Gli elementi finiti isoparametrici si basano su una teoria che permette di ottenere elementi a lati curvi; nella pratica, sono particolarmente adatti a ricopiare bordi e superfici curve di componenti meccanici. Il termine isoparametrico significa “ad uguale parametro” e deriva dal fatto che due tipi di funzioni, impiegate in due punti distinti della teoria degli elementi finiti isoparametrici, sono tra loro uguali. Queste due funzioni riguardano il collegamento tra coordinate globali e locali ed il legame tra spostamenti globali e locali. Un ulteriore chiarimento sull’idea di elementi finiti, relativo al concetto di coordinate locali, è quello di considerare un elemento finito (ad esempio quadrilatero) che viene guardato da una lente attraverso la quale risulta come un quadrato con i lati di lunghezza 2 centrato nell’origine di un sistema di riferimento; in questo modo applicare qualsiasi teoria risulterebbe molto semplice. Una volta scritta la teoria è possibile riportare l’elemento finito alla sua forma originale attraverso una”controlente”. (Vedi Figura 1)

Nella seguente trattazione del metodo ad elementi finiti si farà riferimento ad un elemento isoparametrico quadrilatero a 4 nodi ottenendo dei risultati che potranno essere utilizzati allo stesso modo per tutti gli altri elementi.

Definendo l'elemento finito del quadrilatero con coordinate parametriche si ottengono tre casi :

• 1 caso

$u(x,y)= a + bx + cy + dx^{2}$

Il vantaggio di questo caso è che gli spostamenti vengono descritti meglio lungo asse x che sull’asse y , ma il termine quadratico (dx²)introduce un'anisotropia del modello , tale che non rende l’equazione utilizzabile.

• 2 caso

$u(x,y)= a + bx + cy + dy^{2}$

Il fenomeno dell’anisotropia riguarda anche in questo punto ,per la presenza del termine quadratico (dy²)

• 3 caso

$u(x,y)= a + bx + cy + dyx$

Il parametro dxy causa la deformazione dei lati in modo non rettilineo creando una discontinuità tra un elemento e l’altro.

Per semplificare la trattazione si costruisce l’elemento con un metodo alternativo.

Si consideri un DOPPIO piano :

- fisico, ( di coordinate x,y ): nel modello fisico è contenuto il modello trattato con coordinate nodali (1,2,3,4) nel senso antiorario.

- A coordinate locali $( \xi, \eta)$: nel metodo di coordinate locali il quadrilatero è centrato nel punto (0,0) ed ha lato 2.

Per poter associare l’elemento dal piano di coordinate locali al piano fisico serve una funzione di mappatura BIUNIVOCA ED INVERTIBILE $x(\xi, \eta) \, , \, y(\xi, \eta)$ . Tale funzione non è fornita in modo esplicito, ma è costruibile.

Per definire la legge di mappatura si definiscono quattro funzioni di forma sul piano di coordinate locali:

$N_n (\xi, \eta) = a + b\xi + c\eta + d\xi\eta \qquad$ con n= numero di nodi.

Tali funzioni assumono valore 1 sul nodo indicato dal pedice e 0 in tutti gli altri. Sono di forma bilineare in $\xi \, , \, \eta$, non in x, y, ovvero sono lineari con $\xi \, o \, \eta$ costanti, mentre sono non lineari (ovvero quadratiche) in caso contrario. Nel caso in esame con 4 nodi ottengo le seguenti funzioni di forma:

$N_{1}\left ( \xi ,\eta \right )=\frac{\left ( \xi -1 \right )\left ( \eta -1 \right )}{4}\qquad(1)$

$N_{2}\left ( \xi ,\eta \right )= \frac{\left ( \xi +1 \right )\left ( \eta -1\right )}{4}\qquad(2)$

$N_{3}\left ( \xi ,\eta \right )= \frac{\left ( \xi +1 \right )\left ( \eta +1\right )}{4}\qquad(3)$

$N_{4}\left ( \xi ,\eta \right )= \frac{\left ( \xi -1 \right )\left ( \eta +1\right )}{4}\qquad(4)$

ESEMPIO

Se si volesse disegnare, ad esempio, la funzione di forma associata al nodo 1 (N₁) si otterrebbe la Figura 2.

