Una delle fonti di non linearità è il passaggio in cui i nodi della struttuta si appoggiano.

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POsso graficare l'andamento del carico e lo spostamento x Un carico piccolo → ho una rigidezza associata al sistema con un appoggio intermedio; esercita una reazione vincolare $R \propto p$ .

Quando $p$ supera $p^{*}$ si annulla il precarico di contatto e il sistema si distacca e si comporta come una trave incastrata

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In generale p non è definibile a priori ed esiste un “algoritmo di contatto” che ne permette la valutazione.

Analizzo i casi in cui l'utilizzo di tale algoritmo non è necessario.

• problema piano (caso di tensione piana, deformazione piana, caso assial simmetrico)
• problemi di contatto progressivi: se le forze applicate aumentano allora aumenta la superficie di contatto (contatto herziano). Poso utilizzare il metodo seminverso, o il metodo diretto (imposto i carichi, imposto i vincoli e trovo i risultati).
• problema stazionatio: l'area di contatto è limitato geometricamente ed è fissa e perpendicolare alla suerficie (è un problema di tipo stazionario).
• problema recessivo: all'aumentare del contatto l'area cala

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Esistono dei rapporti tra lunghezza e spessore dul piano e modulo di rigidezza relativi tali che all'aumentare di P gli estremi della trave si sollevano. In tali ptoblemi il contatto cala solo nel passaggio tra carico nullo a carico non nullo, dopo rimane costante. (E' lineare se escludo la transizione iniziale, di dice essere lineare in scalabilità e non in compatibilità).

• problemi regressivi: l'area cala ma non instantaneamente nell'intorno del carico nullo (caso della bronzina) soggetta a precarico di forzamento.

p è inizialmente nullo, larea di contatto in presenza di carico trattivo è 360°, applicando un carico trattivo si ha un allungamento del piede di bielle, esso si ovalizza e si estende verso l'alto. Il precarico della bronzina comporta che la fibra internadel piede sia più corta di della fibra eserna della bronzina comportando quindi un accoppiamento per interferenza, cioè il diametro del piede di biella < del diametro della bronzina. Quando si allunga il piedee anche la sua fibra interna si arriva in una situazione in cui le due fibre sono ugualie quindi perdo il forzamento.

Il sistema è lineare fino ad un punto della curva (tratto 1) e in questa zona è possibile applicare la scalabilità degli effetti.. Si osserva che in generale il sistem non è lineare, ma imponendo dei limiti sulle forze in gioco, il sistema può essere considerato localmente lineare (si ha una zona di transizione non lineare (tratto 2)). Per carichi grandi l'area di contatto si assesta in una zona di 180° e sul grafio si ha una zona nuovamente lineare (tratto 3).

Lavorando agli elementi finiti, inserisco la bronzina senza pressione di contatto → se p=0 il contatto avviene con sfioramento su tutti i 360°. se p è diverso da 0 il contatto si assesta su 180°, risultando essere l'equivalente recessivo del caso regressivo. si dimostra che l'area di contatto in questa condizione è il valore asintotico per carichi grandi.

Considero una guarnizione a sezione rettangolare con spigoli arrotondati.

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Considero C il rapporto di compressione. Voglio calcolare il profilo di pressione nella guarnizione e l'area di contatto al variare della compressione

Posso usare il metodo seminverso. essendo il problema simmetrico posso calcolarne solo metà. La guarnizione modellizzata FEM sarà composta da un tratto rettilineo e da un tratto curvilineo. inserire immangine

Devo calcolare l'evolversi del contatto al variare del rapporto di compressione. Definisco fino a quale nodo arriva il contatto.

Definisco così due casi lineari

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CASO A

Fermo l'interfaccia con due carrelli, impongo tuttavia che sia ricoperto il gioco fino al punto di contatto D. Impongo che lo spostamento sia nullo per il profilo piatto che già tocca la superficie. sposto i nodi precedenti al nodo “D” fino al contatto con la superficie rigida.

La deformazione di questa struttura sarà del tipo:

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Essa è ottenuta mediante un calcolo lineare FEM, ottenendo la reazione associata al ricoprimento del gioco $R_{g}$

CASO B

Svolgo un secondo calcolo lineare Appoggio senza spostamenti tutta l'interfaccia di contatto fino a D (caso gioco nullo), allora ci sarà una deformazione associata a gioco nullo. Applico la compressione, determinando uno spostamento $\delta$ verso il basso, ottenendo un profilo di reazione di contatto. Nei termini di fine contatto la reazione deve essere nulla.

