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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== Analisi di risposta per sovrapposizione modale======
+Abbiamo visto che l'analisi di risposta in frequenza di un telaio è abbastanza onerosa, mentre l'estrazione dei modi propri è un'analisi abbastanza rapida a livello di elementi finiti; sarebbe dunque utile se fosse possibile realizzare sulla base dei modi propri la riposta in frequenza, ed è quello che vedremo ora.\\
+Supponiamo di aver estratto modi e frequenze proprie, perciò per l' i-esimo modo di vibrare abbiamo la pulsazione naturale
+$$
+\omega_i=2 \pi f_i
+$$
+ed i modi propri  $\hat{x_i}$  normalizzati a massa unitaria.\\
+Per esempio nel caso della lamella il primo modo era quello flessionale, ed ogni nodo si spostava in direzione normale alla lamella senza spostamenti entro piano; il vettore  $\hat{x_i}$  è composto dagli spostamenti nodali  $u, v, w, \theta_x, \theta_y, \theta_z$  di ogni nodo che costituisce la lamella, con unici valori non nulli  $w$  e  $\theta_y$ .\\
+Prendiamo due autovettori distinti  $\hat{x_i}$  ed  $\hat{x_j}$ , e per essi esistono delle relazioni di ortogonalità:
+$$
+{\hat{x_j}}^T M \hat{x_i} = \delta_{ji} \\
+{\hat{x_j}}^T K \hat{x_i} = \delta_{ji} {\omega_i}^2
+$$
+dove  $\delta_{ji}$  vale  $1$  se  $i=j$  e  $0$  se  $i\ne j$ .\\
+L'analisi modale mi dà un numero finito di modi e frequenze proprie, e per esempio possiamo andare ad estrarre i primi  $10$  modi propri: in questo modo si ottiene un sottoinsieme di modi propri che va da  $1$  a  $m$  con  $m<n$  (se vado ad estrarre i primi  $10$  modi propri ho che  $m=10$ ). Possiamo prendere questi autovettori e costruire una matrice in modo che le colonne corrispondano agli  $m$  vettori associati ai modi propri:
+$$
+\begin{bmatrix} \mid & \mid & \cdots & \mid \\
+                \hat{x_1} & \hat{x_2} & \cdots & \hat{x_m}\\
+                \mid & \mid & \cdots & \mid
+\end{bmatrix}
+$$
+Essa ovviamente non è una matrice quadrata in quanto presenta  $m$  colonne ed  $n$  righe; se prendessi tutti gli  $n$  gradi di libertà, ottengo  $n$  vettori e combinandoli riesco ad ottenere qualsiasi stato deformativo della struttura: essendo  $m<n$ , combinando i vettori ottengo un sottoinsieme delle possibili deformazioni del sistema, perciò posso escludere le possibilità di deformazione che non ritengo idonee per la mia struttura nell'analisi.\\
+A questo punto scrivo uno spostamento ipotetico definito come combinazione lineare secondo i singoli modi propri, dove i vari  $\xi$  sono coefficienti che scalano linearmente il singolo modo proprio nella combinazione:
+$$
+\bar{x}=\hat{x_1} \xi_1 + \hat{x_2} \xi_2 + \cdots + \hat{x_m} \xi_m = \hat{X} \bar{\xi}
+$$
+Il vettore  $\bar{x}$  così trovato lo vado a sostituire nell'equazione della risposta in frequenza:
+$$
+(-\omega^2 M + j\omega C + K)\bar{x} = \bar{f}
+$$
+che quindi diventa:
+$$
+(-\omega^2 M + j\omega C + K)\hat{X} \bar{\xi} = \bar{f}
+$$
+Dunque ho un sistema di  $n$  equazioni in  $m$  incognite, perciò non riuscirò in generale ad annulare il residuo che sarà pari a :
+$$
+(-\omega^2 M + j\omega C + K)\hat{X} \bar{\xi}- \bar{f}=0
+$$
+Ciò che è possibile fare è annullare la proiezione sulle combinazioni lineari delle colonne della matrice  $\hat{X}$ : se per esempio  $n=3$  ed  $m=2$ , con gli autovalori definisco un piano nello spazio tridimensionale, ed il residuo è un punto in questo spazio; non riuscirò mai a portarlo nell'origine, ma combinando gli autovalori posso proiettare il residuo sul piano, e portare nell'origine la proiezione del residuo entro piano.
