Servolink, $RBE2$ e $RBE3$ da Dispensa prog. assistita aggiornata a data odierna

A seconda degli elementi utilizzati nel FEM si riscontrano comportamenti diversi rispetto all'applicazione di carichi concentrati.

Ad esempio modellando una trave a sbalzo mediante elementi solidi $3D$ ed applicando al suo estremo libero una forza concentrata $F$ lo spostamento risultante $\delta$ risulta divergente all'infittirsi della mesh. Ciò accade in quanto il software va a spalmare la forza $F$ sull'area d'influenza del nodo su cui è applicata, che è funzione della taglia dell'elemento (se cala la taglia dell'elemento, cala l'area d'influenza).

Utilizzando un elemento trave in un problema analogo e applicando la stessa $F$ al suo estremo libero, all'infittirsi della mesh non si riscontra lo stesso problema (l'elemento beam può sopportare carichi concentrati).

Utilizzando un $RBE2$ o un $RBE3$ è possibile applicare carichi concentrati alla struttura come mostrato in figura.

Problematiche legate all'utilizzo dell'$RBE2$:

Le figure mostrano come l'impiego di un $RBE2$ su porzioni di struttura troppo estese irrigidisca ulteriormente la stessa.

Utilizzando l'$RBE3$ non si hanno problemi di irrigidimento della struttura dal momento che esso è un vincolo cinematico e non di corpo rigido. L'$RBE3$ può essere utilizzato per:

• spalmare carichi/coppie
• spalmare spostamenti/rotazioni

• SPC - single point constraint
• MPC - multi point constraint → con questa versione è possibile vincolare più gradi di libertà

Lo spostamento lungo la direzione z del nodo 5 diventa combinazione lineare degli spostamenti degli altri nodi, in particolare se il nodo 5 coincide con il baricentro della faccia segue l'andamento delle funzioni di forma.

Sia dato un sistema di n gradi di libertà (g.d.l) $\delta _{i}$, e siano definite n componenti di azione esterna $F_{i}$ agenti (compienti lavoro) su tali g.d.l., e sia definito un sistema di reazioni elastiche associate allo scostamento di tali g.d.l. dal valore nullo nella forma $-k_{ij}\delta_{j}$, ovvero la struttura sottoposta agli spostamenti $\delta_{i}$ genera una reazione elastica $-k\delta_{i}$ che viene equilibrata dalle forze esterne.

(8)

Si intende definire una relazione cinematica di dipendenza tra un g.d.l, nello specico $\delta_{j}$ , ed i restanti $\delta_{i}$; $i\neq j$, nella forma

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Tale relazione cinematica imposta è chiamata servo-link o multi-point constraint (MPC).

Da questa relazione è possibile definire una simil matrice di “cambio coordinate”, dove il gdl $\delta_{j}$ è dipendente dagli altri $\delta_{i}, i\neq j$

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E' ora possibile definire una nuova relazione di equilibrio elastico

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che risulta essere però sovradimensionata: $n$ equazioni in $n-1$ incognite.

Per risolvere questo problema si interpretano le colonne di $\underline{\underline{L}}_{CG}$ come la base di un sottospazio vettoriale entro il quale è vincolata a giacere la soluzione. Definito questo proietto su tale sottospazio il residuo del sistema imponendo nulla la sua proiezione

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ora il sistema non è più sovradimensionato

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Analisi del termine $\underline{\underline{L^{T}}}$

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dove $\underline{\alpha}$ è un vettore che raccoglie i coefficienti del vincolo cinematico

La quota di azione esterna originariamente agente sul $j$-esimo g.d.l., ora reso dipendente e rimosso dal sistema, si ripartisce sugli altri g.d.l. secondo gli stessi coefficienti $i,j$ che definiscono il legame cinematico. Il vincolo cinematico induce delle reazioni vincolari che compiono lavoro (interno) nullo e sono nella forma

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con $\lambda$ arbitrario

Riassumendo: con MPC si riescono a spalmare sforzi normali. Per distribuire $M_{f}, T$ ed $M_{t}$ si utilizza l'$RBE3$

figura

L'intento è quello di ridistribuire le forze ed i momenti applicati in $C$ sulla nuvola di punti $P_{i}$. Ad ogni $P_{i}$ è associato un peso $q_{i}$, a seconda della taglia della mesh (questo implicherà ripartizione non uniforme delle forze)

• Estrarre $G$ dalla distribuzione di nodi $P_{i}$
• Supporre $x,y,z$ assi principali di inerzia
• A partire da spostamenti e rotazioni note di $C$, ricavare corrispondenti spostamenti e rotazioni di $G$ tramite link rigido $RBE2$

Si ottiene:

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Caratteristiche di $\underline{\underline{L_{CG}}}$:

