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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== Link di forza/ Momenti risultanti distribuiti RBE2-RBE3 =====
+==== Forze concentrate su elementi discretizzati ====
+Trave:
+{{:wikipaom2016:trave.png|}}\\
+{{:wikipaom2016:trave.pdf|sorgente ipe}}\\
+mi aspetto un "delta" finito perchè la forza F è spalmata su un'area finita, infittendo la mesh.
+Piastre alla Kirkhhoff:
+{{:wikipaom2016:quadrato1.png|}}\\
+{{:wikipaom2016:quadrato1.pdf|sorgente ipe}}\\
+Se applico carico F perpendicolare al piano ho spostamento "delta" finito perchè la singolarità è una tensione tagliante e non da deformazioni.
+{{:wikipaom2016:quadrato2.png|}}\\
+{{:wikipaom2016:quadrato2.pdf|sorgente ipe}}\\
+Se F è entropiano non posso applicare carchi concentrati, "delta" non limitato ---> ho componenti di deformazione (comportamento membranale). Nella teoria dei continui elastici F è spalmato su un'area.
+Allora posso applicare carichi concentrati solo su elementi trave!!
+Devo "inventare" metodi che consentano di risolvere strutture con carichi applicati senza introdurre singolarità. La zona di interesse dello stato di carico non è in prossimità di quest'ultima ma in prossimità del vincolo.
+{{:wikipaom2016:rettangolo1.png|}}\\
+{{:wikipaom2016:rettangolo1.pdf|sorgente ipe}}\\
+Come nel disegno qui sopra, se la F non è applicata nel centro di taglio, avrei anche la presenza di momento torcente che genera "Tau", perciò non è conveniente.
+Allora uso dei link cinematici per spalmare le forze concentrate: i più utilizzati sono gli RBE2 e gli RBE3.
+Gli RBE sono link, ovvero delle connessioni tra nodi della struttura in esame a nodi particolari, che godono di particolari proprietà.Gli schemi RBE vengono utilizzati per affrontare lo studio di una struttura connessa ad un’altra senza dover completamente affrontare un’analisi FEM della seconda.
+==== RBE2 Nastran ====
+Vincolo di moto di corpo rigido: prendo una sezione, prendo tutti i nodi appartenenti alla sezione, prendo un nodo di controllo esterno alla sezione a cui andrò ad applicare il carico.
+{{:wikipaom2016:rettangolo2.png|}}\\
+{{:wikipaom2016:rettangolo2.pdf|sorgente ipe}}\\
+Tutti i nodi devono muoversi con vincolo di corpo rigido rispetto al nodo di controllo. Tutti i nodi della sezione sono dipendendi tranne quello di controllo (di maniglia) che è indipendente. Però la sezione non può più ingobbarsi, infatti il problema è dovuto ad un irrigidimento locale della struttura.
+Se ho una struttura di questo tipo e voglio applicare due forze ho due possibilità:
+Caso 1: la struttura può essere vista come l'unione di due corpi rigidi studiabili nel caso in esame.
+{{:wikipaom2016:trave1nondef.png| }}
+{{ :wikipaom2016:trave1def.png|}}\\
+{{:wikipaom2016:trave1nondef.pdf|sorgente ipe }}
+{{ :wikipaom2016:trave1def.pdf|sorgente ipe}}\\
+La deformazione avviene come illustrato in figura a seguito dell'applicazione delle due forze concentrate.
+Caso 2: in questo caso la struttura è caricata da un'unica forza in mezzeria pari a 2F e si utilizza un solo corpo rigido che sintetizza l'intera struttura.
+{{:wikipaom2016:trave2nondef.png| }}
+{{ :wikipaom2016:trave2def.png|}}\\
+{{:wikipaom2016:trave2nondef.pdf|sorgente ipe }}
+{{ :wikipaom2016:trave2def.pdf|sorgente ipe}}\\
+Nel caso deformato le facce devono restare parallele tra loro.
+In conclusione l'RBE2 non si utilizza in maniera estesa alla struttura ma viene applicato solo localmente a causa dell'irrigidimento della struttura (esempio banco prova telaio).