+Per proiettare un vettore in un sottospazio devo eseguire il prodotto scalare:
+$$
+{\hat{x}_1}^T \cdot [(-\omega^2 M + j\omega C + K)\hat{X} \bar{\xi}- \bar{f}]=0\\
+\vdots \\
+{{\hat{x}}_j}^T \cdot [(-\omega^2 M + j\omega C + K)\hat{X} \bar{\xi}- \bar{f}]=0\\
+\vdots \\
+{{\hat{x}}_m}^T \cdot [(-\omega^2 M + j\omega C + K)\hat{X} \bar{\xi}- \bar{f}]=0
+$$
+In questo modo ottengo  $m$  equazioni in  $m$  incognite, ed il sistema torna ad essere risolubile; in forma compatta posso scrivere:
+$$
+{\hat{X}}^T \cdot [(-\omega^2 M + j\omega C + K)\hat{X} \bar{\xi}- \bar{f}]=0
+$$
+La matrice di smorzamento non ha nessuna proprietà particolare relativamente agli autovettori, e questo è un grande problema perchè non si può andare avanti nella trattazione; per questo motivo diciamo che la matrice di smorzamento non è generica, ma ipotizzo che essa sia combinazione lineare della matrice massa e della matrice rigidezza:
+$$
+C = \alpha M + \beta K
+$$
+In generale invece sappiamo solo che per un sistema ad  $n$  gdl essa deve essere simmetrica e quindi è definita da  ${n^2}/2$  elementi, mentre in questo caso essa è definita solo da due parametri  $\alpha$  e  $\beta$ .\\
+In questo modo nella formula rimangono solamente le matrici massa e rigidezza, e risulta che:
+$$
+{\hat{X}}^T M \hat{X} = I \\
+{\hat{X}}^T K \hat{X} = \Lambda
+$$
+dove  $\Lambda = diag({\omega_i}^2)$  è una matrice diagonale contenente la successione delle  $m$  pulsazioni proprie.
+Quindi il sistema di equazioni diventa:
+$$
+(-\omega^2 I+ j\omega (\alpha I + \beta \Lambda) + \Lambda)\bar{\xi} =\bar{q}
+$$
+dove  $\bar{q} = {\hat{X}}^T \bar{f}$ ., e le sue componenti sono  $q_i={\bar{x}_i}^T f_i$  con  $i=1,...,m$ .
+A questo punto mi accorgo che tutte le matrici che moltiplicano le incognite sono diagonali, perciò la matrice di sistema sarà diagonale e quindi le equazioni sono disaccoppiate, ovvero le  $m$  equazioni sono indipendenti ed hanno la seguente forma:
+$$
+(-\omega^2 + j\alpha \omega + j\beta \omega {\omega_i}^2 +  {\omega_i}^2)\bar{\xi} =\bar{q_i} \\   i=1,...,m
+$$
+e da questa equazione trovo \bar{\xi}.\\
+Questa è equivalente all'equazione algebrica associata ad un oscillatore ad un grado di liberta con incognita di spostamento  $\bar{\xi}$ ,  $m=1$ ,  $k={\omega_i}^2$  e  $c=2 \omega_i \zeta_i$ .\\
+Quindi ottengo un'equazione di un oscillatore equivalente per ogni modo proprio, e la  $\xi_i$  mi dice quanto il modo proprio deve essere modulato per ottenere la soluzione; quindi il sistema iniziale corrisponde ad un sistema ad  $m$  gradi di libertà, poi lo disaccoppio ottenendo  $m$  oscillatori ad  $1$  gdl ed ottengo l'equazione scritta sopra.\\
+Le formule per trovare  $\xi_i$  sono : \\
+{{ :wikitelaio2016:piotta.jpg?nolink |}} \\
+Dunque estraggo i modi propri, poi mi assicuro che essi siano stati normalizzati dal software a massa modale unitaria, poi calcolo i prodotti scalari tra i modi propri e la forzante, dopodichè noti per ogni modo proprio i  $q_i$  posso trovare  $\xi_i$  tramite le formule viste sopra, per sapere di quanto il modo proprio deve essere modulato.\\
+L'inertanza dinamica del telaietto visto nelle scorse lezioni poteva essere calcolata estraendo i modi propri, estraendo poi il prodotto tra la forza esterna unitaria e lo spostamento del centro ruota per trovare  $q_i$ , con i quali poi posso ricavare  $\xi_i$  e quindi trovare la risposta.\\
+\\
+\\