• matrice $RBE2$: $G$ è il nodo comandato, $C$ è il nodo di controllo
• le righe sono i servolink di $RBE2$, valide in piccole rotazioni
• stabilisce vincolo cinematico, lega infatti spostamenti di $C$ e $G$
• determina anche relazione tra forze/coppie applicate in $C$ riportate poi in $G$ (sotto le hp. di stesso lavoro compiuto avviene ripartizione di $F$ ed $M$ a $C$ a $G$)

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Si definisce una seconda relazione dove gli spostamenti di $G$ risultano la media pesata degli spostamenti dei punti $P_{i}$

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e, successivamente, un'ulteriore relazione di dipendenza per riportare le forze $F$ applicate in $C$ sui nodi $P_{i}$

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E' necessario imporre una seconda relazione che collega lo spostamento (forze) di $G$ con la distribuzione dei punti $P_{i}$, nelle hp. che il baricentro su indeformata rimanga tale su deformata. Si partirà da $G$ per “spalmare” sui nodi.

Problema nel secondo step per passaggio dei momenti: le operazioni di trasferimento forze sono su base lavoro (forza $*$ spostamento). Sui momenti sarà quindi necessario ragionare in termini di coppia $*$ rotazione; ciò implica che i nodi $P_{i}$ debbano avere rotazioni libere ⇒ non vale in generale per qualsiasi tipologia di elemento mesh, non tutti hanno rotazioni. A tal proposito le coppie si trasferiranno considerando un sistema equivalente di forze (sfruttando i teoremi del trasporto) riconducendosi così al caso già visto di spalmatura di forze.

${U}''$ = componente di forza lungo $x$ su nodo $i$ dovuta a momento applicato in $G$

= schema distribuzione momento di asse $z$ applicato in $G$ $\psi_{G}\hat{k}$

Procedure per determinazione vettore forza equivalente in $P_{i}$ da momento in $G$

1. direzione: ortogonale a congiungente $G-P_{i}$, vettore applicato in $P_{i}$
2. verso: concorde con coppia in $G$
3. modulo: forze proporzionali a pesi $q_{i}$ e distanza $r_{zi}$ da $G$ su piano xy in figura

- definizione distanza $r_{zi}$

Per ottenere una definizione in termini assoluti: imporre equivalenza tra il momento della distribuzione dei nodi $P_{i}$ uguale a momento complessivo in $G$: $\psi_{G}\hat{k}$ forza_su_nodo.pn_g= forza su nodo $i$-esimo dovuta a coppia $\psi_{G}\hat{k}$ (di asse $z$ e applicata in $G$)

Si giunge quindi a

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quindi note le forze al baricentro, moltiplicando per la matrice $\underline{\underline{L^{T}_{GP,i}}}$,posso spalmare forze e coppie sulla nuvola di punti $P_{i}$. per risalire agli spostamenti di $G$ in funzione degli spostamenti dei punti $P_{i}$, si va a moltiplicare $\underline{\underline{L_{GP}}}$ (definita a blocchi) per il vettore spostamneto di ogni singolo punto della nuvola

(33) → trasformazione per tornare agli spostamenti

per comprendere meglio come risalire agli spostamenti del baricentro, si può ragionare per via grafica. vado a scomporre gli spostamenti come tre contributi: un moto traslatorio, uno rotatorio attorno a $G$, e una terza componente aggiuntiva che rappresenta la deformazione del corpo in esame (N.B. questo moto deformativo non sarebbe presente se il vincolo fosse un $RBE2$, in quanto impone rigidità tra i due punti).

Cinematica $RBE3$

nota la connessione rigida tra $C$ e $G$ è possibile risalire agli spostamenti di $C$, avendo scomposto gli spostamenti degli altri nodi.

ad ogni modo è possibile vedere la scomposizione dei singoli spostamenti mediante la proiezione del moto dei punti della distribuzione su di un moto elementare (sotto riportata traslazione lungo $x$ e rotazione attorno a $z$ a titolo di esempio).).

formula (34)

formula (35)

come esempio applicativo si puo modellare al FEM una lastra forata caricata fuoripiano lungo il bordo del foro: impiegando l'$RBE2$ per spalmare il carico, si denotano spostamenti omogenei lungo il perimetro del foro e una distribuzione di reazioni disomogenea, non congruente con la realtà. utilizzando $RBE3$ la modellazione risulta più realistica avendo delle reazioni omogenee lungo il perimetro del foro e spostamenti minori nelle zone più rigide. in questo modo si evince che utilizzando un $RBE2$ si è introdotta rigidezza alla struttura.

Autori:

• Gianluca Bafaro mat. 97512
• Lorenzo Degli Esposti
• Antonio Montagnani
• Francesco Ambrogi