Differenze

Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.

--- wikitelaio2016:maxima_maglia_triangolare [2016/03/22 21:39] – 217065
+++ wikitelaio2016:maxima_maglia_triangolare [2016/03/26 15:31] (versione attuale) – 217065
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== Maglia Triangolare ======
+La maglia triangolare è l’elemento base di molti telai ed è una struttura costituita da 3 tratti di trave collegati in diverse maniere, generalmente tramite giunzioni saldate.
+La struttura reticolare viene calcolata supponendo le giunzioni come delle cerniere che non trasmettono momento flettente (supposizione fatta anche nella realtà).
+Una struttura è completamente triangolata se, sostituendo ai 3 vertici saldati delle cerniere, non ha moti cinematici interni, in altri termini la struttura resta isostatica e non diventa labile.
+<figure sostituzione>
+{{:wikitelaio2016:lez2a_sostituzione.jpg?700 |}}
+<caption> Esempio di sostituzione di saldature con cerniere </caption>
+</figure>
+Un esempio di maglia non completamente triangolata è la maglia quadrata.
+<figure maglia_quadrata>
+{{:wikitelaio2016:lez2a_maglia_quadrata.png?200 |}}
+<caption> Maglia quadrata </caption>
+</figure>
+Di seguito sarà analizzata una struttura triangolata sottoposta ad un generico carico P e si verificherà l'incidenza del momento flettente se questo non viene trascurato.
+Si consideri una struttura triangolata tre volte iperstatica.
+Si sostituiscono utilizzando delle cerniere gli incastri interni dei nodi e si aggiungono in ogni nodo delle coppie che tendono ad ampliare gli angoli della struttura: in tal modo risulta una struttura staticamente determinata con le tre coppie $Ca$, $Cb$ e $Co$ (Fig.3)
+<figure coppie>
+{{:wikitelaio2016:lez2a_coppie_2_.png?200 |}}
+<caption> Coppie di reazione iperstatica interna </caption>
+</figure>
+Adesso bisogna analizzare le reazioni che vengono a crearsi sulla struttura triangolare, sia sui nodi che sulle aste, quando agisce un generico carico $P$.
+<figure coppie>
+{{:wikitelaio2016:lez2a_maglia_triangolare_1.png?200 |}}
+<caption></caption>
+</figure>
+Si analizzi innanzitutto il carico $P$.
+Si osserva che i diagrammi di momento flettente e taglio sono nulli, per cui è d’uopo tracciare solo il diagramma dello sforzo normale.
+<figure coppie>
+{{:wikitelaio2016:lez2a_diagrammip.png?700|}}
+<caption> Diagrammi delle sollecitazioni dovute alla forza P </caption>
+</figure>
+Si consideri la coppia $C_B$:
+tale coppia esterna deve essere equilibrata da un’ altra coppia di uguale modulo e sullo stesso tratto di trave.
+<figure coppie>
+{{:wikitelaio2016:lez2a_diagrammicb.png?700|}}
+</figure>
+Si consideri, successivamente, la coppia $C_A$:
+<figure coppie>
+{{:wikitelaio2016:lez2a_diagrammica.png?700|}}
+</figure>
+Ed infine, si consideri la coppia $C_O$:
+<figure coppie>
+{{:wikitelaio2016:lez2a_diagrammico.png?700|}}
+</figure>
+Per i diagrammi del momento flettente della tre coppie si sono fissate delle ascisse curvilinee, una per ogni tratto.
+Si imposta suddetta maglia triangolare sul calcolatore **wxMaxima** tramite il codice seguente.
