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La formulazione generale di un procedimento agli elementi finiti prevede essenzialmente di arrivare a scrivere la relazione che lega gli spostamenti nodali u alle forze nodali F di un singolo elemento tramite un equazione del tipo:

dove K è la matrice di rigidezza dell elemento.

La relazione sopra riportata potrà essere scritta non solo per il singolo elemento, ma anche per un intera struttura. Per ottenere l'equazione che lega forze nodali e spostamenti mediante la matrice rigidezza si passa per il calcolo dell'energia potenziale elastica e del lavoro virtuale. Di seguito vengono riportati tali passaggi.

Si consideri un corpo in equilibrio soggetto a carichi e se ne perturbi l'equilibrio applicando degli spostamenti virtuali descritti tramite spostamenti nodali; è possibile scrivere il vettore deformazione dovuto agli spostamenti virtuali come:

in cui il vettore deformazione virtuale ha la seguente forma: (in 2D)

(in 3D)

Inoltre in base ai risultati ottenuti dalle lezioni precedenti, è possibile scrivere la matrice B come il prodotto della matrice L ed N, per cui:

Le tensioni preesistenti legate allo stato di equilibrio non sono funzione degli spostamenti virtuali, ma della deformata della struttura. Si considerano gli spostamenti virtuali applicati infinitesimi. Tale considerazione non è una scelta necessaria ma permette di semplificare il calcolo trascurando gli infinitesimi di ordine superiore. Le tensioni associate allo stato di equilibrio che vado a perturbare con gli spostameti virtuali , sono così espresse (in 2D e 3D):

Dove D è la matrice di legame elastico e u è il vettore degli spostamenti nodali nella configurazione di equilibrio. Grazie alla scelta di applicare gli spostamenti infinitesimi, è possibile trascurare i contributi energetici δu = D · δε associati alla deformazione virtuale in quanto infinitesimi di ordine superiore.

Calcolo della variazione (riduzione) di energia potenziale elastica δU associata agli spostamenti virtuali δu:

(δu^T e u sono costanti rispetto al volume e possono essere portati fuori dall’integrale)

Nel caso dell’elemento triangolare a 3 nodi, l’integrando, indicato con K, è costante in dV e quindi l’integrale risulta:

In cui: δu^T è il vettore degli spostamenti virtuali che perturbano la configurazione iniziale di equilibrio; u è il vettore degli spostamenti associato alla configurazione di equilibrio; K è la matrice rigidezza dell’elemento.

Il lavoro virtuale delle forze esterne vale:

dove F è il vettore delle forze esterne applicate ai nodi:

dove i due integrali rappresentano le azioni esterne di superficie e di volume ridotte ai nodi.

Per collegare le forze esterne agenti sui nodi di un elemento con gli spostamenti nodali dell'elemento stesso viene applicato il principio dei Lavori Virtuali. Tale principio afferma che se un elemento viene sottoposto a un campo di spostamenti virtuali (cioè qualsiasi purchè rispettoso dei vincoli), il lavoro virtuale delle forze esterne (virtuale perchè dato da forze nodali reali ma spostamenti nodali virtuali) è uguale al lavoro virtuale delle forze interne (virtuale perchè dato da tensioni reali ma deformazioni virtuali).

Per il principio dei lavori virtuali le ipotesi da applicare sono:

• Corpo in equilibrio:
  1. spostamenti nodali u;
  2. forze esterne applicate.
• Spostamenti virtuali:
  1. arbitrari;
  2. infinitesimi (non è necessario, ma mi permette di semplificare i calcoli trascurando i termini di ordine superiore);
  3. compatibili con i vincoli (compatibili con le funzioni di forma → vincoli cinematici(i lati rettilinei rimangono rettilinei))

Allora è possibile riscrivere le relazioni precedentemente elaborate:

Ed ottenere:

Che rappresenta una relazione vettoriale di n equazioni in n incognite che sono gli spostamenti nodali dell'elemento. Se vale tale uguaglianza allora si è in condizioni di equilibrio. F : forze esterne applicate all’elemento; K · u : forze da applicare ai nodi per equilibrare le reazioni elastiche associate agli spostamenti nodali δu ovvero le forze da applicare ai nodi per mantenere l'elemento in configurazione deformata.

Per la risoluzione di un problema strutturale reale, occorre ricondursi alla scrittura di una relazione del tipo: valida però all'interno dell'intera struttura anzichè del solo elemento.Vale a dire che un problema statico, in regime di elasticità lineare, può essere risolto tramite un sistema costituito da tante equazioni quanti sono i gradi di libertà di tutta la struttura.Il vettore u sarà composto dagli spostamenti di tutti i nodi con cui è stato discretizzato un componente meccanico; mentre il vettore F sarà composto da tutte le forze applicate ai nodi.La matrice di rigidezza sarà ottenuta da quella dei singoli elementi considerando i termini omologhi che legano gli spostamenti dei nodi con le forze nodali.Quando un nodo appartiene a più elementi, i termini della matrice rigidezza corrispondenti a questo nodo saranno dati dalla somma dei singoli contributi di ciascuno degli elementi in comune.

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