La Funzione di forma vale 1 in corrispondenza al nodo 1 e 0 sugli altri tre nodi; inoltre si noti che, essendo la funzione bilineare, i 4 lati del dominio in coordinate locali sono lati in cui una delle due coordinate ha valori costanti. Infine avendo costruito la superficie da essa si possono ricavare i valori della funzione in qualunque punto del dominio, come mostrato in figura.

Quindi la funzione di mappatura per le coordinate x e y è quindi:

$x\left ( \xi ,\eta \right )= x_{1}N_{1}\left ( \xi ,\eta \right )+x_{2}N_{2}\left ( \xi ,\eta \right )+x_{3}N_{3}\left ( \xi ,\eta \right )+x_{4}N_{4}\left ( \xi ,\eta \right ) \qquad(5)$

$y\left ( \xi ,\eta \right )= y_{1}N_{1}\left ( \xi ,\eta \right )+y_{2}N_{2}\left ( \xi ,\eta \right )+y_{3}N_{3}\left ( \xi ,\eta \right )+y_{4}N_{4}\left ( \xi ,\eta \right ) \qquad(6)$

Espandendo, ad esempio, la (5) si ottiene:

$x\left ( \xi ,\eta \right )= \sum_{i= 1}^{4}x_{i}N_{i}\left ( \xi ,\eta \right )\qquad (7)$

Viene definito un vettore colonna $\underline{x}$ una matrice $\underline{N}$, ottenendo:

$x\left ( \xi ,\eta \right )= \bar{x}^{T}\bar{N}\left ( \xi ,\eta \right )\qquad (8)$

con:

$$\bar{x}=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4} \end{bmatrix} $$

$$\bar{N}\left ( \xi ,\eta \right )= \begin{bmatrix} N_{1}\left ( \xi ,\eta \right )\\ N_{2}\left ( \xi ,\eta \right )\\ N_{3}\left ( \xi ,\eta \right )\\ N_{4}\left ( \xi ,\eta \right ) \end{bmatrix} $$

La formulazione (8) apre immediatamente all’estensione a funzioni di forma di ordine maggiore. Ad esempio si può definire 8 funzioni di forma opportune per ottenere un elemento isoparametrico ad 8 nodi, come mostrato in Figura 3.

la funzione di forma deve essere nulla in corrispondenza del nodo 6

Si definisce il CAMPO DEGLI SPOSTAMENTI in funzione del piano di coordinate locali:

$u\left ( \xi ,\eta \right )= \sum_{i= 1}^{4}u_{i}N_{i}\left ( \xi ,\eta \right ) \qquad (9) $

$v\left ( \xi ,\eta \right )= \sum_{i= 1}^{4}v_{i}N_{i}\left ( \xi ,\eta \right ) \qquad (10)$

che in forma matriciale diventano :

$ u(\xi,\eta) = \underline{u}^T \, \underline{N}(\xi,\eta) $

$ v(\xi,\eta) = \underline{v}^T \, \underline{N}(\xi,\eta) $

con:

$ \underline {v} = [v_1 \, v_2 \, v_3 \, v_4] $

$ \underline {u} = [u_1 \, u_2 \, u_3 \, u_4] $

Il grande vantaggio della formulazione precedente è che gli spostamenti hanno un andamento lineare lungo i lati di un elemento per cui, se il lato di un elemento nasce rettilineo ed ai punti di quel lato applico uno spostamento lineare, un lato rettilineo rimane rettilineo.

