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wikitelaio2016:maxima_telaietto

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wikitelaio2016:maxima_telaietto [2016/05/28 16:04] – [Tabella di monitoraggio carico orario] ebertocchiwikitelaio2016:maxima_telaietto [2016/05/28 16:04] (versione attuale) – [varie] ebertocchi
Linea 1: Linea 1:
 +====== INTRODUZIONE A MAXIMA E TELAIETTO ======
  
 +{{ :wikitelaio2016:img_7760.jpg?300 |}}
 +
 +===== Rigidezza telaietto =====
 +
 +Lo scopo della lezione è quello di calcolare la rigidezza del telaietto a maglia rettangolare utilizzando il manipolatore algebrico Maxima. Di seguito sono riportati i passaggi che permettono la risoluzione del problema. Viene poi allegato il file di Maxima per la soluzione numerica e per la comprensione della sua sintassi.
 +
 +E’ possibile approcciare il problema studiando il cedimento del punto C (lungo l’asse z) sotto l’azione del carico  P tenendo vincolati gli altri tre vertici del telaio.
 +
 +Facciamo alcune considerazioni sul telaietto in esame:
 +  -Geometria simmetrica  rispetto ai piani xz e yz;
 +  -Caricamento antisimmetrico rispetto ai piani xz e yz;
 +
 +Ipotesi:
 +
 +Consideriamo che la sezione sia costante, circolare cava, taglio e sforzo normale trascurabili, pertanto possiamo calcolare le rigidezze flessionali EJ_xx  , EJ_yy e rigidezza torsionale GJ_p.
 +Ipotizziamo inoltre che il materiale abbia un comportamento elastico-lineare: se ho caricamento simmetrico la risposta del sistema sarà simmetrica; se ho caricamento antisimmetrico la risposta sarà antisimmetrica.
 +
 +{{ :wikitelaio2016:img_7759.jpg?300 |}}
 +
 +Data la caratteristica  antisimmetrica possiamo studiare solo un quarto della struttura.
 +
 +{{ :wikitelaio2016:img_7761.jpg?300 |}}
 +
 +Come si vede nella foto, abbiamo sei reazioni vincolari (vincoli cinematici) : XB, ZB, CB al punto B; YA, ZA, CA al punto A.
 +
 +In totale ho sei gradi di libertà e sei reazioni vincolari: la struttura sembra isostatica, quindi proviamo a risolverla con le equazioni di equilibrio, rispettivamente lungo le tre traslazioni e le tre rotazioni.
 +
 +{{ :wikitelaio2016:20160404_171828_hdr.jpg?300 |}}
 +
 +Notiamo che l’equilibrio  alla rotazione lungo l’asse  z è un’identità (il sistema si riduce a cinque equazioni e 6 incognite) e quindi la matrice del sistema è singolare:  non c’è soluzione univoca ma  8^1 soluzioni. 
 +La struttura è una volta iperstatica e allo stesso tempo labile poiché la rotazione lungo z non è bloccata.
 +Dato che la struttura è iperstatica lascio una delle reazioni in forma parametrica per poi introdurre un’equazione di completezza. 
 +In questo caso scelgo come parametro ZB  e risolvo le equazioni esplicitando le altre variabili (XB, YA, ZA, CA, CB).
 +
 +Disegno i momenti flettenti e torcenti dovuti a ZB  e P, usando la sovrapposizione degli effetti poiché il problema è lineare. Valuto il momento flettente e torcente sotto l’azione del carico P.
 +Valuto il momento flettente e torcente sotto l’azione di ZB.
 +
 +Tabella che rappresenta i vari contributi dei momenti.
 +
 +
 +| |contributo ZB  | contributo P |
 +| Mf_BC | +ZB * x | + 0          |
 +| Mt_BC | +ZB * a | - P * a      |
 +| Mf_AC | +ZB * y       | - P * y      |
 +| Mt_AC | +ZB * b | + 0          |
 +
 +Per calcolare gli spostamenti devo applicare il teorema di Castigliano, utile prima di tutto per definire l’incognita iperstatica e successivamente per trovare lo spostamento di C sotto il carico P e ottenere quindi un valore della rigidezza del telaio.
