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--- wikitelaio2016:maxima_telaietto [2016/05/28 16:04] – [Tabella di monitoraggio carico orario] ebertocchi
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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== INTRODUZIONE A MAXIMA E TELAIETTO ======
+{{ :wikitelaio2016:img_7760.jpg?300 |}}
+===== Rigidezza telaietto =====
+Lo scopo della lezione è quello di calcolare la rigidezza del telaietto a maglia rettangolare utilizzando il manipolatore algebrico Maxima. Di seguito sono riportati i passaggi che permettono la risoluzione del problema. Viene poi allegato il file di Maxima per la soluzione numerica e per la comprensione della sua sintassi.
+E’ possibile approcciare il problema studiando il cedimento del punto C (lungo l’asse z) sotto l’azione del carico  P tenendo vincolati gli altri tre vertici del telaio.
+Facciamo alcune considerazioni sul telaietto in esame:
+  -Geometria simmetrica  rispetto ai piani xz e yz;
+  -Caricamento antisimmetrico rispetto ai piani xz e yz;
+Ipotesi:
+Consideriamo che la sezione sia costante, circolare cava, taglio e sforzo normale trascurabili, pertanto possiamo calcolare le rigidezze flessionali EJ_xx  , EJ_yy e rigidezza torsionale GJ_p.
+Ipotizziamo inoltre che il materiale abbia un comportamento elastico-lineare: se ho caricamento simmetrico la risposta del sistema sarà simmetrica; se ho caricamento antisimmetrico la risposta sarà antisimmetrica.
+{{ :wikitelaio2016:img_7759.jpg?300 |}}
+Data la caratteristica  antisimmetrica possiamo studiare solo un quarto della struttura.
+{{ :wikitelaio2016:img_7761.jpg?300 |}}
+Come si vede nella foto, abbiamo sei reazioni vincolari (vincoli cinematici) : XB, ZB, CB al punto B; YA, ZA, CA al punto A.
+In totale ho sei gradi di libertà e sei reazioni vincolari: la struttura sembra isostatica, quindi proviamo a risolverla con le equazioni di equilibrio, rispettivamente lungo le tre traslazioni e le tre rotazioni.
+{{ :wikitelaio2016:20160404_171828_hdr.jpg?300 |}}
+Notiamo che l’equilibrio  alla rotazione lungo l’asse  z è un’identità (il sistema si riduce a cinque equazioni e 6 incognite) e quindi la matrice del sistema è singolare:  non c’è soluzione univoca ma  8^1 soluzioni.
+La struttura è una volta iperstatica e allo stesso tempo labile poiché la rotazione lungo z non è bloccata.
+Dato che la struttura è iperstatica lascio una delle reazioni in forma parametrica per poi introdurre un’equazione di completezza.
+In questo caso scelgo come parametro ZB  e risolvo le equazioni esplicitando le altre variabili (XB, YA, ZA, CA, CB).
+Disegno i momenti flettenti e torcenti dovuti a ZB  e P, usando la sovrapposizione degli effetti poiché il problema è lineare. Valuto il momento flettente e torcente sotto l’azione del carico P.
+Valuto il momento flettente e torcente sotto l’azione di ZB.
+Tabella che rappresenta i vari contributi dei momenti.
+|	|contributo ZB  | contributo P |
+| Mf_BC	| +ZB * x	| + 0          |
+| Mt_BC	| +ZB * a	| - P * a      |
+| Mf_AC	| +ZB * y       | - P * y      |
+| Mt_AC	| +ZB * b	| + 0          |
+Per calcolare gli spostamenti devo applicare il teorema di Castigliano, utile prima di tutto per definire l’incognita iperstatica e successivamente per trovare lo spostamento di C sotto il carico P e ottenere quindi un valore della rigidezza del telaio.
+==== Teorema di Castigliano ====
+Ipotesi: strutture a comportamento lineare.
+Enunciato: La derivata parziale dell’energia potenziale elastica rispetto ad una forza o ad una coppia è pari allo spostamento o rotazione nella direzione della forza o coppia stessa.
+{{ :wikitelaio2016:img_7762.jpg?300 |}}
+∂U/∂P=δ_P  ;  ∂U/∂C=θ_C
+Per poter applicare Castigliano, valuto l’energia potenziale elastica totale della struttura.
+Formula energia potenziale totale.
+Calcoliamo lo spostamento di B sotto l’azione del carico ZB incognito ed applichiamo l’equazione di compatibilità al vincolo: spostamento verticale dovuto a ZB nullo.
+∂U/∂ZB=δ_ZB  con  δ_ZB=0.
+In questo modo troviamo il valore dell’incognita iperstatica ZB.
+Ora applichiamo nuovamente Castigliano per ricavare lo spostamento d_P.
+Infine estendiamo i risultati a tutta la struttura sfruttando l’antisimmetria.
+===== Lista dei simboli =====
+| E      | Modulo di Young                                                                         |
+| J      | Momento di inerzia                                                                      |
+| G      | Modulo di elasticità tangenziale                                                        |
+|J_p     | Momento d'inerzia polare                                                                |
+|XA,YA,ZA| Reazioni vincolari in A rispettivamente in direzione x, y, z                            |
+|XB,YB,ZB| Reazioni vincolari in B rispettivamente in direzione x, y, z                            |
+| U      | Energia potenziale elastica                                                             |
+| δ_P    | Spostamento sotto l'azione del carico P                                                 |
+===== Riferimenti =====
+Comando per il lancio del programma maxima
+  wxmaxima
+{{:wikitelaio2016:v000.wxm|codice cattedrapre pausa intermedia}}
+{{:wikitelaio2016:v001.wxm|codice cattedra a fine lezione}}
+====Autori====
+Daniele Coelli, mat.104944 , Andrea Bellucci, mat. 105204, Andrea Bertolini, mat. 101174.
+====Tabella di monitoraggio carico orario====
+Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina.
+^ Autore/Revisore   ^  Prima stesura  ^  Prima revisione  ^  Seconda stesura  ^ Revisione finale  |           |
+| Daniele Coelli    |  **4 **         |  ---              |  ---              |  ---              |  **4 **   |
+| Andrea Bellucci   |  **4 **         |  ---              |  ---              |  ---              |  **4 **   |
+| Andrea Bertolini  |  **4 **         |  ---              |  ---              |  ---              |  **4 **   |
+| Revisore 1        |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---      |
+| Revisore 2        |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---      |
+| Revisore 3        |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---      |
+| Revisore 4        |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---      |
+| **Totale**        |  **12 **        |  ---              |  ---              |  ---              |  **12 **  |
+====== varie ======
+regole spicciole di valutazione (ev):
+''sin(alpha)''
+prima valuto i parametri passati alla funzione (''alpha''), poi valuto la funzione sui parametri già valutati.
+''a + b''    equivalente a   ''somma(a,b)''
+Assegnazioni
+''variabile  :  contenuto''
+Prima valuto il contenuto (cuò che è a DX del '':''), poi lo associo alla variabile.
+NON valuto mai la variabile (ciò che è a SX del '':'' ), almeno non spontaneamente
+~~DISCUSSION~~