Es. 1
La geometria e le condizioni di caricamento dell'intaglio alla giunzione raccordata tra gambo e testa sono sostanzialmente analoghe a quelle del “cilindro con variazione di sezione” descritto al paragrafo 5.5 a p. 341; le formule di tensione nominale sono quindi riferite alla sezione circolare del gambo (la più debole tra quelle di gambo e testa).
I fattori di forma a sforzo normale $\alpha_{k,N}$ e a flessione $\alpha_{k,f}$ sono forniti nel testo.
Si calcola il fattore di sensibilità all'intaglio come da (4.2.2) p. 306, acciai da bonifica.
I fattori di effetto intaglio a sforzo normale $\beta_{k,N}$ e a flessione $\beta_{k,f}$ si derivano quindi dalla (4.4.1) p. 309.
Dal diagramma di Goodman del materiale a p. 253 si deriva un valori di snervamento a flessione $R_{s,f}$, snervamento a sforzo normale $R_{s,N}$ e tensione critica per sollecitazioni flessionali modulate all'origine $\sigma_\mathrm{crit,or}$ pari rispettivamente a 1000, 850 e ~770 MPa.
Si utilizzano valori associati alla sollecitazione flessionale in presenza di gradiente tensionale nell'intorno del punto massimamente sollecitato (condizione di inizio plasticizzazione e di caricamento affaticante), e i valori associati alla sollecitazione di sforzo normale se la distribuzione delle tensioni è uniforme (condizione di completa plasticizzazione).
Calcolata l'area resistente in $A=\frac{\pi d^2}{4}$, il carico di inizio plasticizzazione si valuta in $$F=\frac{A \cdot R_{s,f}}{\alpha_{k,N}},$$ il carico di completa plasticizzazione si valuta in $$F=A \cdot R_{s,N}$$ e il carico assiale critico per cicli all'origine si valuta in $$F=\frac{A \cdot \sigma_{crit,or}}{\beta_{k,N}}.$$
Qualora la barra sia sollecitata da un tiro assiale eccentrico $P$, allo sforzo normale $N=P$ si affianca un momento flettente $M_f=P\cdot e$; tale momento nasce come momento di trasporto associato allo scostamento della retta d'azione della forza $P$ verso la posizione baricentrica; ambo le sollecitazioni mantengono la natura affaticante all'origine propria di $P$.
Le componenti assiali di tensione indotte da sforzo normale e momento flettente si compongono addittivamente ad un punto (il più sollecitato) del raccordo, dando luogo ad una tensione effettiva cumulativa pari a $$ \sigma_\mathrm{eff}=\beta_{k,N}\frac{P}{A}+\beta_{k,f}\frac{P \cdot e}{W} $$ con $W=\frac{\pi d^3}{32}$; il coefficiente di sicurezza associato al caricamento $P$ eccentrico si valuta infine come $$ n=\frac{\sigma_\mathrm{crit,or}}{\sigma_\mathrm{eff}} $$
Essendo stato già preso in considerazione nella prima parte dell'esercizio, in questa seconda parte dell'esercizio il testo non ribadiva esplicitamente il ruolo dello sforzo normale: rimane tuttavia che la componente flessionale di tensione citata in questa seconda parte dell'esercizio si affianca (e non si sostituisce) a quella indotta dal solo sforzo normale.
Es.2
Siano $d$ il diametro del filo, $n$ il numero di spire, $R$ il raggio medio di spira, $G=\frac{E}{2\left(1+\nu\right)}$ il modulo di taglio.
Il carico di incipiente plasticizzazione si valuta eguagliando la tensione tagliante di snervamento – stimata in $\tau_\mathrm{s} = R_\mathrm{s}/2$ in assenza di diverse, specifiche indicazioni – alla tensione tagliante calcolata secondo le formule (2.3) p. 644; tale carico viene quindi scalato del coefficiente di sicurezza indicato.
La freccia $f$ della molla viene calcolata utilizzando la formula (2.7) p.646, mentre l'altezza a pacco risulta pari a $nd$.
Il passo da utilizzarsi affinché la molla vada a pacco sotto un dato carico è pari alla freccia associata al carico stesso, divisa per il numero di spire e sommata al diametro del filo, ossia $p=\frac{f}{n}+d$.
La massa della molla si valuta come prodotto del volume del filo $V = \frac{\pi d^2}{4} \cdot 2 \pi R n$ e della densità del materiale; utilizzando quote in mm, il volume risulta espresso in mm^3; per ottenere un peso in grammi, la densità deve essere espressa in g/mm^3, nello specifico $\rho=4.5\cdot 10^{-3}$ g/mm^3.
