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Prima dell'analisi dinamica di una struttura è necessario definire la sua massa attraverso una matrice che consente la risoluzione dell'equazione differenziale che ne descrive la dinamica. A tale scopo prendo in considerazione un volume Ω per il quale definiamo un sistema di riferimento locale $(ε,η,ζ)$ ed un sistema di coordinate globali (x,y,z) coincidenti in un caso particolare e correlati da relazione bilineare. Si può quindi definire un vettore delle funzioni di forma:

$$ \bar{N_j}(ε,η,ζ) = \array {N^u_j(ε,η,ζ)\cr N^v_j(ε,η,ζ)\cr N^w_j(ε,η,ζ)} $$

che ci permette di tener conto delle possibili variazioni di posizione del j-esimo elemento lungo tutte le dimensioni. Posso legare il campo degli spostamenti $\bar{δ^*}$ al tensore che ottengo affiancando i vettori delle funzioni di forma di tutti gli elementi che compongono la mesh della struttura $ \bar{\bar{N}}$. Per cui il campo di spostamenti:

$$ \bar{δ^*}(ε,η,ζ) = \bar{\bar{N}}(ε,η,ζ) * \bar{δ} $$

dove il vettore $\bar{δ}$ rappresenta i gradi di libertà dell'intera struttura ed è composto dagli elementi $δ_j$ (gradi di libertà del j-esimo elemento), mentre la matrice $\bar{\bar{N}}(ε,η,ζ)$ è la matrice di tutti i vettori di forma $\bar{N_j}(ε,η,ζ)$.
Grazie alla relazione appena determinata sono in grado di definire il vettore delle velocità di spostamento $ \dot{\bar{δ^*}}(ε,η,ζ)$ derivando semplicemente il vettore dei gradi di libertà $\bar{δ}$:

$$ \bar{v} = \dot{\bar{δ^*}}(ε,η,ζ) = \bar{\bar{N}}(ε,η,ζ) * \dot{\bar{δ}} $$

Scrivendo la variazione di energia cinetica in forma generale

$$ dE_{cin} = \frac 12 (v^2_x + v^2_y + v^2_z)ρdΩ $$

che posso anche esprimere in funzione di $\bar{\bar{N}}(ε,η,ζ)$ e $\dot{\bar{δ}}$

$$ dE_{cin} = \frac 12 [\dot{\bar{δ^t}}\bar{\bar{N^t}}][\dot{\bar{δ}}\bar{\bar{N}}]ρdΩ $$

Integrando sul volume Ω tale quantità posso determinare il quantitativo cinetico

$$ E_{cin} = \frac 12 \dot{\bar{δ^t}} [\intop_Ω{ \bar{\bar{N^t}} \bar{\bar{N}}ρdΩ}] \dot{\bar{δ}} = \frac 12 \dot{\bar{δ^t}}\bar{\bar{M}} \dot{\bar{δ}} $$

Così da individuare, con relativa semplicità, quella che potrebbe essere l'espressione della matrice di massa che stiamo cercando di determinare.

Con l'ausilio dello jacobiano effettuo il cambio di coordinate, passando dal sistema globale al locale, così da scrivere l'integrale sul volume come un integrale triplo i cui estremi di integrazione variano sempre tra -1 ed 1:

$$ \bar{\bar{M}} = \int\int\int_{-1}^{1}{ \bar{\bar{N^t}} \bar{\bar{N}}ρ det(\bar{\bar{J}}(ε,η,ζ))dεdηdζ} $$

da cui posso intuire la coerenza della definizione della matrice di massa $\bar{\bar{M}}$ con la legge di Newton. Notiamo che la matrice di massa è sempre simmetrica, definita positiva e supposta costante nel tempo, cosicché l'energia cinetica può essere solo positiva o al più nulla nel caso di corpo fermo. La matrice di rigidezza K che correla le deformazioni alla variazione di energia potenziale elastica (e non energia cinetica) è semidefinita positiva.
Per una lettura più approfondita si rimanda alla dispensa: link dispensa matrice di massa

ESEMPIO: Per una migliore comprensione della matrice dei vettori delle funzioni di forma è possibile assemblare un certo numero di elementi esaedrici 8 nodi formando un parallelepipedo (3D) in modo che il suo piano medio si comporti come un elemento 75 (elemento bidimensionale in stato piano sul quale normalmente non è visualizzabile il trasporto di materiale causatodalla deformazione subita dallo stesso).

