Taglio in sezioni sottili chiuse
Applicazione di Jourawsky su sezioni sottili aperte. Procedura per la determinazione del parametro incognito $\tau_c t_c$.
Energia potenziale elastica di un concio di trave in taglio/torsione, $\tau \equiv \tau_{zs}$ con $s$ ascissa curvilinea a scorrere sulla parete sottile a partire dal punto di taglio C.
Definizione $\tau(s)$ sui tratti della sezione in parete sottile $$ \tau\left(s \right )t\left(s \right )=\iint_{A^\star}\frac{d \sigma_z}{dz} d A - \tau_C t_C = \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) d \cdot - \tau_C t_C $$
Suppongo qui $\sigma_z$ uniforme lungo lo spessore (stato di taglio membranale).
Energia associata alla combinazione taglio / momento torcente indotto dal carico traverso se applicato con braccio $d$ rispetto al centro di taglio
$$ U = \oint \frac{\tau^2(s)}{2G} t(s) ds=\oint \frac{\left( \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) d \cdot - \tau_C t_C \right)^2}{2G} t(s) ds =\frac{1}{2}T_y v_C + \underbrace{ \frac{1}{2} \underbrace{T_y d}_{M_t} \theta}_{\geq 0} $$ ove $v_C$ è lo spostamento in direzione y del centro di taglio
Essendo l'energia relativa al momento torcente $\geq 0$, il caso a $d$ nullo è un minimo dell'energia potenziale elastica.
$$ \frac{\partial U}{\partial t_C \tau_C} = 0 $$
$$ \frac{\partial U}{\partial \left(\tau_C t_C \right )} = \oint \frac{ +2\left( \tau_C t_C \right) - 2 \left( \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) \;d \cdot \right) }{2G} t\; ds =0 $$ e quindi $$ \tau_C t_C = \frac{ \oint \frac{ \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t \;d \cdot }{G} t\; ds }{\oint \frac{ t }{G} \; ds } $$