+==== RBE3 Nastran ====
+{{:wikipaom2015:link_di_forze_rev05x.pdf|slide ing. Mantovani}}
+Gli RBE3 sono link di carico/coppia distribuita o link di rotazione/spostamenti medi. Non irrigidiscono la struttura e vengono utilizzati nei collegamenti punto-punto.
+{{ :wikipaom2015:nuvola_di_punti.png?200 |IMMAGINE NUVOLA DI PUNTI E SCHEMA FORZE AGENTI SUL NODO DI CONTROLLO}}
+"Pi" sono i nodi e ad ogni punto viene associao un proprio peso "qi" mentre il sistema di riferimento deve essere principale d'inerzia. I pesi sono legati alle aree nodali: i nodi su mesh più grezze hanno pesi maggiori rispetto a zone con mesh più fini.
+Si considera un nodo dipendete //C// di coordinate //x<sub>C</sub>//,//y<sub>C</sub>//, //y<sub>C</sub>// ,//z<sub>C</sub>// detto nodo di controllo ed una nuvola di //n// nodi indipendenti //P<sub>i</sub>// di coordinate //x<sub>i</sub>//,//y<sub>i</sub>//,//z<sub>i</sub>// e con peso relativo //q<sub>i</sub>//.
+Si considera applicato al nodo //C// un sistema di azioni esterne nella forma delle tre componenti di forza //U<sub>C</sub>//,//V<sub>C</sub>////W<sub>C</sub>// e nelle tre componenti di momento //Ω<sub>C</sub>////Φ<sub>C</sub>////Ψ<sub>C</sub>//. Mentre //U//, //V//, //W//, sono le forze dei //P<sub>i</sub>// e //u//,//v//,//w//, sono le rispettive coordinate degli spostamenti. Prendo il nodo //C// e applico forze e/o coppie sui nodi tenendo in considerazione i rispettivi pesi (applico più carico in presenza di nodi elastici con peso maggiore).
+Si definisce un centro di massa G della nuvola di punti, le cui coordinate (riprendendo le formulazioni classiche della meccanica razionale)sono
+ $x_{G}= \frac{\Sigma_{i}q{i}x{i}}{\Sigma_{i}q{i}}$ , $y_{G}= \frac{\Sigma_{i}q{i}y{i}}{\Sigma_{i}q{i}}$ , $z_{G}= \frac{\Sigma_{i}q{i}z{i}}{\Sigma_{i}q{i}}$
+Si suppone inoltre che il sistema di riferimento Gxyz sia principale d'inerzia per la distribuzione di pesi.
+Nel caso tale ipotesi non sia verificata occorre procedere come segue:
+- cambio di sistema di riferimento da terna xyz ad una terna ausiliaria "epsilon eta zetamaiuscolo"con orientazione principale d'inerzia per la specifica distrubuzione RBE3.
+- applicazione della procedura sotto descritta utilizzando posizioni nodali e componenti di forza/momento scomposte secondo la terna ausiliaria "epsilon eta zetamaiuscolo" in luogo della predefinita xyz.
+- trasformazione inversa delle quantità risultanti da terna ausiliaria "epsilon eta zetamaiuscolo" a terna originale xyz.
+Si definisce quindi una prima relazione di dipendenza cinematica, per cui le rototraslazioni
+ $\underline{\delta}_{C}= [u_{C} v_{C} w_{C} \theta_{C} \phi_{C} \psi_{C}]^T$
+di C sui tre assi  $x$ ,  $y$ , $z$  sono definite in funzione delle rototraslazioni
+ $\underline{\delta}_{G}= [u_{G} v_{G} w_{G} \theta_{G} \phi_{G} \psi_{G}]^T$
+del centro di massa  $G$  secondo il vincolo di rototraslazione rigida
+$$
+\begin{bmatrix}
+u_{C}\\
+v_{C}\\
+w_{C}\\
+\theta_{C}\\
+\phi_{C}\\
+\psi_{C}
+\end{bmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+& 0  & 0 & 0 & +(z_{C}-z{G}) & -(y_{C}-y{G}) \\
+& 1  & 0 & -(z_{C}-z{G}) & 0 & +(x_{C}-x{G}) \\
+& 0  & 1 & +(y_{C}-y{G}) & -(x_{C}-x{G}) & 0 \\
+& 0  & 0 & 1 & 0 & 0 \\
+& 0  & 0 & 0 & 1 & 0 \\
+& 0  & 0 & 0 & 0 & 1
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+u_{G}\\
+v_{G}\\
+w_{G}\\
+\theta_{G}\\
+\phi_{G}\\
+\psi_{G}
+\end{bmatrix}
+$$
+La matrice sopra riportata prende il nome di "Lcg" e sotto l'ipotesi di piccole rotazioni ha una dipendenza lineare.
