Consideriamo quattro travi in acciaio, incastrate ad una estremità e caricate con un carico di punta all’altra, di sezione circolare cava e con le seguenti caratteristiche geometriche:
- raggio medio 10 mm
- spessore di parete 1 mm
- lunghezza 1000 mm
Le travi sono tutte uguali a meno di una lieve perturbazione che coinvolge solo il terminale a cui è applicato il carico, che è deviato di una quantità ɛ.
Tale quantità è differente per ciascuna trave e, partendo dalla trave inferiore, vale:
- ɛ = 0.001 mm
- ɛ = 0.01 mm
- ɛ = 0.1 mm
- ɛ = 1 mm
instabilità travi perturbate; l=1000 mm, sezione circolare rm=10mm, spessore di parete 1mm, acciaio.
Struttura di esempio:
- struttura tubolare a schema piramidale.
- base 600×750 mm
- altezza 600 mm
- sezioni tubolari con diametro esterno 12mm, spessore di parete 2 mm; quindi piuttosto snelle.
- alluminio 6060 T6, E=70000 MPA, ys~Rp02=165 MPa
- giunzioni modellate per collasso nodale - continuità di rotazioni e spostamenti.
- appoggiata sui quattro vertici della base, con posizionamento isostatico.
- caricata da un carico verticale di 1000N compressivo applicato al vertice della struttura.
Note sul modello specifico:
- si inseriscono tra i risultati le caratteristiche di sollecitazione su trave “beam orientation vector”, “beam axial force”,…
- la sezione ha (vedi guida elemento) 16 punti di integrazione sulla circonferenza (layers); richiedere in output una “equivalent von Mises stress” con opzione “max & min” sui layer per verificare lo stato tensionale del materiale.
- si rileva un fattore di amplificazione del carico applicato (1000N) a criticità di 8.462
- si rileva un abbassamento del punto di applicazione della forza a 1000N di 0.07020mm
Il sistema è in equilibrio tuttavia non è posizionato nello spazio, quindi sono stati aggiunti i seguenti vincoli di posizionamento:
- due vincoli di posizionamento in direzione x (un carrello in direzione x ed un carrello in direzione y che bloccano le traslazioni in x e la rotazione z).
- un vincolo di posizionamento in direzione y sul nodo centrale.
La struttura ha due piani di simmetria (xz e yz), quindi le deformate sono simmetriche a meno di un moto di corpo rigido non generalmente simmetrico.
La sezione ha area 62.84mm^2 e snervamento compressivo sotto sforzo normale di 10367 N.
Notare che su uno dei montanti è possibile preimpostare una perturbazione della rettilineità di entità 1mm.
piramide_buckling_neotiranti.mfd
Inserisco dei tiranti tra i vertici delle basi e circa metà del corrispondente lato opposto per ognuno di essi, in modo tale da inibire i modi critici di instabilità. I tiranti sono delle sezioni circolari di diametro pari a 2mm.
Lanciamo il calcolo e vediamo se questa soluzione risulta migliorativa. Il carico critico si alza a 1000N * fattore 12.67, quindi i tiranti sono efficaci nel supportare i montanti della struttura, in quanto, invece di un carico critico di 8462N (caso precedente), il primo fenomeno instabile si verifica a 12670N.
La massa è aumentata in maniera risibile, al massimo il problema sono gli ingombri aggiuntivi.
L'efficacia di tale irrobustimento è confermata dal caricamento non lineare.
piramide_buckling_neopannelli.mfd
Qui è stato aggiunto un supporto consistente in una pannellatura sottile (0.8mm), peraltro di massa relativa non trascurabile (2kg aggiuntivi rispetto agli 1.17kg della struttura originaria). C'è collasso nodale ovunque, quindi i giunti tra le travi sono con continuità di spostamento e rotazione e non è modellata una deformabilità propria del giunto. In particolare i pannelli sono considerati ad esempio saldati sulla superficie delle aste tubolari sempre con continuità di spostamento e rotazione.
L'irrigidimento è consistente, in quanto l'abbassamento si riduce a 0.03354 mm sotto i 1000N di carico. Il primo carico critico si è tuttavia abbassato a soli 1000N * fattore 3.527; ad entrare in instabilità è un pannello e ciò potrebbe non essere critico per la struttura sottostante vera e propria. Quindi l'inserimento dei pannelli fornisce dei modi di instabilità che sono più bassi di quelli in assenza dei pannelli stessi! In pratica vedo che tutti i primi 10 modi propri di instabilità coinvolgono solamente i pannelli; ciò è confortante in quanto è presumibile che la struttura sotto non dovrebbe cedere su quei carichi.
Al fine di andare ad analizzare la condizione di criticità della struttura, procedo con un calcolo non lineare con abbassamento imposto di 5mm suddiviso su 1000 step.
Il solutore esce con codice di errore 2004 appena raggiungo il carico critico di pannello. Per procedere comunque utilizzo l'opzione
LOADCASES -> PROPERTIES -> SOLUTION CONTROL -> NON-POSITIVE DEFINITE.[ON]
che inibisce il fermo del solutore in caso di matrice (quasi) singolare.
Procedendo a spostamento imposto, ottengo soluzioni in equilibrio stabile fino a circa 405000 N; si nota in particolare che la pannellatura, pur ampiamente deformata secondo modi instabili, riesce ancora a stabilizzare le travi della struttura piramidale.
In una struttura complessa e pannellata (come ad esempio una carrozzeria) i pannelli sono oggetti che vanno subito in instabilità, soprattutto se non sono pretensionati. Tuttavia il fatto che un pannello vada in instabilità non vuol dire immediatamente che la struttura sia inaffidabile, sicuramente è un campanello d'allarme ma posso comunque svolgere un calcolo non lineare di questo tipo con perturbazione indotta, ed andare a studiare lo stato di sicurezza della struttura che ha sottoinsiemi già andati in instabilità in quanto la parte della struttura ancora stabile trattiene questi sottoinsiemi dai loro spostamenti eccessivi.