+Pulisco la memoria
+<code>
+-->  kill(all);
+</code>
+ Definisco positive le quantità note tali:
+<code>
+-->  assume (a>0, b>0, l>0);
+</code>
+ Definisco grandezze ausiliarie (lunghezze dei tratti):
+<code>
+-->  l : sqrt( a^2 + b^2);
+-->  l_OA : a;
+     l_OB : b;
+     l_AB : l;
+</code>
+Definisco funzioni di forma associate al primo e al secondo nodo di ogni trave:\\
+xi = s/l con s ascisssa curvilinea e l lunghezza di trave\\
+xi = 0 è un posizionamento sul primo nodo\\
+xi = 1 è un posizionamento sul secondo nodo\\
+f(s/l) = f(xi) = f1 * N1(xi) + f2 * N2(xi) è una generica interpolazione lineare
+<code>
+-->  N1 : 1 - xi;
+-->  N2 : xi ;
+</code>
+Definisco le caratteristiche di sollecitazione sulle travi:\\
+N = sforzo normale;\\
+Mf = momento flettente positivo se fibre tese esterne alla maglia, andamenti non costanti funzioni dell' ascissa curvilinea adimensionalizzata xi;\\
+T = taglio
+<code>
+Contributi di:|------P------|----------CB----------|--------CA--------|----------CO-----------|
+-->  N_OA :                P                  +CB/b                 +0              -CO/b    $
+-->  N_OB :            P*b/a                     +0              +CA/a              -CO/a    $
+-->  N_AB :           -P*l/a              -CB*a/l/b          -CA*b/a/l          +CO*l/a/b    $
+-->  Mf_OA :               0                     +0        +0*N1+CA*N2        +CO*N1+0*N2    $
+-->  Mf_OB :               0            +0*N1+CB*N2                 +0        +CO*N1+0*N2    $
+-->  Mf_AB :               0            +0*N1+CB*N2        +CA*N1+0*N2                 +0    $
+-->  T_OA :                0                     +0              -CA/a              +CO/a    $
+-->  T_OB :                0                  +CB/b                 +0              -CO/b    $
+-->  T_AB :                0                  -CB/l              +CA/l                 +0    $
+</code>
+I momenti flettenti sono assunti positivi se le fibre tese sono esterne alla maglia.\\
+Definiamo l' energia potenziale elastica.\\
+Sezioni circolari (eta è un parametro correttivo, A è l' area , J è il momento di inerzia):
+<code>
+-->  sezione : [eta = 1.11 , A = %pi*d^2/4 , J = %pi*d^4/64 ];
+-->  materiale : [ G = E/2/(1 +nu) ];
+</code>
+Calcolo energia potenziale elastica:
+<code>
+-->  U :
+integrate(
+    (       N_OA^2/2/E/A
+      +    Mf_OA^2/2/E/J
+      + eta*T_OA^2/2/G/A
+    ) *     l_OA
+ , xi
+ , 0
+ , 1
+   )
+ +
+integrate(
+    (       N_OB^2/2/E/A
+      +    Mf_OB^2/2/E/J
+      + eta*T_OB^2/2/G/A
+    ) *     l_OB
+ , xi
+ , 0
+ , 1
+   )
+ +
+integrate(
+    (       N_AB^2/2/E/A
+      +    Mf_AB^2/2/E/J
+      + eta*T_AB^2/2/G/A
+    ) *     l_AB
+ , xi
+ , 0
+ , 1
+   )
+ ;
+-->   U : expand(U);
+</code>
+Devo ricavare le tre reazioni incognite CA, CO e CB.
+Teorema di Castigliano:\\
+diff( U , CA ) = rotazione su cui CA compie lavoro, l' angolo di apertura della cerniera in A come variazione rispetto all'indeformata.\\
+Tale rotazione deve essere nulla per coerenza con il vincolo interno originario (continuità, rotazioni e traslazioni al nodo).
