testo di riferimento: J.R. Barber, Elasticity, da Materiale corsi di NON libera distribuzione, .

estratto termini soluzione di Michell

Argomenti di riferimento:

• stato piano di tensione e stato piano di deformazione;
• costante di Kolosov per tensione e deformazione piana, definizione delle comp. entro piano di deformazione p.43 (59 pdf);
  • DP: $\kappa=\left(3-4\nu\right)$; TP: $\kappa=\left(\frac{3-\nu}{1+\nu}\right)$;
  • $\epsilon_x=\left(\frac{\kappa+1}{8\mu} \right) \sigma_x - \left(\frac{3-\kappa}{8\mu} \right) \sigma_y$
  • $\epsilon_y=\left(\frac{\kappa+1}{8\mu} \right) \sigma_y - \left(\frac{3-\kappa}{8\mu} \right) \sigma_x$
  • $\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{\mu}$
  • $\kappa$ e modulo di taglio $\mu$ definiscono completamente il legame costitutivo per un materiale isotropo in stati piani.
• componenti fuori piano di tensione e deformazione:
  • TP: $\epsilon_z=-\frac{\nu}{1-\nu}\left(\epsilon_x + \epsilon_y \right)=-\frac{\nu}{E}\left(\sigma_x+\sigma_y\right)$
  • DP: $\sigma_z = \nu \left( \sigma_x+\sigma_y \right)$
• deformazione piana generalizzata come sovrapposizione ad uno stato di deformazione piana di una soluzione $\epsilon_z=\bar{\epsilon}-\frac{1}{\rho_y}x+\frac{1}{\rho_x}y$ costruita in compensazione delle risultanti di sforzo normale e momento flettente;
• equazioni di equilibrio in stati piani, in eventuale presenza di azioni distribuite $q_x$ e $p_y$:
  • eq. tx: $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}+p_x=0$
  • eq. ty: $\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y}+p_y=0$
• rotazione del sistema di riferimento per le componenti di tensione, p. 9 (27 pdf), da utilizzarsi nel passaggio da tensioni in coordinate cartesiane a tensioni in coordinate polari

sorgente ipe

• equazioni di equilibrio in coordinate polari, basato su di un settore di corona circolare di ampiezza radiale $dr$ e ampiezza angolare $d\theta$:
  • eq. tr. radiale: $\frac{\partial \sigma_r}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial \tau_{r\theta}}{\partial \theta}+\frac{\sigma_r-\sigma_\theta}{r}+p_r=0$
  • eq. tr. circonf.:$\frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial \tau_{r\theta}}{\partial r}+\frac{2\tau_{r\theta}}{r}+p_\theta=0$
• relazioni spostamento-deformazione in coordinate polari:
  • $\epsilon_r=\frac{\partial u}{\partial r}$
  • $\epsilon_\theta=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}+\frac{u}{r}$
  • $\gamma_{r\theta}=\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta} -\frac{v}{r}$
• operatore laplaciano e bilaplaciano, p. 49 (65 pdf) in coord. cartesiane, p. 111 (125 pdf) in coordinate polari;
  • coord. cart.: $\nabla^2=\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)$
  • coord. polari:$\nabla^2=\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\right)$
  • bilaplaciano: $\nabla^4 \phi=\nabla^2 \nabla^2 \phi$
• Airy stress function $\phi$, p. 46 (62 pdf);
  • l'associata definizione (4.6) di $\sigma_{xx},\sigma_{yy},\sigma_{xy}=\tau_{xy}$ soddisfa nativamente (=sulla base del teorema di Schwarz) le equazioni di equilibrio in assenza di azione distribuita (4.1), in particolare:
    • $\sigma_x=\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}$
    • $\sigma_y=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}$
    • $\tau_{xy}=-\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}$
  • l'equazione $\nabla^4 \phi=0$ caratterizzante la funzione di Airy deriva dall'equazione di compatibilità, una volta sostituita in essa il legame elastico omogeneo isotropo, p. 48 (64 pdf);
• note sull'equazione di compatibilità:
  • uno stato di deformazione è compatibile se è definibile in termini di un campo di spostamenti monodromo,differenziabile e a derivate parziali continue;
  • uno stato di deformazione è compatibile se lo spostamento relativo tra due punti A e B entro il solido elastico è definibile per accumulo (integrazione) dei contributi deformativi su di un percorso A→B, e se tale integrale è indipendente dal percorso, per piccole variazioni del percorso stesso.
  • uno stato di deformazione è compatibile se non genera dislocazioni nel corpo elastico, ove non ne preesistessero.
• derivazione di $\sigma_{rr},\sigma_{\theta\theta},\tau_{r\theta}$ da $\phi$, p. 110 (124);
  • $\sigma_r=\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial \theta^2}$
  • $\sigma_\theta=\frac{\partial^2\phi}{\partial r^2}$
  • $\tau_{r\theta}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}-\frac{1}{r}\frac{\partial^2\phi}{\partial r \partial \theta}$
• termini della soluzione di Michell, componenti di tensione p. 119 (133), inseriti nel foglio maxima di seguito;
  • gli stati tensionali, deformativi e di spostamento descritti dai termini della soluzione di Michell (o funzioni di Airy in generale) sono stati “naturali” o “propri” del materiale elastico nel senso che possono sussistere in assenza di azioni esterne applicate ai punti interni del dominio
• termini della soluzione di Michell, spostamenti p. 130 (144).

Conversione delle componenti di tensione (stati piani) da sistema cartesiano a polare, cfr. pp. 8-9 Barber.

define(
    srr_from_xy(sxx,syy,sxy,t),
    sxx*c^2 + syy*s^2+2*sxy*s*c
), [c = cos(t) , s = sin(t)];

define(
    srt_from_xy(sxx,syy,sxy,t),
    sxy*(c^2-s^2)+(syy-sxx)*s*c
), [c = cos(t) , s = sin(t)];

define(
    stt_from_xy(sxx,syy,sxy,t),
    syy*c^2 + sxx*s^2-2*sxy*s*c
), [c = cos(t) , s = sin(t)];

Tabelle termini Michell utilizzati

philist : [ 
    r^2 , 
    log(r) ,
    t, 
    r^(-n+2)*cos(n*t), 
    r^n*cos(n*t) , 
    r^(-n)*cos(n*t)
],n=2;

twomu_ur_list : [ 
    (kappa-1)*r , 
    -1/r ,
    0, 
    (kappa+n-1)*r^(-n+1)*cos(n*t), 
            -n *r^( n-1)*cos(n*t) , 
             n *r^(-n-1)*cos(n*t)
],n=2;

twomu_ut_list : [ 
    0 , 
    0 ,
    -1/r, 
   -(kappa-n+1)*r^(-n+1)*sin(n*t), 
             n *r^( n-1)*sin(n*t) , 
             n *r^(-n-1)*sin(n*t)
],n=2;

Derivazione dei termini di tensione dai relativi della funzione di Airy

srr : 1/r * diff( phi , r , 1) + 1/r^2*diff( phi , t , 2 );
stt : diff( phi , r , 2 );
srt : 1/r^2 * diff(phi, t,1) - 1/r * diff(phi,r,1,t,1);

concentrazione di tensioni in lastra forata, foglio a fine lezione