Come da discussione p. 650, l'effetto principale dell'eccentricità $e$ è quello di aumenta il braccio con cui la forza produce momento torcente da $R$ a $R+e$; poiché le tensioni scalano linearmente con tale braccio, il coefficiente di sicurezza scala di un fattore $\frac{R}{R+e}$, ossia, con $e/R=0.15$, si riduce da $1.2$ a $1.2\cdot\frac{1}{1+0.15}$. Sono stati considerati corretti anche svolgimenti che correggevano il valore del coefficiente di Wahl inserendo $R+e$ al posto di $R$, e svolgimenti che consideravano la natura lievemente inclinata di $P$, applicando correzioni trigonometriche.
Es. 3
Al bordo interno le componenti radiale, circonferenziale e assiale di tensione sono ricavabili come
- $\sigma_r=-p_i$
- $\sigma_\theta=p_i\frac{r_e^2+r_i^2}{r_e^2-r_i^2}$ da Eq. (3.7) p. 666
- $\sigma_a=A^\prime=\frac{p_i r_i^2}{r_e^2-r_i^2}$ da Eq. (3.2) p. 664
Per ricavare le componenti radiale e circonferenziale anche al bordo esterno (la componente assiale è costante lungo la parete), occorre calcolare $B^\prime$ come da Eq. (3.2) p. 664, e riferirsi alle Eq. (2.13) p. 662 con $r=r_e$.
La tensione ideale ai bordi esterno ed interno può essere quindi calcolata secondo Tresca; essendo le componenti radiale, circonferenziale e assiale associate a direzioni principali di tensione ($\tau_{r\theta}=\tau_{\theta a}=\tau_{ar}=0$), tale tensione ideale vale $\sigma_\mathrm{id}=\max\left(\left| \sigma_\theta-\sigma_r \right|,\left| \sigma_r-\sigma_a \right|,\left|\sigma_a-\sigma_\theta\right|\right)$.
La pressione $p_{i,\mathrm{orig}}$ per cicli di pressurizzazione/svuotamento ripetuti (affaticanti all'origine) si calcola a partire da Eq. (5.4) p. 673, ponendo $\Delta p = p_{i,\mathrm{orig}}$ e $\sigma_{id}=\sigma_\mathrm{crit,or}$ tensione critica all'origine (a flessione, in virtù della presenza di gradiente tensionale in direzione radiale). Tale formula è applicabile in quanto ricavata dal criterio di Tresca come indicato dal testo, in quanto basata sull'ipotesi sempre verificata nel caso di tubo/recipiente con fondi di componente assiale di tensione di valore intermedio tra le controparti radiale e circonferenziale, e in quanto tutte le componenti evolvono proporzionalmente nel tempo (fatica multiassiale proporzionale).
La pressione $p_{i,\mathrm{scoppio}}$ di scoppio (completa plasticizzazione) può essere ricavata dall'Eq. (16.13) p. 718.
I coefficienti di sicurezza rispetto alle condizioni di caricamento affaticante all'origine e di scoppio possono essere calcolati come rapporto tra la pressione critica di riferimento ($p_{i,\mathrm{orig}}$ o $p_{i,\mathrm{scoppio}}$) a numeratore, e la pressione $p_i$ effettivamente applicata a denominatore.
Es. 4
La verifica dello spinotto è trattata nel par. 3.2 p. 808 sgg; il testo dell'esercizio si concentra sul calcolo delle tensioni da sforzo normale e da momento ovalizzante.
Momento ovalizzante e sforzo normale e si calcolano “secondo le usuali formule”1) come da Eq. (3.2.4) e (3.2.9), rispettivamente.
Si richiede di valutare tali tensioni dapprima “secondo la consueta teoria della trave a curvatura trascurabile”, quindi secondo le formule (3.2.5) e (3.2.6) per le tensioni da momento ovalizzante (con segno coerente con la loro natura compressiva in A e trattiva in B), e secondo la (3.2.9) per la tensione da sforzo normale (compressiva sia in A che in B).
Il testo dell'esercizio propone quindi di trattare l'ovalizzazione dello spinotto secondo la teoria della trave curva, par. 2.1 e 2.2 a pag. 602 e sgg.; in particolare l'espressione delle tensioni normali è invariata rispetto alla teoria della trave a curvatura trascurabile, mentre le tensioni da momento flettente sono da ricalcolarsi sulla base della (2.1.14) (con raggio neutro e baricentrico come da tabella 2.1.1, primo rigo, $y=r_n-r$, e valori $r=r_i$ e $r=r_e$ per i punti A e B, rispettivamente), e del momomento ovalizzante valutato in precedenza (inserito con segno negativo secondo convenzione, in quanto tende le fibre all'estradosso).
Le tensioni circonferenziali totali sono date dalla somma algebrica di tensioni da momento ovalizzante e da sforzo normale.