Poichè queste considerazioni valgono per tutti gli elementi della mesh, si esclude la possibilità che due elementi che condividono un lato si spostino in maniera differenziata sui punti del lato stesso.

Gli spostamenti alla frontiera sono continui poichè valgono due ipotesi:

• essendo x ed y funzioni lineari sul lato allora sono lineari anche le loro inverse, ovvero $\xi \, ed \, \eta$. Essendo gli spostamenti $u( \xi(x,y) ,\, \eta(x,y)) \, e \, v( \xi(x,y),\, \eta(x,y))$ funzione di funzioni lineari allora sono anch’essi lineari.

• Gli spostamenti nodali sono univoci ovvero indipendenti dall’elemento utilizzato come riferimento.

Combinando quanto detto non solo si ha la continuità degli spostamenti dei nodi, ma si ottiene anche la garanzia di poter affiancare un elemento isoparametrico 4 nodi ad uno triangolare 3 nodi senza avere discontinuità di spostamenti sull’interfaccia.

Si noti come il termine isoparametrico venga spiegato dal fatto che si usano le stesse funzioni di forma per la mappatura delle coordinate $x,y, \xi \, ed \, \eta$ e per gli spostamenti $u(\xi,\eta) \, e \, v(\xi,\eta)$

Si vogliono calcolare le deformazioni generalizzate $\varepsilon_x, \, \varepsilon_y \, e \, \gamma_{xy}$ a partire dagli spostamenti globali u e v.

$ \varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}$

$\varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\gamma_{xy} =\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}$

Essendo gli spostamenti funzioni composte verrebbe automatico scrivere

$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x} \qquad (11) $

Il problema è che le derivate $\frac{\partial \xi}{\partial x} \, e \, \frac{\partial \eta}{\partial x}$ non sono facili da calcolare in quanto è disponibile solo x in funzione di $\xi \, ed \, \eta$, non il viceversa. Si decide quindi di utilizzare il seguente approccio solo sugli spostamenti u, quelli per v sono analoghi.

$$ \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial \xi} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \xi} \\ \frac{\partial u}{\partial \eta} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \eta} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{cases} \qquad (12) $$

In questo modo si esplicitano delle identità in cui i termini sono comodi da calcolare a partire dalla relazione seguente:

$ \frac{\partial u}{\partial \xi} = \sum_{i} u_i \frac {\partial N_i (\xi,\eta)}{\partial \xi} \qquad (13) $

Gli unici due termini non facili da calcolare nella relazione (12) sono $\frac{\partial u}{\partial x} \, , \, \frac{\partial u}{\partial y}$:

Per trovarli è possibile utilizzare un approccio matriciale definendo il vettore di 2 componenti che sono funzione lineare degli spostamenti nodali: $$ \begin{Bmatrix} \frac{\partial u}{\partial \xi} \\ \frac{\partial u}{\partial \eta} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} \\ \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \end{Bmatrix} = J \begin{Bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \end{Bmatrix} \qquad (14) $$

In cui la matrice viene chiamata Jacobiana (J) ed è moltiplicata per il vettore delle incognite.

NOTA BENE: E' opportuno notare che in programi quali Maxima e Mathematica la matrice Jacobiana scritta in questa forma viene indicata come Matrice Jacobiana trasposta.

Se la matrice J è invertibile le derivate degli spostamenti di u e v rispetto x ed y valgono: $$ \begin{Bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \end{Bmatrix} = J^{-1} \begin{Bmatrix} \frac{\partial u}{\partial \xi} \\ \frac{\partial u}{\partial \eta} \end{Bmatrix} \qquad(15) $$

Similmente $$ \begin{Bmatrix} \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \end{Bmatrix} = J^{-1} \begin{bmatrix} \frac{\partial v}{\partial \xi} \\ \frac{\partial v}{\partial \eta} \end{bmatrix} \qquad(16) $$