+Imposto un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite sopradefinite:
+<code>
+-->  sol_iper : linsolve(
+[
+  diff(U,CA) = 0,
+  diff(U,CB) = 0,
+  diff(U,CO) = 0
+]
+,
+[CA, CB, CO]
+) $
+</code>
+Soluzione del problema con cerniere (sistema isostatico):
+<code>
+-->  sol_iso : [ CA=0, CB=0, CO=0 ];
+</code>
+Espressione energia potenziale elastica con cerniere:
+<code>
+-->  U_iso : ev( U, sol_iso, infeval);
+</code>
+Espressione energia potenziale elastica con incastri interni (sistema iperstatico):
+<code>
+-->  U_ipe : ev (U, sol_iper, infeval);
+</code>
+Ricavo cedimento maglia triangolare, iso e iperstatico:
+<code>
+-->  delta_iso : diff ( U_iso, P);
+-->  delta_ipe : diff ( U_ipe, P);
+</code>
+Definisco il rapporto tra le rigidezze dei due casi:
+ratio = rigidezza_iso / rigidezza_iper , <1
+<code>
+-->  ratio : delta_ipe / delta_iso;
+</code>
+Poiché le espressioni risultano essere troppo lunghe per essere visualizzate, tento la valutazione di un caso specifico, assegnando i seguenti valori:
+<code>
+-->  myratio : ev( ratio,
+              b = a * 1 ,
+              sezione ,
+              materiale ,
+              nu=3/10 ,
+              d = a * zeta,
+              infeval
+             ) ;
+</code>
+Definisco:\\
+zeta = d/a     (d = diametro)\\
+trave sottile se zeta <<1\\
+trave tozza se zeta prossimo a 1
+<code>
+-->  ev(myratio, zeta = 1/10, numer, infeval);
+</code>
+A questo punto viene costruito un grafico rappresentante l'andamento di "myratio" al variare del rapporto "zeta":
+<code>
+-->  wxplot2d (
+          [ myratio ],
+          [ zeta, 0.001, 1],
+          [legend, "myratio"]
+         );
+</code>
+{{ :wikitelaio2016:lez2a_myratio.png?400|}}
+Com'è possibile notare dal grafico, per rapporti zeta prossimi a zero il rapporto tra le rigidezze è molto vicino ad 1. Questo significa che per travi molto snelle è possibile trascurare l'azione del momento flettente senza compiere errori considerevoli.
+===== File utili =====
+Diagrammi Mf, T, N da {{:wikitelaio2016:lucidi_pt_20160309.pdf|lucidi}}
+File maxima a pausa intermedia {{:wikitelaio2016:maglia_triangolare_v000.wxm| qui }}
+File maxima a fine lezione {{:wikitelaio2016:maglia_triangolare_v001.wxm| qui}}
+File marc di verifica, a=100mm, b=50mm, d=20mm, E=1000MPa, nu=0.3, P=1000N {{:wikitelaio2016:verifica_maglia_triangolare.mud| qui}}
+File maxima con verifica {{:wikitelaio2016:maglia_triangolare_v002.wxm| qui}}
+===== Autori, note e ringraziamenti =====
+====Autori====
+Vincenzo Iasevoli mat. 104048, Vincenzo Marotta mat. 105212, Simone Ceccarelli mat. 103806
+====Tabella di monitoraggio carico orario====
+<hidden>
+Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina.
+^ Autore/Revisore  ^  Prima stesura  ^  Prima revisione  ^  Seconda stesura  ^ Revisione finale  ^  Totale  ^
+| Ceccarelli       |  2              |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |
+| Iasevoli         |  2              |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |
+| Marotta          |  2              |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |
+| Revisore 1       |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |
+| Revisore 2       |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |
+| Revisore 3       |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |
+| Revisore 4       |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |
+| **Totale**       |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---     |
+La sezione relativa ai revisori è da compilarsi a cura del curatore.
+</hidden>
+==== Note di revisione ====
+<hidden>
+**Note di prima revisione**
+blabla
+**Risposta degli autori**
+blabla
+**Revisione finale**
+blabla
+**Nota del curatore**
+blabla
+</hidden>
+===== PATTUME =====