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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | |||
+ | ====== Quadratura Gaussiana====== | ||
+ | |||
+ | La quadratura gaussiana è una tecnica di risoluzione per integrali definiti, che fornisce risultati esatti per | ||
+ | integrazione di polinomi e, a parità di punti di integrazione, | ||
+ | La formula consiste nel calcolo di un integrale definito tra gli estremi -1 e 1, in modo da poter annullare, come si | ||
+ | vedrà in seguito, i termini di grado dispari dei polinomi. | ||
+ | In caso non si abbiano già come estremi di integrazione -1 e 1 si agirà preventivamente con uno o più cambi di | ||
+ | variabile e di conseguenza col cambio degli estremi, riconducendosi a un caso come quello prima descritto. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | __**Esempio: | ||
+ | |||
+ | Prendiamo a scopo esemplificativo un semplice polinomio di primo grado: | ||
+ | |||
+ | f(x) = a< | ||
+ | |||
+ | esso, sviluppato tra gli estremi -1 e 1 da come risultato: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Il metodo di Gauss, invece di risolvere l' | ||
+ | tale che wi moltiplicato f(x< | ||
+ | Graficamente significa trovare la media integrale della funzione nell' | ||
+ | |||
+ | Scrivo quindi l' | ||
+ | |||
+ | 2a< | ||
+ | |||
+ | Tuttavia la relazione posta in tal modo ha infinite soluzioni, dal punto che presi a< | ||
+ | |||
+ | Per avere un' | ||
+ | |||
+ | R = a< | ||
+ | |||
+ | Derivo la formula appena scritta prima rispetto ad a< | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | da cui consegue **w< | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | __**Esempio: | ||
+ | |||
+ | Si ragiona in maniera esattamente analoga all' | ||
+ | |||
+ | f(x) = a< | ||
+ | |||
+ | Svolgendo l' | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | //Come si osserva i termini con esponente dispari si elidono grazie all' | ||
+ | |||
+ | Per la risoluzione con Gauss, a differenza di prima non mi basta un solo punto di Gauss (w< | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Scrivendo la funzione residuo si avrà: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Avendo quattro incognite, si deriva la funzione R in tutte, ottenendo il sistema di equazioni seguente: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Posso ricavare facilmente dalla seconda equazione il valore di w< | ||
+ | |||
+ | w< | ||
+ | |||
+ | Sostituendo questo nella prima equazione si ottiene: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Risostituendo nell' espressione di w< | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Si sostituisce ora alla quarta equazione le espressioni di w< | ||
+ | |||
+ | −x< | ||
+ | |||
+ | dato che non posso avere punti coincidenti. | ||
+ | A questo punto si puo risolvere completamente il sistema sostituendo quest ultimo risultato nella terza e nella | ||
+ | seconda equazione del sistema, ottenendo che: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | che sostituiti nell' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | __**Esempio: | ||
+ | |||
+ | Il caso di polinomio di grado pari (si prenda per semplicità quello di grado 2), pone un problema: quanti punti di Gauss mi servono per determinare in modo perfetto l' | ||
+ | Prendiamo il polinomio: | ||
+ | |||
+ | f(x)=a< | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Se si sceglie di sviluppare con 1 o 2 punti di gauss si ottengono i risultati qui di seguito: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Che danno rispettivamente I risultati visti in precedenza per i polinomi di grado 1 e 3. | ||
+ | |||
+ | Si nota che le formule che si ottengono come risultato sono ben diverse. | ||
+ | Esiste una regola che lega il numero di punti di Gauss all' | ||
+ | |||
+ | VERSIONE ERRATA | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | |||
+ | VERSIONE CORRETTA | ||
+ | |||
+ | // | ||
+ | |||
+ | ===== ELEMENTO ISOPARAMETRICO ===== | ||
+ | |||
+ | La teoria dell’elemento isoparametrico è una teoria che permette di affrontare un problema, anche relativamente complesso, in modo più semplice e immediato. La si può pensare come ad una “lente speciale” che prende l’elemento finito (mesh) in esame, lo deforma così che andrà da -1 ad 1 in un piano ξ-η, associandosi così alla quadratura gaussiana, al che ci si calcola la matrice di rigidezza e poi si torna nello spazio reale. In questo modo quindi è come se, piuttosto che avere a che fare con un elemento quadrangolare disposto in modo generico nel piano, si abbia a che fare con un banale elemento quadrato, centrato in (0,0) e di lato 2. | ||
+ | Quest’ultimo prende il nome di Master Element. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Quindi i passaggi di base sono quelli di effettuare un cambio di variabili, portarmi nel piano ξ-η, calcolare lì la matrice di rigidezza con il mio elemento semplificato e quella ottenuta sarà valida anche quando torno nel piano reale (“isoparametrico”). | ||
+ | Si tratta quindi di calcolare un integrale dell’elemento attraverso una trasformazione che ci permette di passare da uno spazio all’altro: | ||
+ | Cominciamo dagli **spostamenti**. Si scrivono le coordinate globali x e y in una forma per cui, sostituendo le coordinata locali (±1, ±1) del nodo, si ottiene la rispettiva coordinata nodale a noi già nota dalla mesh. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | VERSIONE ERRATA!!! | ||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | VERSIONE CORRETTA | ||
+ | $$ | ||
+ | x= | ||
+ | \frac{1}{4}\left(1-\xi\right)\left(1-\eta\right) x_1 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1+\xi\right)\left(1-\eta\right) x_2 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1+\xi\right)\left(1+\eta\right) x_3 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1-\xi\right)\left(1+\eta\right) x_4 | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Si può notare che se si sostituiscono ad ξ e η i valori di un nodo, ad esempio 1 e -1 del nodo 2, si ottiene x = x2, effettuando così il cambio di variabile. | ||
