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Carico nodale equivalente
L’elemento triangolare, considerando il problema piano ad un istante di tempo preciso (dipendenza solo da $x$ e $y$), può essere soggetto a carichi di diversa natura:
- Carico distribuito di superficie ($s_x,s_y$);
- Carico distribuito di volume ($q_x, q_y$);
- Carico distribuito di spigolo (solitamente non considerato);
- Carico concentrato nodale ($P_x, P_y$) che nel caso bidimensionale coincide con i carichi di spigolo;
Sia dato un carico distribuito di volume in componenti $q_x,q_y$ applicato ai punti interni di un elemento triangolare CST.
Ai lati dello stesso elemento sono applicate delle azioni distribuite di superficie $s_x, s_y$, eventualmente definite in termini di una pressione distribuita $p$ e di un'azione tangenziale $q$ e successivamente ridotte a componenti secondo il sistema globale.
Si ammette inoltre la presenza di carichi esterni concentrati $P$
$$ \boldsymbol{P} = \begin{bmatrix} P_{ix}\\ P_{iy}\\ P_{jx}\\ P_{jy}\\ P_{kx}\\ P_{ky} \end{bmatrix} $$
Occorre ridurre tutti i carichi distribuiti ad un unico carico $F$, le cui componenti le ipotizziamo concentrate sui nodi dell'elemento. Si avranno due componenti per ogni nodo.
$$ \boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} F_{ix}\\ F_{iy}\\ F_{jx}\\ F_{jy}\\ F_{kx}\\ F_{ky} \end{bmatrix} $$
Tale procedimento avviene tramite considerazione di tipo energetico, ovvero per ricondurmi ad $F$ si ricorre al principio dei lavori virtuali. I carichi concentrati nodali $F$ devono compiere il medesimo lavoro che compierebbero quelli distribuiti e concentrati ($q,s,P$) per ogni spostamento. Definisco quindi il generico spostamento virtuale dei nodi dell'elemento $\delta \boldsymbol{d}$ (vettore a sei componenti). Tale vettore non ha particolari vincoli, in quanto i nodi sono liberi.
A fronte dello spostamento virtuale $\delta \boldsymbol{d}$ dei nodi dell'elemento, si induce un campo di spostamenti interno $\delta \boldsymbol{u}$ pari a
$$ \underbrace{ \begin{bmatrix} \delta u (x,y)\\ \delta v (x,y) \end{bmatrix} }_{\delta \boldsymbol{u}(x,y)} = \underbrace{ \begin{bmatrix} N_i & 0 & N_j & 0 & N_k & 0 \\ 0 & N_i & 0 & N_j & 0 & N_k \end{bmatrix} }_{\boldsymbol{\mathrm{N}}(x,y)} \underbrace{ \begin{bmatrix} \delta u_i \\ \delta v_i \\ \delta u_j \\ \delta v_j \\ \delta u_k \\ \delta v_k \end{bmatrix} }_{\delta \boldsymbol{d }} $$
Dove il primo membro corrisponde al vettore degli spostamenti virtuali in direzione x e y.
Il lavoro virtuale di tali azioni concentrate e distribuite è
$$ \delta W = \delta\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P} + \iint_{\mathrm{area}} \begin{bmatrix} \delta u & \delta v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_x \\ q_y \end{bmatrix} tdA + \int_{\mathrm{perim.}} \begin{bmatrix} \delta u & \delta v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_x \\ s_y \end{bmatrix} tdl $$
Dove il primo addendo corrisponde al lavoro virtuale delle forze concentrate applicate, il secondo è dovuto al lavoro virtuale delle azioni di volume e infine il terzo corrisponde al lavoro virtuale delle forze di superficie. Con t spessore supposto costante.
$$ \delta W = \delta\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}} \underbrace{ \left( \boldsymbol{P} + \iint_{\mathrm{area}} \boldsymbol{\mathrm{N}}^{\mathrm{T}} \begin{bmatrix} q_x \\ q_y \end{bmatrix} tdA + \int_{\mathrm{perim.}}\boldsymbol{\mathrm{N}}^{\mathrm{T}} \begin{bmatrix} s_x \\ s_y \end{bmatrix} tdl \right)}_{\boldsymbol{F}} $$
da cui la definizione di forze nodali equivalenti $ \boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} F_{ix} & F_{iy} & F_{jx} & F_{jy} & F_{kx} & F_{ky} \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} $ ; tale equivalenza è definita in termini di egual lavoro virtuale su di uno spostamento virtuale generico. Ovvero deve valere per ogni spostamento virtuale.
