Il foro viene dichiarato molto piccolo nel testo, per cui si ritengono ammissibili soluzioni basate sulle ipotesi semplificative

• foro piccolo rispetto alla larghezza di lastra,$ \frac{d}{w}\ll 1 $;
• foro piccolo rispetto allo spessore $ \frac{d}{h}\ll 1 $;
• foro piccolo in assoluto $ d \ll 1 $ (ovvero rispetto alla scala dimensionale intrinseca del materiale),

così come sono state ritenute corrette le soluzioni

Le tensioni nominali da utilizzarsi per il calcolo delle teoriche a bordo foro valgono:

• casi a e c: $\sigma_\mathrm{n} = \sigma \frac{w}{w-d} \approx \sigma$
• caso b, per il calcolo a bordo foro: $\sigma_\mathrm{n} = \frac{\sigma \frac{w^2 h}{6}}{\left( \frac{w^3 h}{12} - \frac{d^3 h}{12} \right) \frac{2}{d} } \approx \sigma \frac{d}{w} \approx 0$ per l'andamento a farfalla lineare delle tensioni flessionali, cfr. Eg. (5.1.4) p. 318.

I fattori di forma valgono

• caso a: $\alpha_\mathrm{k}\approx 2+\left(1-\frac{d}{w}\right)^3 \approx 3$
• caso b: $\alpha_\mathrm{k}=2$, cfr. Eq. (5.1.5) p. 318;
• caso c: considerando il foro molto piccolo anche rispetto allo spessore, $\alpha_\mathrm{k}=2.7$ da grafico o Eq. (5.1.8), oppure – opzione più consigliabile – $\alpha_\mathrm{k}=2.4976$ sempre da Eq. (5.1.8) sostituendo $d$=1mm e $h$=4mm.

Il fattore di sensibilità all'intaglio vale $\eta_\mathrm{k}=0.4960$ dalla terza delle Eqs. (4.2.2) p. 306; è stata ritenuta formalmente corretta (quantunque discutibile nelle applicazioni pratiche) anche la valutazione $\eta_\mathrm{k}=0$ in virtù dell'interpretazione “foro molto piccolo in assoluto”.

Le tensioni effettive sono infine da valutarsi come:

• casi a e c: $\sigma_\mathrm{eff}=\sigma_\mathrm{n} \left(1+\eta_\mathrm{k}\left(\alpha_\mathrm{k}-1\right) \right)$, con fattori $\alpha_\mathrm{k}$ e $\eta_\mathrm{k}$ definiti come sopra;
• caso b: poiché per rapporti $\frac{d}{w}<\frac{1}{2}$ la tensione effettiva massima ricade a bordo piastra, e non a bordo foro (cfr. commento a Fig 5.1.4 p. 318), si ha $\sigma_\mathrm{eff}=\sigma_\mathrm{n,B}=\sigma$

Il momento resistente $M_\mathrm{R}$ applicato in estremità d'albero costituisce sollecitazione di momento torcente per l'intero albero, e momento di riferimento per il dimensionamento della trasmissione a cinghia.

In particolare la differenza di tiro tra i rami della cinghia è da valutarsi come $$T_1-T_2=\frac{M_\mathrm{R}}{\frac{D_2}{2}};$$ il precarico della cinghia viene quindi valutato come da indicazione del testo in $$ F = T_1+T_2 = 4.5 \cdot \frac{2 M_\mathrm{R}}{D_2} $$

Il momento flettente massimo si ha in corrispondenza del supporto superiore e vale $M_f=F \cdot a$; le tensioni flessionali risultano quindi $$\sigma_f=\frac{F a}{\frac{\pi d^3}{32}}$$ con ciclo all'inversione.

Tali tensioni sono modulate all'inversione – il carico $F$, fisso rispetto a terra, risulta rotante per l'albero – e l'associata tensione critica è il limite di fatica all'inversione, che per dal diagramma di Goodman del C40 a p. 250 risulta essere 280 MPa.

L'indicazione del testo “considerando un'esplosione a ventaglio del ciclo di fatica” formalizza la consuetudine di rifersirsi alla tensione critica all'inversione per componenti di tensione modulate all'inversione (k=0), alla tensione critica all'origine per tensioni all'origine (k=0.5), e alla tensione critica statica per tensioni statiche (k=1).

Il valore massimo del taglio, pari a $F$, si osserva sul tratto lungo $a$ che va dalla puleggia al primo supporto, e – nello schema a supporti concentrati – interessa anche la sezione in cui il momento flettente è massimo. L'associato valore tensionale è $$\tau_T=\frac{4}{3}\frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}}$$ ed è da confrontarsi con la il valore di tensione critica tagliante all'inversione, valutata in 160 MPa dal Goodman del momento torcente proprio del C40.

Il momento torcente $M_\mathrm{R}$ induce sull'intero albero una tensione tagliante da momento torcente pari a $$\tau_{M_t}=\frac{M_\mathrm{R}}{\frac{\pi d^3}{16}},$$ da confrontarsi con la controparte critica statica – o all'origine, assumendo cicli ripetuti di accensione/spegnimento del mescolatore – pari a 220 MPa. Per il materiale C40 in oggetto, tensioni critiche all'origine e statiche coincidono.