+In questo modo si arriva ad una relazione "triangolare" dove la relazione tra il punto di controllo e i nodi indipendenti  $P_{i}$  è mediata dal baricentro che funge da tramite.
+Nello schema seguente si illustra la distribuzione dei momenti rispetto al sistema cartesiano e approciando i momenti nella forma "forza per braccio" più congeniale alla trattazione.
+{{ :wikipaom2015:relazione_forze_baricentro_c.png?300 |}}
+Per quanto riguarda le relazioni relative:
+{{:wikipaom2015:momenti_x.png?200 |}}{{:wikipaom2015:momenti_y.png?200 |}}{{:wikipaom2015:momenti_z.png?200|}}
+All'imposizione di tali relazioni cinematiche è associata una riduzione a nuovo punto di applicazione G delle azioni agenti su  $C$ , con l'introduzione di opportuni momenti di trasporto (vedi Teorema di Huygens) come da
+ $\underline{F}_{G}=[\underline{\underline{L}}_{CG}]^{T} \cdot \underline{F}_{C}$ ,  $\underline{F}_{G}=[U_{G} V_{G} W_{G} \Theta_{G} \Phi_{G} \Psi_{G}]^T$
+Si definisce quindi una seconda relazione di dipendenza per cui da una parte lo spostamento del nodo  $G$  risulti la media pesata degli spostamenti ai nodi  $P_{i}$ , ovvero
+ $u_{G}= \frac{\Sigma_{i}q{i}u_{i}}{\Sigma_{i}q_{i}}$ , $v_{G}= \frac{\Sigma_{i}q_{i}v_{i}}{\Sigma_{i}q_{i}}$ , $w_{G}= \frac{\Sigma_{i}q_{i}w_{i}}{\Sigma_{i}q_{i}}$ ,
+e dall'altra le forze applicate in  $C$  e ridotte a  $G$  si distribuiscano ai nodi  $P_{i}$  secondo i pesi dati, ossia
+ $U'_{i}=U_{C} \frac{q_{i}}{\Sigma_{i}q_{i}}$ , $V'_{i}= V_{C}\frac{q_{i}}{\Sigma_{i}q{i}}$ , $W'_{i}= W_{C}\frac{q_{i}}{\Sigma_{i}q_{i}}$ ,
+Per quanto riguarda la distribuzione dei momenti ridotti a  $G$  sui nodi  $P_{i}$ , si preferisce operare in termini di una seconda quota di forze nodali  $U''_{i}$ , $V''_{i}$ , $W''_{i}$  piuttosto che in termini di una quota di momenti  ${\Theta}'_{i}$ , ${\Phi}'_{i}$ , ${\Psi}'_{i}$ .
+Riferendosi alla figura precedente si considerano le componenti di momento  $\Theta_{G}$ , $\Phi_{G}$ , $\Psi_{G}$  singolarmente nella riduzione  a sistemi di forze equivalenti.
+{{:wikipaom2016:dispensa_progettazione_assistita.pdf|Dispensa prog. assistita aggiornata a data odierna}}
+{{:wikipaom2016:doh.jpeg |}}**D'OH:** la trattazione cinematica che lega le rototraslazioni del baricentro agli spostamenti dei nodi  $P_i$  basata sul prodotto scalare pesato
+ $\langle \cdot , \cdot \rangle_q$
+come svolta alla lavagna a fine lezione //non risulta corretta// per le rotazioni come evidenziato da un vostro collega. Riferirsi alla dispensa sopracitata o alla [[wikipaom2015:lez22|pagina wiki]] dell'anno scorso, paragrafo  //"Approfondimento: analisi cinematica RBE3"//. Sorry.