Normalmente quando un corpo viene sollecitato la sua forzante è composta da più armoniche sovrapposte (a data fase) che stimolano risposte alle medesime frequenze delle forzanti e che si sovrappongono. Allo scopo di individuare le frequenze critiche di una data struttura viene effettuata l'analisi modale. Ipotizzo innanzitutto che il problema sia lineare, così da rendere plausibile la sovrapposizione degli effetti ed introduco la generica equazione di equilibrio elastico di un corpo.

$$ \bar{\bar{M}}\ddot{x} + \bar{\bar{C}}\dot{x} + \bar{\bar{K}}x = \bar{F}(t) $$

con $x =x(t)$. Scompongo la forzante $\bar{F}(t)$ nelle sue armoniche e sollecito la struttura con una armonica per volta osservando la risposta del sistema per ognuna delle componenti. Considero che ogni armonica ed ogni conseguente risposta possiedono una parte reale ed una immaginaria; per cui esprimendo in forma complessa l'equazione di equilibrio elastico diventa:

$$ (-ω^2\bar{\bar{M}} + jω\bar{\bar{C}} + \bar{\bar{K}})\bar{x}e^{jωt} = \bar{f}e^{jωt} $$

Considero inoltre dissipazioni nulle $(\bar{\bar{C}}=0)$ in maniera che la risposta o modo perduri nel tempo così da poterne osservare dettagliatamente la particolare deformata della struttura. A questo punto individuo la risposta libera o modo proprio del sistema assumendo forzante nulla e quindi:

$$ (-ω^2\bar{\bar{M}} + \bar{\bar{K}})\bar{x} = 0 $$

Le soluzioni non nulle di questa equazione sono le coppie $(ω^2_i , \bar{x_i})$ rappresentanti pulsazione e forma del modo proprio i-esimo. Per poterne descrivere completamente l'andamento delle risposte del sistema al variare della frequenza bisogna normalizzare gli autovettori.
Per una lettura più approfondita invitiamo a leggere la dispensa: link dispensa dinamica delle strutture

Modello di inizio lezione: lamella_composito_dinamica_gruppob_v000.mud

Di seguito valutiamo il moto proprio di una piastra incastrata in materiale composito tramite l'uso del software Marc Mentat:
1) Creo i 4 nodi: (0,0,0); (240,0,0); (40,60,0); (0,60,0) e creo l'elemento piastra:

MESH GENERATOR > NODES > ADD: inserisco coordinate punti
               > ELEMS > ADD: seleziono i punti  

Posso a questo punto definire la griglia della mesh suddividendo il lato lungo l'asse x in 24 parti, quello lungo l'asse y in 6 e lungo l'asse z in 2 parti.

MESH GENERATOR > SUBDIVIDE > DIVISIONS: 24 (X)
                                        6  (Y)
                                        2  (Z)
                           > ELEMENTS > EXIST.
               > SWEEP > EXIST.  

2) Definisco il materiale di cui è costituita la lastra come ortotropo, inserisco il valore di densità $(ρ = 1.58e^{-9})$ e dei coefficienti caratteristici: modulo di Young E, modulo di taglio G e coefficiente di Poisson υ, lungo i 3 assi di ortotropia (ricordando che $-υ_{13}/E_1 = -υ_{31}/E_3$ per la simmetria della matrice di rigidezza).

MATERIAL PROPERTIES > NEW > STANDARD > GENERAL: inserisco il valore di densità
                                     > STRUCTURAL > ELASTIC-PLASTIC ORTHOTROPIC:
e compilo la tabella con i valori dei coefficienti caratteristici del materiale

Devo a questo punto associare agli elementi il sistema di riferimento locale e gli assi di ortotropia (in particolare l'asse principale, che imporrò orientato a 'gradi 0' che corrisponde alla direzione di compressione/trazione delle fibre).