Il coefficiente di sicurezza $n$ dell'albero, da valutarsi alla sezione posta in corrispondenza del supporto superiore, si ricava infine dalla formula (2.2.20) a p. 562. $$ \left(\frac{\sigma_f}{\sigma_{f,cr,inv}}\right)^2+\left(\frac{\tau_T}{\tau_{cr,inv}}+\frac{\tau_{M_t}}{\tau_{cr,stat}}\right)^2= \frac{1}{n^2} $$

La pressione $p_i$ di incipiente plasticizzazione si calcola a partire da Eq. (5.4) p. 673, ponendo $\Delta p = p_i$.

Tale formula è applicabile in quanto ricavata dal criterio di Tresca come indicato dal testo, e in quanto basata sull'ipotesi sempre verificata nel caso di tubo/recipiente con fondi di componente assiale di tensione di valore intermedio tra le controparti radiale e circonferenziale.

Al bordo interno le componenti radiale, circonferenziale e assiale di tensione sono ricavabili come

• $\sigma_r=-p_i$
• $\sigma_\theta=p_i\frac{r_e^2+r_i^2}{r_e^2-r_i^2}$ da Eq. (3.7) p. 666
• $\sigma_a=A^\prime=\frac{p_i r_i^2}{r_e^2-r_i^2}$ da Eq. (3.2) p. 664

Le componenti di deformazione assiale e circonferenziale al bordo interno – utili ad esempio per valutare l'aumento di volume del recipiente qualora pressurizzato – sono valutabili sulla base delle Eq. (4.1) p. 129 in

• $\epsilon_a =\frac{1}{E}\left(\sigma_a -\nu\left(\sigma_r+\sigma_\theta\right)\right)$
• $\epsilon_\theta=\frac{1}{E}\left(\sigma_\theta -\nu\left(\sigma_a+\sigma_r\right)\right)$

Lo spostamento radiale al bordo interno è valutato in $u=\epsilon_\theta r_i$ sulla base della seconda delle Eq. (2.2) p. 115.

La condizione di pari tensione globale e ovalizzante in mezzeria allo spinotto si ottiene combinando le formule (3.2.1-6), ottenendo – posto $\eta=\frac{di}{de}$

$$l=\frac{ \sqrt{3 \pi} \left( 1+\eta \right) \sqrt{1+\eta^2}}{4 \sqrt{1-\eta}} d_e=59.412\, \mathrm{mm}$$

Considerando un motore lento – e quindi uno spinotto sollecitato solo in fase di combustione, e dal solo carico associato alle pressioni dei gas – la condizione di criticità alla sezione di mezzeria si può valutare sulla base della (3.2.11) a p. 817, posto

• $n=1$,
• $\sigma_\mathrm{crit,a.a.}=\sigma_\mathrm{crit,o}$ per $k=0.5$, valutata in 850 MPa dal Goodman riportato a p. 251 per l'acciaio in oggetto
• $\sigma_o=\sigma_g$

si ottiene $$\sigma_o=\sigma_g=\frac{\sigma_\mathrm{crit,or}}{\sqrt{3}},$$ da cui $$P=\frac{8 W_g}{l}\frac{\sigma_\mathrm{crit,or}}{\sqrt{3}}=\frac{8 W_o}{r_m}\frac{\sigma_\mathrm{crit,or}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{\pi}}{3}\left(1-\eta\right)^\frac{3}{2} \sqrt{1+\eta^2} \cdot d_e^2 \sigma_\mathrm{crit,or}=127227.8\,\mathrm{N} $$

La tensione tagliante ai passaggi di portata risulta per tale carico $P$ pari a $$\tau_T=\frac{4}{3}\left(1+\frac{1}{\eta +\frac{1}{\eta}}\right)\frac{\frac{P}{2}}{\left(1-\eta^2\right)\frac{\pi d_e^2}{4}}=292.64\,\mathrm{MPa},$$ vedasi Eq. (3.2.24) p. 821.

Tale valore di tensione tagliante è piuttosto elevato, e suggerisce la possibilità – spesso rilevata in applicazioni pratiche – che la sezione dello spinotto al passaggio di portata risulti più sollecitata di quella in mezzeria.

Si valuta in funzione del carico di combustione $Q$ la tensione tagliante al passaggio di portata, ottenendo dalla Eq. (3.2.24)

$$\tau_T=\lambda_T \left(\frac{d_i}{d_e},\frac{l}{d_e}\right) \frac{Q}{d_e^2}$$

Si valuta in funzione dello stesso carico di combustione $P^{\prime\prime}$ la tensione ovalizzante, ottenendo dalle Eq. (3.2.4-6)

$$\sigma_o=\lambda_o\left(\frac{d_i}{d_e},\frac{l}{d_e}\right) \frac{Q}{d_e^2}$$

Facoltativamente, può essere valutata anche la componente di tensione indotta dall'azione dello sforzo normale, vedasi Eq. (3.2.25) e (3.2.31),

$$\sigma_N=\lambda_N \left(\frac{d_i}{d_e},\frac{l}{d_e}\right) \frac{Q}{d_e^2};$$

tale componente – in quanto normalmente piccola – potrebbe essere ignorata in un calcolo di prima approssimazione.

A questo punto, in analogia con Eq. (3.2.32) p. 822 si scrive

$$\left( \left( \frac{\lambda_o}{\sigma_\mathrm{f,crit, orig.}} \underbrace{ +\frac{\lambda_N}{\sigma_\mathrm{N,crit, orig.}} }_\mathrm{facoltativo} \right)^2 +\left( \frac{\lambda_T} {\tau_\mathrm{crit, orig.}} \right)^2\right)\left(\frac{Q}{d_e^2}\right)^2 =\frac{1}{n^2}$$

da cui si ricava, posto $n=1$, $Q$.