Dove: $$ J^{-1} = \frac{1}{|J|} \begin{bmatrix} J_{22} & -J_{12} \\ -J_{21} & J{11} \end {bmatrix} \qquad(17) $$

con

$J_{11} = \frac{\partial x}{\partial \xi}$

$J_{12}= \frac{\partial y}{\partial \xi}$

$J_{21} = \frac{\partial x}{\partial \eta}$

$J_{11} = \frac{\partial y}{\partial \eta}$

Quindi passando per l'inversa della matrice Jacobiana posso ricavare, partendo dalla forma degli spostamenti, le derivate $\frac{\partial u}{\partial x}\, , \, \frac{\partial u}{\partial y}\, , \, \frac{\partial v}{\partial x} \, e \, \frac{\partial v}{\partial y}$ che servono per calcolare le deformazioni:

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline {\underline {J^{-1}} } & 0 \\ 0 & \underline {\underline {J^{-1}} } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial \xi} \\ \frac{\partial u}{\partial \eta} \\ \frac{\partial v}{\partial \xi} \\ \frac{\partial v}{\partial \eta} \end{bmatrix} \qquad(18) $$

La matrice appena definita prende i nome di $\underline{\underline{J _{inv}^*}} (\xi,\eta)$ (J indica che è una matrice che deriva dallo Jacobiano, inv indica che è l'inversa e * indica che è una variazione dello Jacobiano).

Mentre il vettore di 4 componenti che è funzione lineare degli spostamenti nodali si calcola $$ \newcommand{\mat}[1]{\smash{\underline{\underline{#1}}}} \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial\xi}\\ \frac{\partial u}{\partial\eta}\\ \frac{\partial v}{\partial \xi}\\ \frac{\partial v}{\partial\eta} \end{bmatrix}= \underbrace{ \begin{bmatrix} \frac{\eta-1}{4} & 0 & \frac{1-\eta}{4} & 0 & \frac{\eta+1}{4} & 0 & \frac{-\eta-1}{4} & 0\\ \frac{\xi-1}{4} & 0 & \frac{-\xi-1}{4} & 0 & \frac{\xi+1}{4} & 0 & \frac{1-\xi}{4} & 0\\ \ 0 & \frac{\eta-1}{4} & 0 & \frac{1-\eta}{4} & 0 & \frac{1+\eta}{4} & 0 & \frac{-1-\eta}{4}\\\ 0 & \frac{\xi-1}{4} & 0 & \frac{-\xi-1}{4} & 0 & \frac{\xi+1}{4} & 0 & \frac{1-\xi}{4} \end{bmatrix} }_{\mat{Q}} \begin{bmatrix} u_1\\ v_1\\ u_2\\ v_2\\ u_3\\ v_3\\ u_4\\ v_4 \end{bmatrix} \qquad (19) $$

Infine per ricavare il vettore delle deformazioni, bisogna introdurre una matrice H 3×4 (non più funzione di $\xi \, ed \, \eta$) tale per cui : $$ \begin{bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1& 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix} \qquad(20) $$

In definitiva i vettore deformazione epsilon sarà definito come:

$$ \newcommand{\mat}[1]{\smash{\underline{\underline{#1}}}} \underline{\varepsilon} = \underbrace{\underline{\underline{H}} \, \underline{\underline{J _{inv}^*}} (\xi,\eta) \, \underline{\underline{Q}}(\xi,\eta)}_{\mat{B}} \, \underline{\delta} \qquad(21) $$

con $\underline{\underline{B}}(\xi,\eta)$ la matrice di operatori differenziali che lega gli spostamenti nodali alle deformazioni

Rifacendosi alla scrittura già vista per un elemento triangolare, si ha:

$\underline{\varepsilon} = \, \underline{\underline{B}}(\xi,\eta) \, \underline{\delta}\qquad(22)$