+Per quanto riguarda l'ipotesi fatta sulla matrice di smorzamento, bisogna fare qualche precisazione sulla validità del risultato;
+la matrice delle masse e la matrice delle rigidezze sono matrici sparse, mentre se ho una struttura che ha solo uno smorzatore
+tra due gradi di libertà la matrice di smorzamento è ben diversa. \\
+Considero uno smorzatore con coefficiente di smorzamento  $c$  che collega il nodo  $135$  con il nodo  $182$ ; gli spostamenti
+di questi nodi sono corrispondenti a dati valori del vettore delle incognite, per esempio:
+$$
+U_{182} = \delta_{803}
+U_{135} = \delta_{512}
+$$
+La matrice di smorzamento è tutta nulla tranne in quattro elementi, che si trovano incrociando la righe 512 e 803 con le colonne 512 e 803:
+$$
+\begin{vmatrix} c & -c \\
+            -c & c
+\end{vmatrix}
+$$
+Risulta impossibile ottenere tale matrice come combinazione lineare tra le matrici sparse di masse e rigidezze.\\
+Dunque quando la struttura ha elementi smorzanti concentrati, questa procedura è assolutamente poco indicata e
+bisognerà utilizzare la risposta in frequenza normale.\\
+Nel caso invece in cui lo smorzamento sia strutturale, esso è definito proporzionale alla matrice di rigidezza e quindi
+è possibile definire la matrice di smorzamento in forma di Rayleigh.\\
+\\
+A cosa serve inserire lo smorzamento? \\
+Serve ad esempio a fornire dei valori limitati di risposta in corrispondenza dei picchi di risonanza.\\
+Sappiamo che "r" è definito come rapporto tra la pulsazione della forzante e la pulsazione propria dell'i-esimo modo proprio : \\
+ $r = \frac{\omega}{\omega_i}$  \\
+Quando sono sulla risonanza dell'i-esimo modo proprio si ha  $r=1$ . Di conseguenza  $a_i = 0$  e  $b_i$  è non nullo solo se c'è uno smorzamento. \\
+Se ci mettiamo nel caso di risonanza e assenza di smorzamento sia  $a_i$  che  $b_i$  sono nulli e pertanto si perviene alla condizione per cui  $\left | \overline{\xi} \right | = \infty$  , a fronte di un numeratore finito (salvo il caso particolare in cui  $q_i = 0$ , ossia forzante e modo proprio siano perfettamente ortogonali). \\
+Quindi l'unico modo per avere risposte finite in corrispondenza di una risonanza eccitata è avere uno smorzamento. \\
+\\
+Quanto vale lo smorzamento?\\
+Lo smorzamento strutturale, ovvero quello proprio dei materiali, i quali non essendo perfettamente elastici dissipano un po' di energia al loro interno, è molto basso, anche in riferimento allo smorzamento che si misura sulla struttura. Pertanto introducendo solo lo smorzamento strutturale si commetterebbe un errore andando a sovrastimare le risposte in risonanza. \\
+Altre fonti di dissipazione di energia e quindi di smorzamento, sono date ad esempio dallo schiacciamento fisico dei film d'olio ai cuscinetti di supporto di un albero motore: l'effetto pompante durante la vibrazione (l'albero vibra a flessione e a torsione) dissipa energia.\\
+Nel caso di un telaio gli elementi smorzanti sono: tutti i giunti incollati (la colla è un materiale polimerico, per cui smorza di più dell'acciaio), tutti i giunti rivettati (fenomeni di microslittamento per attrito, non lineari, che dissipano energia) e tutti i giunti bullonati. Inoltre, per attenuare il rumore, gran parte dei pannelli del telaio sono ricoperti di materiale dissipante (di solito schiume). \\
+\\
+Quindi cosa usare come damping ratio di riferimento? \\
+Possiamo far riferimento ai seguenti articoli, che si riferiscono perlopiù a casi civili:
+[[https://engineering.purdue.edu/~ce573/Documents/Structural%20damping%20values_JDStevenson.pdf]]
+[[http://iopscience.iop.org/1742-6596/268/1/012022/pdf/1742-6596_268_1_012022.pdf]]
+[[http://teaching.ust.hk/~mech300/mech300_7_1_damping_ref.pdf]]
+[[http://www.vibrationdata.com/tutorials/bolted_joint_damping.pdf]]\\
+\\
+====== Approfondimenti sul problema dell'instabilità : Linearized Pre-Buckling Analysis======
+Abbiamo visto la procedura che prevede due livelli di carico : un livello  $0$  e un livello  $1$ , o meglio due stati di equilibrio  $0$  e  $1$ . {{ :wikitelaio2016:img_0086.jpg?nolink |}}\\
+In questi stati di equilibrio si considerano le matrici di rigidezza tangenti  $\underline{\underline{K}}$ , ossia quelle matrici che legano la variazione dello spostamento  $\Delta\delta$  alla variazione della forza  $\Delta{F}$  nell'intorno della condizione di equilibrio:
+ $\underline{\underline{K_1}}  \underline{\Delta\delta} = \underline{\Delta{F}}$  \\
+dove il pedice  $1$  si riferisce all'intorno della configurazione 1.\\
+Dato quindi uno spostamento  $\underline\delta_1$  proprio della configurazione di equilibrio, che è in equilibrio con un carico  $\underline{F_1}$ , cosa succede quando vario il carico da  $\underline{F_1}$  a  $\underline{F_1} + \underline{\Delta{F_1}}$  ? \\
+\\
+ $\underline\delta_1$  non sarà più in equilibrio col carico variato, ma dovrà assestarsi in modo da ottenere una configurazione variata in spostamento a fronte di una perturbazione del carico.\\
+La matrice di rigidezza tangente lega la variazione di spostamento alla variazione di carico, e quando essa è singolare è possibile avere una variazione di spostamento non nulla a fronte di una variazione di carico nulla:
+ $\underline{\underline{K}}  \underline{\Delta\delta} = 0$
+con  $\underline{\Delta\delta} \ne 0   \Leftrightarrow det\underline{\underline{K}} = 0$
+Nei software la condizione di equilibrio  $0$  è quella scarica ( $0$  coincide con l'origine degli assi del diagramma  $F-\delta$ ) e come condizione di equilibrio  $1$  si prende quella sotto carico di riferimento.\\
+Per passare da stato  $0$  a stato  $1$  Marc fa un'evoluzione lineare elastica da stato  $0$  a stato  $1$  per poi ricalcolare la matrice di rigidezza, la quale può essere diversa tra stato  $0$  e stato  $1$ . {{ :wikitelaio2016:img_0087.jpg?nolink |}} \\
+Si avrà quindi una matrice  $\underline{\underline{K_0}}$  nell'intorno dello scarico e una matrice  $\underline{\underline{K_1}}$  nell'intorno del caricato. In realtà il passaggio non è esattamente lineare elastico : vediamo come si svolge. \\
+ $\underline{\underline{K_0}}$  la prendo da struttura indeformata scarica (come prima) , mentre  $\underline{\underline{K_1}}$  è definito diversamente:
+ $\underline{\underline{K_1}} = \underline{\underline{K_0}} + \underline{\underline{K_G}}$
+dove  $\underline{\underline{K_G}}$  è detta "matrice geometrica" ed è stimata come  $\underline{\underline{K_1}} - \underline{\underline{K_0}}$  scalata del fattore  $\lambda$ . \\
+\\
+Come stimare  $\underline{\underline{K_G}}$ ? \\
+Si suppone di avere una struttura discretizzata in configurazione indeformata pre-caricata :
+{{ :wikitelaio2016:img_0088.jpg?nolink |}}
+Lo stato di pre-carico è sforzo normale per una trave, se invece avessi una piastra o un solido avrei uno stato tensionale di pre-carico per ogni punto della struttura del tipo :