Nei due casi essa non è nulla, ma posso annullare la composizione dell due. Se lavoro con una copressione $\lambdaC^{*}$ la reazione all'ultimo nodo sarà del tipo $\lambda p C^{*}$ Considero caso B e lo considero immagino scalato di $\lambda$ e lo sovrappongo caso A.

$\lambda R_{c}+R_{g}=0 $

ottengo così un profilo di contatto in cui le forze di contatto si annullano nell'ultimo nodo. POsso quindi ricavare $\lambda$ che mi da il rapporto di compressione per cui il contatto si estende fino al punto D. Al lato superiore in A ho $\delta=0$ e in B $\delta \neq 0$ Sommando i due spostamenti ho lo spostamento totale che mi ricopre il gioco, ottenendo così lo stato deformativo finale.

Se voglio calcolare le tensioni di Von Mises non posso sommarle poichè la tensione di Von Mises non è funzione lieare del carico. (se voglio le tensioni di Von Mises prendo le 4 componenti dei due casi, le sommo e da quelle trovo la tensione)

Questo metodo è applicabile solo ai casi 2D poichè nel caso 3D è difficile definire l'area di contatto.

Consideriamo due solidi discretizzati FEM. Al tempo $t_{i}$ sottoposti al carico $p_{i}$. Controllando il campo degli spostamenti al tempo $t_{i+1}$ il nodo del corpo è compenetrato nel nodo inferiore. inserire immagini

Mediante una calcolo iterato con un algoritmo di contatto 1 si ottiene una soluzione in cui l'equilibrio è rispettato, pertanto potrebbe essere ritenuta accettabile, ma viene invalidata dall'esistenza della compenetrazione. La presenza del contatto viene risolta dal codice aggiungendo dinamicamente un servolink, il codice esegue una nuova iterazione con un algoritmo di contatto 2 (cioè corretto con l'ipotesi di contatto e inserimento del servolink).

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In questo modo impong che il nodo A deve muoversi come i nodi B e C in direzione normale alla superficie. Il servolink eserciterà una forza di reazione, “tying force” che non deve risultare trattiva. Se la orza risulta essere di tipo trattivo sull'interfaccia elimino il servolink e itero il calcolo secondo un algoritmo di contatto 3. Il codice può iterare staccando e riattaccando i servolink fino a convergenza. Dopo il raggiungimento della convergenza è necessario verificare che il risultato sia compatibile con le ipotei di Newton-Rapson.

La rappresentazione delle superfici FEM è povera, comportando una sfaccettatura delle superfici. Considerando un giunto cilindrico con un perno, il giunto nella realtà dovrebbe essere libero di ruotare, cosa non sempre vera nel caso FEM, in cui applicando una dicretizzazione, per esempio a sei nodi, si vede che l'albero non libero di ruotare generando quindi delle superfici di contatto.

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In MARK, si ha una rappresentazione analitica delle superfici opposta alla rappresentazione discreta.

In un corpo considero solo la superficie, mentre nell'altro considero i nodi, potendo così osservare se il di cui considero solo i nodi compenetra la superficie. inserire immagine

Del corpo B considero un insieme di nodi per i quali faccio passare una curva polinomiale localmente interpolante (spline). Procedo alla verifica della compenetrazione tra i nodi e l'interpolante.

Tale Approccio però va in crisi nel seguente caso

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Si nota la presenza di un cottatto locale anche quando la geometria reale non lo prevede a causa della forma dell'interpolante. Mark permette di definire delle discontinuità e degli edge per gli spigoli a cavallo dei quali l'interpolante non deve passare.

Caso 1

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I corpi si avvicinano con moto relativo, considero del corpo 1 i nodi e del corpo 2 la superficie. Il contatto avviene quando i nodi si poggiano sulla superficie.

controllare

Se ho due corpi meshati in maniera diversa (in cui una mesh è più fine dell'altra), considero la superficie del corpo meshato in maniera più grezza e i nodi del corpo con la mesh più fitta.

Lo spinotto ha due diverse deformazioni, di cui una 3D (flessione globale)

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Utilizzando un modello piano non riesco a cogliere la flessione, ma soltanto lo stato deformativo di ovalizzazione. Lo spinotto si espande andando a interferire con il piede di biella il quale si allunga comportando un estensione sui fianchi superiore a 180°.

da introdursi mercoledì prossimo!!! (oggi me ne sono dimenticato)

testo

correttore

Sorgenti fortran DA COMPLETARE

iso4 (restoIII_2 versione data come riferimento, usatene un'altra)

tria3 (restoIII_0 versione data come riferimento, usatene un'altra)

Sorgenti di riferimento main_tria_base3.for main_iso4_base3.for