La singola componente di $\boldsymbol{F}$ è definibile come il lavoro delle forze applicate all'elemento sul campo di spostamenti indotto da una modulazione unitaria di uno dei gradi di libertà; si ottiene ad esempio
$$ X_j = P_{x,j} + \iint_{\mathrm{area}} q_x N_j(x,y) t dA + \int_{\mathrm{ij}} s_x N_j(x,y) tdl + \int_{\mathrm{jk}} s_x N_j(x,y) tdl + \int_{\mathrm{ki}} s_x N_j(x,y) tdl $$
ove gli ultimi tre integrali sono da svolgersi scorrendo sui lati $\mathrm{ij}$,$\mathrm{kj}$, $\mathrm{ki}$.
Nel caso $q_x$ o $s_x$ risultino costanti è possibile estrarli dagli integrali ed utilizzare le proprietà integrali della funzione di forma $N_j$ associata al nodo $\mathrm{j}$
$$ \frac{ \iint_{\mathrm{area}} N_j(x,y) dA }{A} = \frac{1}{3} $$
$$ \frac{ \int_{\mathrm{ij}} N_j(x,y) dl }{l^{\mathrm{ij}}} = \frac{ \int_{\mathrm{jk}} N_j(x,y) dl }{l^{\mathrm{jk}}} = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{ \int_{\mathrm{ki}} N_j(x,y) dl }{l^{\mathrm{ki}}} = 0 $$
ove $l^\mathrm{ij}$, $l^\mathrm{jk}$ e $l^\mathrm{ki}$ sono le lunghezze degli associati lati.
Si ottengono quindi le relazioni semplificate descritte nel paragrafo seguente.
Caso particolare: azioni distribuite uniformi e interpretazione ad aree di influenza
Consideriamo uno spostamento virtuale del seguente tipo, in cui solo il nodo $j$ si muove nella sola direzione $x$.
Il lato $ik$, per qualunque azione su di esso applicata, non da alcun contributo al lavoro virtuale poichè non subisce spostamento. Se $q_x$ e $q_y$, come anche $s_x$ e $s_y$, sono costanti, posso allora considerare non tanto la loro distribuzione, quanto la loro risultante. Tali risultanti nel caso delle $s_x$ e $s_y$ le considero applicate ai punti medi dei lati che subiscono spostamento, mentre per quanto riguarda le $q_x$ e $q_y$ le considero applicate al baricentro.
Il lavoro virtuale che ciascuna di queste forze compie sarà pari alla forza per l'area su cui agiscono, moltiplicata per lo spostamento che subisce il punto d'applicazione in cui sono applicate le forze risultanti.
Poichè lo spostamento imposto al nodo $j$ è unitario in direzione $x$, quello compiuto dai punti di centro lato, in cui è applicata $s_x$ sarà pari ad 1/2, mentre quello compiuto dal baricentro, in cui è applicata $q_x$ è pari ad 1/3. Quindi il lavoro complessivo sarà la somma di tutti questi lavori.
Il carico su di un nodo può essere pensato come distribuito su di un'area di riferimento e viceversa. Posso quindi definire un carico nodale equivalente definendo delle aree di pertinenza di ogni singolo nodo (nel caso di un tetraedro saranno volumi di influenza).
C'è perfetta equivalenza tra un carico concentrato sul nodo e un carico distribuito sulla corrispondente area di pertinenza (o sul lato che delimita tale area).
Si preda in considerazione 1/3 dell'area dell'elemento triangolare prossima al nodo di interesse e si calcoli cosi la forza da applicare al suddetto nodo per avere lo stesso lavoro in corrispondenza di uno stesso spostamento virtuale unitario.
Tale modello ad aree di influenza nodale non risulta coerente con la definizione energetica nel caso di carichi variabili nello spazio, ad esempio ad andamento lineare in $x$ o $y$; l'errore indotto tuttavia diminuisce con la dimensione caratteristica degli elementi.
Si prenda in esame il seguente esempio riportato in figura.
Si può dire che per via dell'equivalenza implicita tra carico concentrato e carico distribuito sull'area di influenza, nel FEM tutti i carichi concentrati sono visti come distribuiti sull'area di influenza. Di conseguenza non esistono spostamenti infiniti anche se si applica il carico puntuale.
La forza nodale complessiva sarà la somma delle risultanti delle singole azioni pesate in base agli spostamenti dei rispettivi punti di applicazione.
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