Si parte dal calcolo dell'energia potenziale elastica sull'elemento :

$$ U = \int_{AREA} \frac{1}{2} \underline{\varepsilon}^T \, \underline{\sigma} dA = \frac{1}{2} \int_{AREA} [ \, \underline{\delta}^T \, \underline{\underline{B}}^T (\xi,\eta) \, \underline{\underline{D}} \, \underline{\underline{B}}(\xi,\eta) \, \underline{\delta} \,] dA \qquad(23) $$

Portando fuori le quantità costanti si ottiene:

$$ \newcommand{\mat}[1]{\smash{\underline{\underline{#1}}}} U = \frac{1}{2} \, \underline{\delta}^T \underbrace{ \int_{AREA} [ \underline{\underline{B}}^T (\xi,\eta) \, \underline{\underline{D}} \, \underline{\underline{B}}(\xi,\eta) \, ] dA}_{\mat{K}} \, \underline{\delta} \qquad(24) $$

Dove $\underline{\underline{K}}$ è la matrice di rigidezza dell'elemento.

Il problema è che B e $B^T$ sono funzione di $\xi$ ed η e non di x , y ; naturalmente verrebbe logico integrare in dx e dy ma queste coordinate complicano l'integrazione. Quindi si decide di declinare il dA in funzione di $\xi$ ed η (dimostrazione in Appendice 1):

$dA = |J(\xi,\eta)| d\xi d\eta \qquad(25)$

Ottenendo:

$$ U = \frac{1}{2} \underline{\delta}^T \, \iint_a [\underline{\underline{B}}^T (\xi,\eta) \, \underline{\underline{D}} \, \underline{\underline{B}}(\xi,\eta) \, |\underline{\underline{J}}| \, d\xi d\eta ] \, \underline{\delta} = \, \frac{1}{2} \underline{\delta}^T \, \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} [\underline{\underline{B}}^T (\xi,\eta) \, \underline{\underline{D}} \, \underline{\underline{B}}(\xi,\eta) \, |\underline{\underline{J}}| \, d\xi d\eta ] \, \underline{\delta} \qquad(25) $$

Essendo l'integrando non costante sull'elemento si decide di passare ad un'integrazione numerica gaussiana a 4 punti (di coordinate $\xi,\eta =\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$) ottenendo:

$$ \underline{\underline{K}}_{ele}\, \cong \, \sum_{j=1}^{4} \, w_j \, \underline{\underline{B}}^T (\xi_j,\eta_j) \, \underline{\underline{D}} \, \underline{\underline{B}}(\xi_j,\eta_j) \, |\underline{\underline{J}}(\xi_j,\eta_j)| \qquad(26) $$

considerando:

wj peso di ogni punto

\underline{\underline{D}} che indica l'uniformità del materiale e che in genere si suppone costante, ma può anche non esserlo se l'elemento non è uniforme.

Ricavata la matrice di rigidezza e quindi le deformazioni, è possibile risalire alle tensioni attraverso la formula:

$ \sigma = \underline{\underline{D}} \, \varepsilon \qquad(27)$

Se si è sul dominio $\xi$ ed $\eta$ prendo un elemento di area (a), presa nell'intorno di uno specifico punto $(\xi;\eta)$, e trasformata sul piano x ed y in un oggetto di forma generica la cui area(a') è:

$a' = |J(\xi,\eta)| a$

Il quadrilatero $d\xi,d\eta$ viene trasformato in un quadrilatero di coordinate:

$1 : x(\xi,\eta) \, ; \, y (\xi,\eta)$

$2 : x(\xi + d\xi,\eta) \, ; \, y(\xi + d\xi,\eta)$

$3 : x(\xi + d\xi,\eta + d\eta) \, ; \, y (\xi + d\xi,\eta + d\eta)$

$4 : x(\xi ,\eta + d\eta) \, ; \, y(\xi ,\eta + d\eta)$

Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:

$2 : \cong x(\xi,\eta) + \frac{\partial x}{\partial \xi}|_{\xi,\eta} d\xi \, ; \, y (\xi,\eta) + \frac{\partial y}{\partial \xi}|_{\xi,\eta} d\xi$

$3: \cong x(\xi,\eta) + \frac{\partial x}{\partial \xi}|_{\xi,\eta} d\xi + \frac{\partial x}{\partial \eta}|_{\xi,\eta} d\eta \, ; \, y (\xi,\eta) + \frac{\partial y}{\partial \xi}|_{\xi,\eta} d\xi + \frac{\partial y}{\partial \eta}|_{\xi,\eta} d\eta$

$4 : \cong x(\xi,\eta) + \frac{\partial x}{\partial \eta}|_{\xi,\eta} d\eta \, ; \, y (\xi,\eta) + \frac{\partial y}{\partial \eta}|_{\xi,\eta} d\eta$

Se si considera un troncamento al primo ordine della trasformazione precedente risulta che il quadrato viene trasformato in un parallelogramma costituito da due triangoli di aree uguali (vedi Figura 5 ):

L'area del quadrato evidenziata (a) vale:

$$ a = \frac{1}{2} d\xi d\eta \qquad (1.1)$$

Poichè il parallelogramma è costituito da due triangoli di aree uguali si considera solo quello evidenziato e si calcola l'area con la regola del determinante: $$ A' = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ \underline{x} & \underline{x} + \frac{\partial \underline{x}}{\partial \xi} |_{\xi,\eta} d\xi & \underline{x} + \frac{\partial \underline{x}}{\partial \eta} |_{\xi,\eta} d\eta \\ \underline{y} & \underline{y} + \frac{\partial \underline{y}}{\partial \xi} |_{\xi,\eta} d\xi & \underline{y} + \frac{\partial \underline{y}}{\partial \eta} |_{\xi,\eta} d\eta \end{vmatrix} \qquad(1.2) $$

Dalle proprietà dei determinanti si sa che : “se si aggiunge ad una riga di una matrice una combinazione lineare delle rimanenti righe il determinante non cambia” ; quindi si sottrae alla seconda riga la prima moltiplicata per $\underline{x}$, in seguito si sottrae alla terza riga la prima moltiplicata per y segnato ottenendo:

$$ a' = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & \frac{\partial \underline{x}}{\partial \xi} |_{\xi,\eta} d\xi & \frac{\partial \underline{x}}{\partial \eta} |_{\xi,\eta} d\eta \\ 0 & \frac{\partial \underline{y}}{\partial \xi} |_{\xi,\eta} d\xi & \frac{\partial \underline{y}}{\partial \eta} |_{\xi,\eta} d\eta \end{vmatrix} \qquad(1.3) $$

Sapendo che “detta G' la matrice ottenuta moltiplicando una riga (o una colonna) per un elemento h di K, si ha : det G' = h det G” si possono portare fuori i termini d$\xi$ e dη dalla matrice ottenendo la matrice jacobiana:

$$ \newcommand{\mat}[1]{\smash{\underline{\underline{#1}}}} a' = \frac{1}{2}\underbrace{ \begin{bmatrix} \frac{\partial \underline{x}}{\partial \xi} |_{\xi,\eta} & \frac{\partial \underline{x}}{\partial \eta} |_{\xi,\eta} \\ \frac{\partial \underline{y}}{\partial \xi} |_{\xi,\eta} & \frac{\partial \underline{y}}{\partial \eta} |_{\xi,\eta} \end{bmatrix}}_{\mat{J}(\xi,\eta)} d\xi d\eta \qquad(1.4) $$

In conclusione si può quindi affermare che :

$a' = |J(\xi,\eta)| a$

1) “PROGETTAZIONE ASSISTITA DI STRUTTURE MECCANICHE” dalle lezioni del Prof.Antonio Strozzi

2) link a “PROPRIETA' DEI DETERMINANTI” : pdf proprietà determinante citate a lezione