+ | In modo del tutto analogo sarà per y: | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | y= | ||
+ | \frac{1}{4}\left(1-\xi\right)\left(1-\eta\right) y_1 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1+\xi\right)\left(1-\eta\right) y_2 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1+\xi\right)\left(1+\eta\right) y_3 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1-\xi\right)\left(1+\eta\right) y_4 | ||
+ | $$ | ||
+ | Si osservi che si ha una funzione “di forma” lineare per gli assi ξ e η: bloccato cioè uno dei due, diventa lineare per l’altro. | ||
+ | A questo punto si comprende appieno il perché del nome isoparametrico (“di uguale parametro”): | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | u= | ||
+ | \frac{1}{4}\left(1-\xi\right)\left(1-\eta\right) u_1 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1+\xi\right)\left(1-\eta\right) u_2 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1+\xi\right)\left(1+\eta\right) u_3 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1-\xi\right)\left(1+\eta\right) u_4 | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | v= | ||
+ | \frac{1}{4}\left(1-\xi\right)\left(1-\eta\right) v_1 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1+\xi\right)\left(1-\eta\right) v_2 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1+\xi\right)\left(1+\eta\right) v_3 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1-\xi\right)\left(1+\eta\right) v_4 | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Definiti gli spostamenti, | ||
+ | |||
+ | Ricordiamo che ε = Bδ, con {{: | ||
+ | In particolare si ha che, considerando ad esempio la sola derivata di u rispetto ad x (per l’altra derivata è analogo), questa è definita come: | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial x} = | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial \xi} | ||
+ | \frac{\partial \xi}{\partial x} | ||
+ | + | ||
+ | \frac{\partial u}{\partial \eta} | ||
+ | \frac{\partial \eta}{\partial x} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | e da com’è stato definito, calcolare la derivata di ξ rispetto ad x risulta essere abbastanza | ||
+ | |||
+ | difficoltoso. Tra l’altro, non vale neanche la proprietà di reciprocità, | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Si tratta quindi di riuscire a superare lo stesso problema nelle nostre coordinate ξ ed η. | ||
+ | Il nostro obiettivo è quello di passare da {{: | ||
+ | Non potendo però sfruttare l’uguaglianza tra le derivate vista sopra, andiamo a scrivere il problema in una forma alternativa; | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | in modo tale da non avere più il problema di dovere derivare la ξ o η rispetto a x ed y. | ||
+ | In forma matriciale questa, e analogamente per la v, si scrivono come: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Si può notare che tra le due espressioni, | ||
+ | Di fatto quindi si ha un legame del tipo: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Gli elementi dello Jacobiano si calcolano sfruttando la trasformazione usata inizialmente; | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | J_{11}= | ||
+ | - \frac{1}{4}\left(1-\eta\right) x_1 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1-\eta\right) x_2 | ||
+ | + \frac{1}{4}\left(1+\eta\right) x_3 | ||
+ | - \frac{1}{4}\left(1+\eta\right) x_4 | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | e così anche per gli altri tre componenti. Definiti quindi x1, x2, x3 e x4, la matrice è definita. | ||
+ | A questo punto, potendo scrivere la matrice J ed essendo il nostro obiettivo quello di calcolare le derivate di u e v rispetto x ed y, basta manipolare le espressioni matriciali scritte sopra e ottenere così i termini desiderati. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | con |J| determinante dello jacobiano. Di fatto esso varia con x1, x2, x3 e x4 quindi, in funzione delle coordinate prese, si potrebbe anche avere un determinante nullo. In questa eventualità non si potrebbe procedere con i calcoli; allora la fattibilità della trasformazione dipende proprio da come si fà l’elemento, | ||
+ | Siamo a questo punto in grado di definire l’espressione numerica della trasformazione scritta in modo incompleta nello specificare l’obiettivo al quale si mirava. In particolare si conclude che, da un punto di vista numerico: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | la scrittura sopra proposta è valida solo nel caso l' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \iint_{A} B^{T}DB dA = \int_{-1}^{+1}\int_{-1}^{+1} B\left(\xi, | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ove l' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \iint_{A} B^{T}DB dA = \int_{-1}^{+1}\int_{-1}^{+1} B\left(\xi, | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Nel caso di elemento normalmente integrato (2x2 punti di integrazione in $\xi$, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \xi_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}} &,& | ||
+ | \eta_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ | ||
+ | \xi_2 = +\frac{1}{\sqrt{3}} &,& | ||
+ | \eta_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ | ||
+ | \xi_3 = +\frac{1}{\sqrt{3}} &,& | ||
+ | \eta_3 = +\frac{1}{\sqrt{3}} \\ | ||
+ | \xi_4 = -\frac{1}{\sqrt{3}} &,& | ||
+ | \eta_4 = +\frac{1}{\sqrt{3}} | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Nel caso di elemento sottointegrato (1x1 punti di integrazione in $\xi$, | ||
+ | $$ | ||
+ | m=1 | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | w_1=4 | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \xi_1 = 0 &,& | ||
+ | \eta_1 = 0 | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | |||