Lo scopo della lezione è quello di calcolare la rigidezza del telaietto a maglia rettangolare utilizzando il manipolatore algebrico Maxima. Di seguito sono riportati i passaggi che permettono la risoluzione del problema. Viene poi allegato il file di Maxima per la soluzione numerica e per la comprensione della sua sintassi.

E’ possibile approcciare il problema studiando il cedimento del punto C (lungo l’asse z) sotto l’azione del carico P tenendo vincolati gli altri tre vertici del telaio.

Facciamo alcune considerazioni sul telaietto in esame:

1. Geometria simmetrica rispetto ai piani xz e yz;
2. Caricamento antisimmetrico rispetto ai piani xz e yz;

Ipotesi:

Consideriamo che la sezione sia costante, circolare cava, taglio e sforzo normale trascurabili, pertanto possiamo calcolare le rigidezze flessionali EJ_xx , EJ_yy e rigidezza torsionale GJ_p. Ipotizziamo inoltre che il materiale abbia un comportamento elastico-lineare: se ho caricamento simmetrico la risposta del sistema sarà simmetrica; se ho caricamento antisimmetrico la risposta sarà antisimmetrica.

Data la caratteristica antisimmetrica possiamo studiare solo un quarto della struttura.

Come si vede nella foto, abbiamo sei reazioni vincolari (vincoli cinematici) : XB, ZB, CB al punto B; YA, ZA, CA al punto A.

In totale ho sei gradi di libertà e sei reazioni vincolari: la struttura sembra isostatica, quindi proviamo a risolverla con le equazioni di equilibrio, rispettivamente lungo le tre traslazioni e le tre rotazioni.

Notiamo che l’equilibrio alla rotazione lungo l’asse z è un’identità (il sistema si riduce a cinque equazioni e 6 incognite) e quindi la matrice del sistema è singolare: non c’è soluzione univoca ma 8^1 soluzioni. La struttura è una volta iperstatica e allo stesso tempo labile poiché la rotazione lungo z non è bloccata. Dato che la struttura è iperstatica lascio una delle reazioni in forma parametrica per poi introdurre un’equazione di completezza. In questo caso scelgo come parametro ZB e risolvo le equazioni esplicitando le altre variabili (XB, YA, ZA, CA, CB).

Disegno i momenti flettenti e torcenti dovuti a ZB e P, usando la sovrapposizione degli effetti poiché il problema è lineare. Valuto il momento flettente e torcente sotto l’azione del carico P. Valuto il momento flettente e torcente sotto l’azione di ZB.

Tabella che rappresenta i vari contributi dei momenti.

Per calcolare gli spostamenti devo applicare il teorema di Castigliano, utile prima di tutto per definire l’incognita iperstatica e successivamente per trovare lo spostamento di C sotto il carico P e ottenere quindi un valore della rigidezza del telaio.

Ipotesi: strutture a comportamento lineare.

Enunciato: La derivata parziale dell’energia potenziale elastica rispetto ad una forza o ad una coppia è pari allo spostamento o rotazione nella direzione della forza o coppia stessa.

∂U/∂P=δ_P ; ∂U/∂C=θ_C

Per poter applicare Castigliano, valuto l’energia potenziale elastica totale della struttura. Formula energia potenziale totale. Calcoliamo lo spostamento di B sotto l’azione del carico ZB incognito ed applichiamo l’equazione di compatibilità al vincolo: spostamento verticale dovuto a ZB nullo.

∂U/∂ZB=δ_ZB con δ_ZB=0.

In questo modo troviamo il valore dell’incognita iperstatica ZB. Ora applichiamo nuovamente Castigliano per ricavare lo spostamento d_P. Infine estendiamo i risultati a tutta la struttura sfruttando l’antisimmetria.

Comando per il lancio del programma maxima

wxmaxima

codice cattedrapre pausa intermedia

codice cattedra a fine lezione

Daniele Coelli, mat.104944 , Andrea Bellucci, mat. 105204, Andrea Bertolini, mat. 101174.

Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina.

regole spicciole di valutazione (ev):

sin(alpha)

prima valuto i parametri passati alla funzione (alpha), poi valuto la funzione sui parametri già valutati.

a + b equivalente a somma(a,b)

Assegnazioni

variabile : contenuto

Prima valuto il contenuto (cuò che è a DX del :), poi lo associo alla variabile. NON valuto mai la variabile (ciò che è a SX del : ), almeno non spontaneamente