2,v_3$ indipendenti tra loro che annullano il prodotto. Queste son le forze necessarie per mantenere l'elemento nella configurazione deformata descritta da $v_i$. Se compio movimenti di corpo rigido sull'elemento il sistema sarà in equilibrio solamente con un sistema di forze nulle. (la matrice ammette 3 moti di corpo rigido 6-3=3).
Esistono casi dove il rango è minore a 3 quando ho dei moti di spostamento aggiunti che non generano energia potenziale elastica.(elementi sottointegranti)

====== Energia potenziale elastica dell'elemento ======

$$E=\frac1 2\underline v^T\cdot\mat K\underline v$$
 
$\frac1 2$ serve per mediare il valore di energia per quando spostavo i nodi nello stato iniziale con reazione elastica nulla allo stato finale quando sposto i nodi con reazione elastica massima.
Per def. ho che l'energia potenziale elastica dell'indeformato è nulla e non può mai assumere valore negativo vedo che $\mat K$ è semi definita positiva.

====Tabella di monitoraggio carico orario====

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Riferimenti: {{:restricted:estratto_capitolo_fem_da_boresi_schmidt_5th_ed.pdf|The Finite Element Method}} da Boresi Schmidt, 5a edizione.

{{:wikipaom2016:lucidi_paom_20160308.pdf|Lucidi della giornata}}

~~DISCUSSION~~