+ $￼\begin{bmatrix} \sigma_x^0 \\ \sigma_y^0 \\ \sigma_z^0 \\ \tau_{xy}^0 \\ \tau_{xz}^0 \\ \tau_{yz}^0 \\ \end{bmatrix}￼$
+Quindi dato un sistema di carichi e vincoli (di cui alcuni potenzialmente non omogenei) carico la struttura per spostamento imposto, calcolo lo stato di pre-carico con un pre-calcolo lineare elastico e ottengo così uno stato tensionale  $\underline{\sigma_0}$ . Nel caso di un elemento "puntone" (o per trave alla Eulero) si riduce ad uno sforzo normale del tipo  $N_0 = \sigma_0 A$ . \\
+Noto il pre-carico, devo calcolare la matrice di rigidezza geometrica  $\underline{\underline{K_G}}$  associata a tale condizione di pre-carico. Come fare?\\
+Calcolo il lavoro compiuto dal pre-carico quando deformo la struttura :
+{{ :wikitelaio2016:img_0089.jpg?nolink |}}
+Una volta calcolato il lavoro è possibile passare ad una matrice i cui termini sono tutti proporzionali al pre-carico (perché si considera il pre-carico costante mentre la struttura si deforma, commettendo tuttavia un'approssimazione) e quindi ai carichi applicati. \\
+Nota  $\underline{\underline{K_G}}$  applico la procedura di estrazione della condizione di criticità annullando il determinante della matrice.
+Tuttavia il metodo non risulta sempre valido. Vediamo qualche esempio:
+{{ :wikitelaio2016:img_0090.jpg?nolink |}}
+Noto che i modi di instabilità per la trave alla Eulero sono spostamenti trasversali al carico applicato, mentre negli altri due casi il modo di instabilità è dato da un abbassamento, ovvero è parallelo al carico applicato. In effetti se voglio che il metodo sia applicabile deve risultare che il prodotto scalare tra il vettore delle forze applicate  $\underline{f}$  e l'autovettore associato al modo di instabilità  $\hat{x_1}$  sia circa nullo:
+ $< \underline{f} , \hat{x_1} > \simeq 0$
+In particolare nel caso della trave alla Eulero si potrebbe dire :
+ $< \underline{f} , \hat{x_1} > = 0$
+in quanto il carico è perfettamente ortogonale al modo di instabilità.
+Ulteriori condizioni da rispettare affinché il metodo sia valido sono : \\
+- vincoli da rispettare \\
+- sistema di carico deve conservativo e statico \\
+- perdita di instabilità su una biforcazione simmetrica (tanto può cedere verso destra tanto verso sinistra) \\
+- deformazione pre-instabilità piccole \\
+- materiale elastico \\
+- effetto delle imperfezioni trascurabile \\
+\\
+====Tabella di monitoraggio carico orario====
+<hidden>
+Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina.
+^ Autore/Revisore       ^  Prima stesura  ^  Prima revisione  ^  Seconda stesura  ^ Revisione finale  ^  Totale  ^
+| Alessandro Franchini  |  3              |  ---              |  ---              |  ---              |          |
+| Baraldi Manuel        |  3              |  ---              |  ---              |  ---              |          |
+| Sanfilippo Andrea     |  5              |  ---              |  ---              |  ---              |  **5**   |
+| Sparacino Simone      |  5              |  ---              |  ---              |  ---              |  **5**   |
+| Revisore 1            |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |
+| Revisore 2            |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |
+| Revisore 3            |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |
+| Revisore 4            |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |
+| **Totale**            |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |