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wikitelaio2016:lez22 [2016/07/22 09:13] – [Instabilità di travi perturbate] 202640 | wikitelaio2016:lez22 [2017/06/19 15:34] (versione attuale) – ebertocchi | ||
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== Instabilità in strutture complesse ====== | ||
+ | ===== Instabilità di travi perturbate ===== | ||
+ | Consideriamo quattro travi in __acciaio__, | ||
+ | |||
+ | * **__raggio medio__**, **r< | ||
+ | |||
+ | * **__spessore di parete__**, **t** = 1 mm | ||
+ | |||
+ | * **__lunghezza__**, | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Le travi sono tutte uguali a meno di una lieve perturbazione che coinvolge solo il terminale a cui è applicato il carico, che è deviato di una quantità ɛ. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | (:!: nella figura l' | ||
+ | |||
+ | Tale quantità è differente per ciascuna trave e, partendo dalla trave inferiore, vale: | ||
+ | |||
+ | * ɛ = 0.001 mm | ||
+ | * ɛ = 0.01 mm | ||
+ | * ɛ = 0.1 mm | ||
+ | * ɛ = 1 mm | ||
+ | |||
+ | Si fa notare che le strutture reali non sono perfettamente lineari quindi è facile che una trave “reale” presenti una perturbazione, | ||
+ | |||
+ | Si vuole applicare a queste travi dei carichi crescenti. Ci si aspetta che ci sia un carico critico, che vale: | ||
+ | |||
+ | $ | ||
+ | _{P_{critico}}= \frac{\pi^{2} EJ}{(2L)^{2}} | ||
+ | $ | ||
+ | |||
+ | Un codice di calcolo farà fatica a lavorare quando il carico applicato raggiungerà il carico critico. Per ovviare a questa evenienza, si adotta la tecnica che sostanzialmente si usa nei test dei materiali. Si sa che la curva carico-spostamento relativa ad una prova a trazione su di un provino di materiale duttile presenta un andamento di questo tipo: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Dove: | ||
+ | * $ \sigma _{ingegneristica} = \frac{F}{A_{iniziale}} $; | ||
+ | |||
+ | * $ \varepsilon _{ingegneristica} = \frac{\delta}{L_{iniziale}} $. | ||
+ | |||
+ | Osservando la curva si comprende che se si procedesse ad una prova con controllo di carico (cioè con carico che aumenta nel tempo), non si riuscirebbe ad andare altre al valore indicato in figura con F< | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Finchè il sistema reagisce linearmente a compressione, | ||
+ | |||
+ | $ | ||
+ | F=\sigma A=E\varepsilon A=E\frac{\delta }{L} A\Rightarrow \delta =\frac{FL}{EA} | ||
+ | $ | ||
+ | |||
+ | con: | ||
+ | |||
+ | * **A**: area della sezione retta del provino/ | ||
+ | * **L**: lunghezza iniziale del provino/ | ||
+ | |||
+ | Quindi, posso sfruttare questo legame per procedere con controllo di spostamento. | ||
+ | |||
+ | Implementiamo al Marc una '' | ||
+ | |||
+ | Il percorso è: | ||
+ | |||
+ | '' | ||
+ | |||
+ | '' | ||
+ | |||
+ | Creiamo un’altra '' | ||
+ | |||
+ | Andare a controllo di spostamento permette di sostenere la struttura, cioè il carrello creato per caricare la struttura finisce che la sostiene. Quindi, un’eventuale degenerazione della struttura in modo instabile viene evitato dall’effetto dello spostamento imposto che diviene un effetto di sostegno. | ||
+ | |||
+ | Applichiamo allora spostamenti crescenti. Poiché si tratta di un calcolo non lineare, un codice lineare non sarebbe in grado di cogliere un comportamento instabile. In Marc, per ottenere un’analisi per vedere un’instabilità occorre andare nel menu: | ||
+ | |||
+ | '' | ||
+ | |||
+ | ed attivare '' | ||
+ | |||
+ | Attivando invece '' | ||
+ | |||
+ | Vediamo come reagisce la struttura aprendo al Marc il file dei risultati. | ||
+ | |||
+ | **Osservazioni **. Nelle strutture telaistiche si fanno calcoli: | ||
+ | |||
+ | * lineari, nel caso di verifica di rigidezze, di verifiche a fatica (il materiale non eccede ciclicamente lo snervamento, | ||
+ | * risposta in frequenza o estrazione modi propri (anche qui, l’ipotesi alla base è che il sistema sia lineare); | ||
+ | * simulazione di crash test, che sono __non lineari__ di tipo esplicito, in cui le incognite non sono gli spostamenti ma le accelerazioni dei nodi. Il non lineare implicito (che è quello che stiamo studiando con questa analisi) tipicamente non si fa. Si usa il metodo non lineare implicito per simulare le deformazioni elasto-plastiche di un componente. | ||
+ | |||
+ | Nel caso di calcolo non lineare implicito si procede con una successione di istanti molto ravvicinati altrimenti la simulazione diverge. Infatti si va a considerare il disequilibrio su ogni grado di libertà della struttura. Se dividiamo il disequilibrio per la massa o l' | ||
+ | Più precisamente si pensa di procedere a controllo di carico, dove il carico è noto e gli spostamenti sono le incognite. | ||
+ | |||
+ | Si ipotizza di conoscere il comportamento della struttura: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | se ho un valore del carico critico esiste il metodo delle tangenti o di Newton che a partire dalla stima iniziale, cioè la condizione di struttura scarica, mi permette in modo iterativo di avvicinarmi alla soluzione. Cioè data la forza riesco a trovare lo spostamento. Ma può capitare che il metodo possa non convergere perciò, invece di chiedere di passare dalla condizione di struttura scarica a quella carica in un solo passaggio, si preferisce parzializzare il carico per rendere più semplice il calcolo. Quindi per ogni passaggio intermedio si applica il metodo delle tangenti trovando per ciascuna la condizione di equilibrio. Se tutti i passaggi convergono si arriva al valore del carico critico altrimenti ci si accontenta di un valore inferiore. | ||
+ | |||
+ | Nella simulazione sono stati definiti dei livelli di carico in modo da raggiungere il 110% del carico critico. | ||
+ | Analizzando i risultati si nota che appare la dicitura " | ||
+ | |||
+ | $ | ||
+ | P(t)= P*t | ||
+ | $ | ||
+ | |||
+ | In realtà nel caso di calcolo statico (cioè se non ci sono forze inerziali e non ci sono reazioni viscose) serve: | ||
+ | |||
+ | * modulare il carico; | ||
+ | * definire a definire una dipendenza della struttura dalla sua storia. | ||
+ | |||
+ | Quindi per il nostro esercizio si ha che: | ||
+ | |||
+ | * per $t_{0}$ il sistema è scarico; | ||
+ | * per $t_{1}$ il sistema è caricato con $P_{critico}$; | ||
+ | * per $t_{2}$ il sistema è caricato con $P> | ||
+ | |||
+ | Mettendo a confronto la struttura deformata con quella originaria si nota che lo spostamento inizia ad essere più visibile nella trave più perturbata, mentre quelle meno perturbate si deformano di meno. Queste ultime colmano il ritardo quando il carico si avvicina al $P_{critico}$. | ||
+ | |||
+ | Analizzando la curva carico-spostamento si nota che: | ||
+ | |||
+ | * tutte le travi hanno una curva a tangente orizzontale per $P=P_{critico}$; | ||
+ | * la pendenza iniziale è la stessa per le 4 curve; | ||
+ | * la transizione è più isterica al calare della perturbazione. | ||
+ | |||
+ | Questo ci spiega perchè nel caso della piramide è stato introdotta la perturbazione, | ||
+ | |||
+ | Per le analisi di strutture caricate fino al valore di instabilità si deve: | ||
+ | |||
+ | * procedere a controllo di spostamento; | ||
+ | * attivare le non linearità geometriche; | ||
+ | * introdurre una piccola perturbazione. | ||
+ | altrimenti il passaggio da soluzione lineare elastica a struttura instabile è troppo repentino. Infatti se si toglie la non linearità, disattivando '' | ||
+ | |||
+ | ====Piramide==== | ||
+ | |||
+ | ===Piramide buckling base nella forma perturbata e rinforzo della struttura con tiranti=== | ||
+ | |||
+ | Consideriamo una piramide (file: {{: | ||
+ | Volendo aumentare il **carico critico** sopportabile dobbiamo attuare un rinforzo della piramide, di conseguenza, | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | <figure etichetta> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | {{ : | ||
+ | <figure etichetta> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Considerando i nodi del montante a metà altezza della piramide, si può osservare che fra questi e i vertici della base avviene una deformazione quadrilatera: | ||
+ | {{ : | ||
+ | <figure etichetta> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | {{ : | ||
+ | <figure etichetta> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | A questo punto procediamo con un nuovo calcolo nel quale ritroviamo un carico critico di circa 12,67 volte i 1000 N applicati alla struttura. Questo risultato ci dimostra che i fenomeni di instabilià si palesano ad un carico più grande del 50% rispetto al precedente. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | <figure etichetta> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | In realtà fra i due rinforzi inseriti solo uno sarà instabile in questo punto,vale a dire quello soggetto a compressione, | ||
+ | |||
+ | Per poter avere questa informazione bisogna necessariamente effettuare una simulazione non lineare detta di **post-buckling** o post-instabilità.Si potrebbe optare per una simulazione non lineare di spostamento: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | <figure etichetta> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | La labilità del sistema non è dovuta all' | ||
+ | Si noti che il sistema evolve linearmente fino ad un punto corrispondente a 8 decimi di mm e 12070 N. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | <figure etichetta> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | Ricordando che il carico critico precedentemente ricavato era di circa 12700 N, possiamo dire che è stata raggiunta l' | ||
+ | Il risultato ottenuto non ci dà informazioni su cosa succede oltre la raggiunta instabilità di una delle due travi e quindi in questa maniera non si ha la possibilità di procedere con l' | ||
+ | Per far avanzare l' | ||
+ | In conclusione possiamo dire che nella struttura piramidale con rinforzi diagonali il carico di 12070 N rappresenta il **massimo** della sollecitazione sopportabile. | ||
+ | |||
+ | ===Rinforzo con pannelli=== | ||
+ | Adesso proviamo a vedere quando si manifesta instabilità in una struttura piramidale con rinforzo a pannelli. Inseriamo sulle facce dei pannelli (si consiglia di effettuare un offset di questi in maniera da non posizionarli a cavallo delle travi, ma, come dovrebbe essere nella realtà, all' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Non linearità di un sistema==== | ||
+ | |||
+ | Le fonti di non linearità: | ||
+ | |||
+ | * definiscono il limite del solutore (se lineare) | ||
+ | * non possono essere inserite in analisi modali o in frequenza | ||
+ | * si manifestano per grandi rotazioni (cioè quando senϑ ≠ ϑ e cosϑ ≠ 1) e per grandi deformazioni (ad esempio in prove di trazione quando la sezione iniziale non è rappresentativa della sezione istantanea, cioè quando εx ≠ du/dx) | ||
+ | |||
+ | Esistono tre tipi di non linearità: | ||
+ | |||
+ | - //non linearità geometrica//: | ||
+ | - //non linearità di materiale//: | ||
+ | - //fenomeni di contatto monolatero//: | ||
+ | {{ : | ||
+ | <figure etichetta> | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ====Autori==== | ||
+ | Michele De Luca Matr. 104899 | ||
+ | |||
+ | Matteo Notarianni Matr. 99717 | ||
+ | |||
+ | Francesco Davide Di Lorenzo Matr.106218 | ||
+ | |||
+ | Leonardo Mastromauro 105214 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Tabella di monitoraggio carico orario==== | ||
+ | Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina. | ||
+ | |||
+ | ^ Autore/ | ||
+ | | De Luca | 4 | --- | --- | --- | --- | | ||
+ | | Notarianni | ||
+ | | Di Lorenzo | ||
+ | | Mastromauro | ||
+ | | Revisore 1 | ||
+ | | Revisore 2 | ||
+ | | Revisore 3 | ||
+ | | Revisore 4 | ||
+ | | **Totale** | ||
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+ | ===== Materiale caricato dal Docente ===== | ||
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+ | ====== Analisi instabilità in strutture discretizzate ====== | ||
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