wikitelaio2016:maxima_telaietto
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== INTRODUZIONE A MAXIMA E TELAIETTO ====== | ||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | ===== Rigidezza telaietto ===== | ||
+ | |||
+ | Lo scopo della lezione è quello di calcolare la rigidezza del telaietto a maglia rettangolare utilizzando il manipolatore algebrico Maxima. Di seguito sono riportati i passaggi che permettono la risoluzione del problema. Viene poi allegato il file di Maxima per la soluzione numerica e per la comprensione della sua sintassi. | ||
+ | |||
+ | E’ possibile approcciare il problema studiando il cedimento del punto C (lungo l’asse z) sotto l’azione del carico | ||
+ | |||
+ | Facciamo alcune considerazioni sul telaietto in esame: | ||
+ | -Geometria simmetrica | ||
+ | -Caricamento antisimmetrico rispetto ai piani xz e yz; | ||
+ | |||
+ | Ipotesi: | ||
+ | |||
+ | Consideriamo che la sezione sia costante, circolare cava, taglio e sforzo normale trascurabili, | ||
+ | Ipotizziamo inoltre che il materiale abbia un comportamento elastico-lineare: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Data la caratteristica | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Come si vede nella foto, abbiamo sei reazioni vincolari (vincoli cinematici) : XB, ZB, CB al punto B; YA, ZA, CA al punto A. | ||
+ | |||
+ | In totale ho sei gradi di libertà e sei reazioni vincolari: la struttura sembra isostatica, quindi proviamo a risolverla con le equazioni di equilibrio, rispettivamente lungo le tre traslazioni e le tre rotazioni. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | Notiamo che l’equilibrio | ||
+ | La struttura è una volta iperstatica e allo stesso tempo labile poiché la rotazione lungo z non è bloccata. | ||
+ | Dato che la struttura è iperstatica lascio una delle reazioni in forma parametrica per poi introdurre un’equazione di completezza. | ||
+ | In questo caso scelgo come parametro ZB e risolvo le equazioni esplicitando le altre variabili (XB, YA, ZA, CA, CB). | ||
+ | |||
+ | Disegno i momenti flettenti e torcenti dovuti a ZB e P, usando la sovrapposizione degli effetti poiché il problema è lineare. Valuto il momento flettente e torcente sotto l’azione del carico P. | ||
+ | Valuto il momento flettente e torcente sotto l’azione di ZB. | ||
+ | |||
+ | Tabella che rappresenta i vari contributi dei momenti. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | | |contributo ZB | contributo P | | ||
+ | | Mf_BC | +ZB * x | + 0 | | ||
+ | | Mt_BC | +ZB * a | - P * a | | ||
+ | | Mf_AC | +ZB * y | - P * y | | ||
+ | | Mt_AC | +ZB * b | + 0 | | ||
+ | |||
+ | Per calcolare gli spostamenti devo applicare il teorema di Castigliano, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== Teorema di Castigliano ==== | ||
+ | |||
+ | Ipotesi: strutture a comportamento lineare. | ||
+ | |||
+ | Enunciato: La derivata parziale dell’energia potenziale elastica rispetto ad una forza o ad una coppia è pari allo spostamento o rotazione nella direzione della forza o coppia stessa. | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | ∂U/ | ||
+ | |||
+ | Per poter applicare Castigliano, | ||
+ | Formula energia potenziale totale. | ||
+ | Calcoliamo lo spostamento di B sotto l’azione del carico ZB incognito ed applichiamo l’equazione di compatibilità al vincolo: spostamento verticale dovuto a ZB nullo. | ||
+ | |||
+ | ∂U/ | ||
+ | |||
+ | In questo modo troviamo il valore dell’incognita iperstatica ZB. | ||
+ | Ora applichiamo nuovamente Castigliano per ricavare lo spostamento d_P. | ||
+ | Infine estendiamo i risultati a tutta la struttura sfruttando l’antisimmetria. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Lista dei simboli ===== | ||
+ | | E | Modulo di Young | | ||
+ | | J | Momento di inerzia | ||
+ | | G | Modulo di elasticità tangenziale | ||
+ | |J_p | Momento d' | ||
+ | |XA,YA,ZA| Reazioni vincolari in A rispettivamente in direzione x, y, z | | ||
+ | |XB,YB,ZB| Reazioni vincolari in B rispettivamente in direzione x, y, z | | ||
+ | | U | Energia potenziale elastica | ||
+ | | δ_P | Spostamento sotto l' | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | ===== Riferimenti ===== | ||
+ | |||
+ | Comando per il lancio del programma maxima | ||
+ | |||
+ | wxmaxima | ||
+ | | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Autori==== | ||
+ | Daniele Coelli, mat.104944 , Andrea Bellucci, mat. 105204, Andrea Bertolini, mat. 101174. | ||
+ | |||
+ | ====Tabella di monitoraggio carico orario==== | ||
+ | |||
+ | Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina. | ||
+ | |||
+ | ^ Autore/ | ||
+ | | Daniele Coelli | ||
+ | | Andrea Bellucci | ||
+ | | Andrea Bertolini | ||
+ | | Revisore 1 | --- | --- | --- | --- | --- | | ||
+ | | Revisore 2 | --- | --- | --- | --- | --- | | ||
+ | | Revisore 3 | --- | --- | --- | --- | --- | | ||
+ | | Revisore 4 | --- | --- | --- | --- | --- | | ||
+ | | **Totale** | ||
+ | |||
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+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ====== varie ====== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | regole spicciole di valutazione (ev): | ||
+ | |||
+ | '' | ||
+ | |||
+ | prima valuto i parametri passati alla funzione ('' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Assegnazioni | ||
+ | |||
+ | '' | ||
+ | |||
+ | Prima valuto il contenuto (cuò che è a DX del '':'' | ||
+ | NON valuto mai la variabile (ciò che è a SX del '':'' | ||
+ | |||
+ | ~~DISCUSSION~~ |