 +
 +
 +==== Teorema di Castigliano ====
 +
 +Ipotesi: strutture a comportamento lineare.
 +
 +Enunciato: La derivata parziale dell’energia potenziale elastica rispetto ad una forza o ad una coppia è pari allo spostamento o rotazione nella direzione della forza o coppia stessa.
 +
 +{{ :wikitelaio2016:img_7762.jpg?300 |}}
 +
 +∂U/∂P=δ_P  ;  ∂U/∂C=θ_C
 +
 +Per poter applicare Castigliano, valuto l’energia potenziale elastica totale della struttura.
 +Formula energia potenziale totale.
 +Calcoliamo lo spostamento di B sotto l’azione del carico ZB incognito ed applichiamo l’equazione di compatibilità al vincolo: spostamento verticale dovuto a ZB nullo.
 +
 +∂U/∂ZB=δ_ZB  con  δ_ZB=0.
 +
 +In questo modo troviamo il valore dell’incognita iperstatica ZB. 
 +Ora applichiamo nuovamente Castigliano per ricavare lo spostamento d_P. 
 +Infine estendiamo i risultati a tutta la struttura sfruttando l’antisimmetria.
 +
 +
 +===== Lista dei simboli =====
 +| E      | Modulo di Young                                                                         |
 +| J      | Momento di inerzia                                                                      |
 +| G      | Modulo di elasticità tangenziale                                                        |
 +|J_p     | Momento d'inerzia polare                                                                |
 +|XA,YA,ZA| Reazioni vincolari in A rispettivamente in direzione x, y, z                            |   
 +|XB,YB,ZB| Reazioni vincolari in B rispettivamente in direzione x, y, z                            | 
 +| U      | Energia potenziale elastica                                                             |
 +| δ_P    | Spostamento sotto l'azione del carico P                                                 |
 +                                                      
 +
 +===== Riferimenti =====
 +
 +Comando per il lancio del programma maxima
 +
 +  wxmaxima
 +  
 +{{:wikitelaio2016:v000.wxm|codice cattedrapre pausa intermedia}}
 +
 +{{:wikitelaio2016:v001.wxm|codice cattedra a fine lezione}}
 +
 +
 +
 +====Autori====
 +Daniele Coelli, mat.104944 , Andrea Bellucci, mat. 105204, Andrea Bertolini, mat. 101174.
 +
 +====Tabella di monitoraggio carico orario====
 +
 +Ore-uomo richieste per la compilazione della pagina. 
 +
 +^ Autore/Revisore    Prima stesura  ^  Prima revisione  ^  Seconda stesura  ^ Revisione finale  |           |
 +| Daniele Coelli    |  **4 **          ---              |  ---              |  ---              |  **4 **   |
 +| Andrea Bellucci    **4 **          ---              |  ---              |  ---              |  **4 **   |
 +| Andrea Bertolini  |  **4 **          ---              |  ---              |  ---              |  **4 **   |
 +| Revisore 1        |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---      |
 +| Revisore 2        |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---      |
 +| Revisore 3        |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---      |
 +| Revisore 4        |  ---            |  ---              |  ---              |  ---              |  ---      |
 +| **Totale**        |  **12 **        |  ---              |  ---              |  ---              |  **12 **  |
 +
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 +====== varie ======
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 +regole spicciole di valutazione (ev):
 +
 +''sin(alpha)''
 +
 +prima valuto i parametri passati alla funzione (''alpha''), poi valuto la funzione sui parametri già valutati.
 +
 +
 +''a + b''    equivalente a   ''somma(a,b)''
 +
 +
 +Assegnazioni
 +
 +''variabile  :  contenuto''
 +
 +Prima valuto il contenuto (cuò che è a DX del '':''), poi lo associo alla variabile. 
 +NON valuto mai la variabile (ciò che è a SX del '':'' ), almeno non spontaneamente
 +
 +~~DISCUSSION~~