MATERIAL PROPERTIES > ORIENTATIONS > NEW > EDGE12 > ELEMENTS > EXIST.  

Potrò così veder comparire sugli elementi una freccia che sta ad indicare l'asse 1 di ortotropia.

3) Definisco ora la composizione del laminato e la disposizione delle pelli, di spessore pari a 0.25 mm e disposte secondo uno schema simmetrico del tipo: 0°, +45°,-45°, +90°,+90°,-45°, +45°, 0°.

MATERIAL PROPERTIES > NEW > COMPOSITE > GENERAL > ABSOLUTE THICKNESS 
                                                > APPEND:
posso così andare ad assemblare, una ad una, le pelli di cui il laminato
è composto, andando a variare man mano la loro orientazione.
                                      > ELEMENTS > EXIST.   

Ho così definito il mio laminato ortotropo, ovvero quasi isotropo: questo è adatto per descrivere sforzi di tipo membranale, ossia carichi applicati entro piano; nel caso di momento flettente invece il comportamento è fortemente non isotropo.

4) Definisco la natura del mio elemento in analisi (è una piastra) e le proprietà geometriche della stessa, in particolare lo spessore.

GEOMETRIC PROPERTIES > NEW > STRUCTURAL > 3D > SHELL > PROPERTIES:
posso inserire il valore dello spessore del laminato, nel nostro caso 2 mm
                                                     > ELEMENTS > EXIST.  

5) Definisco i vincoli imponendo l'incastro sul lato lato corto XY della mia piastra.

BOUNDARY CONDITIONS > NEW > STRUCTURAL > FIXED DISPLACEMENT
                                       > PROPERTIES: seleziono tutti i 6 gdl associati
                                       > ELEMENTS > ADD: seleziono i 7 nodi del lato da incastrare

6) Definisco a questo punto il loadcase modale, in modo da poter calcolare la risposta e i modi propri del sistema. A questo proposito il software ti permettere di scegliere da tra due metodi di calcolo differenti (Lanczos o Power Sweep, noi utilizzeremo il primo), di cui non ne esiste uno migliore dell'altro bensì ciascuno è particolarmente adatto a determinate configurazioni: nel caso in cui il metodo scelto non converga, tenterò con l'altro metodo.

LOADCASES > NEW > DYNAMIC MODAL > PROPERTIES > LANCZOS
                                             > LOWEST FREQUENCY: 0
                                             > MODAL: 40  

7) Realizzo il job, ovvero vado a definire i vincoli-carichi per l'estrazione dei modi propri della struttura e i risultati che voglio ottenere in uscita:

JOBS > NEW > STRUCTURAL > PROPERTIES > INITIAL LOADS: seleziono l'incastro  

Vado ora a definire le grandezze d'interesse per l'analisi, espresse secondo il sistema di riferimento locale (assi di ortotropia)

JOBS > NEW > STRUCTURAL > PROPERTIES: attivo il loadcase modale prima definito
                        > JOB RESULT > STRESS IN PREFERRED SYS
                                     > ELASTIC STRAIN IN PREFERRED SYS 

JOBS > RUN > SUBMIT > OPEN POST FILE  

E verifico che come EXIT NUMBER compaia il valore 3004, che rappresenta la correttezza del risultato.
Cliccando su NEXT posso osservare le diverse modali della struttura.

Nella vista della deformata, in alto a sinistra, posso vedere il numero e la frequenza della modale.

POSTPROCESSING RESULTS > DEFORMED SHAPE > SETTING:
posso andare a definire la scalatura della deformata. Selezionando 1 ottengo
la deformata reale calcolata, per ogni nodo, come somma della posizione iniziale
e del vettore spostamento nodale

Modello di fine lezione: lamella_composito_dinamica_gruppob_v001.mud