INTRODUZIONE
Considero una struttura meshata e un elemento avente le sue funzioni di forma $N$. Considero la funzione di forma associata ad un nodo, se per esempio lo sollevassi di una quantità unitaria avrei comunque campi di spostamenti su tutti gli elementi che concorrono al nodo. Con tali imposizioni si riesce ad arrivare alle funzioni di forma dell'intera struttura, le quali sono lineari a tratti.
Si prenda in esame una struttura semplice formata da 3 elementi e 5 nodi.
Numerazione per i nodi globali di struttura: $1,2,3,4,5$.
Si potrebbe scrivere anche una tabella che fornisce l'Input al Marc tramite una numerazione locale, come riportato di seguito. Ciò permette di definire le informazioni sul dominio elastico.
Riprendendo l'immagine della struttura, il carico esterno $P$ applicato al nodo $2$ si scompone in $P_x$ e $P_y$ (lungo le direzioni $x$ e $y$ che corrispondono ai 2 gradi di libertà nodali). I vincoli presenti sono di tipo: cerniera e carrello. Pertanto non è previsto il grado di libertà associato alla rotazione dei nodi. Gli elementi triangolari nel piano e tetraedrici nello spazio non hanno il grado di libertà associato alla rotazione. Di conseguenza non è possibile applicare un carico (una coppia) che compierebbe lavoro sul grado di libertà non previsto.
Si considera l'equilibrio dei nodi
Si prenda in esame il nodo $2$ in direzione $x$. A tal nodo concorrono due elementi:
- $Elemento 1$, il cui nodo $k-esimo$ è il $2$
- $Elemento 2$, il cui nodo $i-esimo$ è il $2$
Al nodo $2$ è applicata l'azione $P_x$ (tale azione potrebbe anche derivare da azioni distribuite sull'$Elemento 1$ e sull'$Elemento 2$, che sono poi state ridotte ad un'azione concentrata sul nodo)
Dove con la linea continua si indica l'elemento indeformato, mentre con la linea tratteggiata si indica l'elemento deformato.
Supponendo di avere un vettore spostamento $δ$ (composto da 10 elementi che definisce lo spostamento per tutti i nodi secondo la numerazione globale)
$$ \boldsymbol{δ} = \begin{bmatrix} u_{1}\\ v_{1}\\ u_{2}\\ v_{2}\\ u_{3}\\ v_{3}\\ u_{4}\\ v_{4}\\ u_{5}\\ v_{5}\\ \end{bmatrix} $$
Si va alla ricerca delle rispettive deformate. Esiste un $Sistema$ $di$ $Forze$ (frecce blu) che consente all'$Elemento 1$ di rimanere in quella configurazione deformato.
Ogni elemento è caratterizzato da una matrice rigidezza. Pertanto per l'$Elemento 1$ si ha:
Analogamente si ottiene la stessa matrice per gli altri elementi.
Se si moltiplica la matrice rigidezza per gli spostamenti dei nodi dell'$Elemento 1$ definiti dal seguente vettore:
$$ \boldsymbol{ε} = \begin{bmatrix} u_{1,i}\\ v_{1,i}\\ u_{1,j}\\ v_{1,j}\\ u_{1,k}\\ v_{1,k}\\ \end{bmatrix} $$
es: il primo elemento del vettore corrisponde allo spostamento $x$ dell'$i-esimo$ nodo dell'$Elemento 1$
Si indica con $U$ e $V$ rispettivamente le azioni in direzione $x$ e in direzione $y$. prodotto matrici
Per quanto riguarda il prodotto della prima riga si ottiene la $U$ da applicare all'$i-esimo$ nodo per l'$Elemento 1$, al fine di mantenere deformato l'$Elemento 1$. Analogamente per la seconda riga si ottiene la $V$ da applicare all'$i-esimo$ nodo dell'$Elemento 1$, per mantenere l'$Elemento 1$ deformato.
Per l'$Elemento 1$ il nodo globale $2$ è il $k-esimo$, mentre per l'$Elemento 2$ è l'$i-esimo$.
Si ottiene quindi la situazione in figura:
Il vettore di forza (blu) che è da applicare al nodo $k$ dell'$Elemento 1$, a fronte della configurazione deformata, è definito nelle componenti $x$ e $y$ degli ultimi elementi del vettore a primo membro. Sul nodo $2$, per il principio di azione e reazione, è applicata una forza uguale e contraria. Allo stesso modo, per avere l'$Elemento 2$ deformato , bisogna applicare al nodo $i-esimo$ un vettore di forza (verde) come in figura.
In definitiva, per azione e reazione, si ha sul nodo $2$ una forza uguale e contraria.
EQUILIBRIO NODO 2 IN DIREZIONE X
Il nodo $2$ è soggetto ad un carico esterno e alle reazioni elastiche, funzioni della deformazione. Esiste una configurazione deformata tale che il carico esterno e le reazioni elastiche siano in equilibrio. L'azione da applicare al nodo $k$ dell'$Elemento 1$ per mantenerlo deformato è:
$U_{2,1} = a_{51}u_4 + a_{52}v_4 + a_{53}u_5 + a_{54}v_5 + a_{55}u_2 + a_{56}v_2$
Il nodo $2$ riceve per azione e reazione dall'$Elemento 1$ $-U_{2,1}$. Sarà anche presente $-U_{(2,i),2} ≡ -U_{2,2}$
$-U_{2,2} = b_{11}u_2 + b_{12}v_2 + b_{13}u_5 + b_{14}v_5 + b_{15}u_3 + b_{16}v_3$
L'$Elemento 3$ non contribuisce all'equilibrio del nodo $2$ poichè non lo tocca.
All'equazione di equilibrio di un nodo concorrono le reazioni elastiche solo degli elementi che toccano il nodo.
In definitiva l'equazione di equilibrio del nodo $2$ risuta:
$P_x - U_{2,2} - U_{2,1} = 0$
Come si nota, l'equilibrio al nodo $2$ è influenzato dai nodi $3,4,5$.
Si riscrive U_{2,1} e U_{2,1} come somme contenenti termini della matrice rigidezza dell'$Elemento 1$ e spostamenti $x$ e $y$ dei nodi che concorrono sull'$Elemento 1$.
$U_{2,1} = 0*u_3 + 0*v_3 + a_{51}u_4 + a_{52}v_4 + 0*u_1 + 0*v_1 + a_{53}u_5 + a_{54}v_5 + a_{55}u_2 + a_{56}v_2$
$U_{2,2} = 0*u_1 + 0*v_1 + b_{11}u_2 + b_{12}v_2 + b_{15}u_3 + b_{16}v_3 + 0*u_4 + 0*v_4 + b_{13}u_5 + b_{14}v_5$
Si può quindi riscrivere la $P_x$ (dove la $P_x$ coincide con $U_2$) nel seguente modo:
$P_x = U_2 = 0*u_1 + 0*v_1 + (a_{55}+b_{11})u_2 + (a_{56}+b_{12})v_2 + b_{15}u_3 + b_{16}v_3 + a_{51}u_4 + a_{52}v_4 + (a_{53}+b_{13})u_5 + (a_{54}+b_{14})v_5$
Allo stesso modo si definiscono le altre equazioni (sistema 10×10)
METODO DELL'ASSEMBLAGGIO
L'assemblaggio nasce per la scrittura di equazioni di equilibrio per i singoli gradi di libertà
Considero l'$Elemento 1$ la cui matrice rigidezza è (come già visto in precedenza):
Si hanno indici di riga e di colonna locali: $1,2,3,4,5,6$. I nodi locali $i,j,k$ dell'$Elemento 1$ corrispondono a $4,5,2$ globali.
La prima riga contiene i contributi alle reazioni elastiche sul nodo $4$.
Le righe della matrice dell'elemento sono legate alle equazioni di equilibrio dei nodi dell'elemento stesso, le colonne sono invece associate a specifiche incognite di spostamento $u$ e $v$.
I gradi di libertà $1$ e $2$ sono gli spostamenti $x$ e $y$ del nodo $i$ (≡$4$). Nel sistema globale sono i gradi di libertà $7$ e $8$.
La 3º e 4º colonna della matrice dell'$Elemento 1$ vengono moltiplicate per gli spostamenti $x$ e $y$ del nodo $j$(≡$5$) e corrispondono ai gradi di libertà $9$ e $10$ globali.
Infine i termini della 5º e 6º colonna della matrice vengono moltiplicati per gli spostamenti $x$ e $y$ del nodo $k$(≡$2$). Corrispondono ai gradi di libertà globali $3$ e $4$.
Si può associare alla numerazione locale, che va da 1 a 6, una numerazione globale incompleta che va da 1 a 10. Tale operazione la si fa per tutti gli elementi delle matrici associate all'$Elemento 1$, all'$Elemento 2$ e all'$Elemento 3$.
Quindi per la matrice riferita all'$Elemento 1$ si ha:
In generale se $n$ è un generico nodo, i gradi di libertà del nodo $n$ nella matrice globale sono associati agli indici:
- $2n-1$ lungo $x$
- $2n$ lungo $y$
Per la matrice dell'$Elemento 2$ si ha:
Per la matrice dell'$Elemento 3$ si ha:
Si ottiene cosi la matrice rigidezza globale. Questa è una matrice che moltiplicata per gli spostamenti di struttura fornisce le forze esterne da applicare alla struttura per mantenerla deformata. La matrice “parte inizialmente” nulla (configurazione zero), a causa dell'assenza delle reazioni elastiche. Pertanto un qualsiasi spostamento può avvenire in configurazione zero. Aggiungendo rispettivamente:
- le reazioni elastiche dell'$Elemento 1$ ($a_{ij}$)
- le reazioni elastiche dell'$Elemento 2$ ($b_{ij}$)
- le reazioni elastiche dell'$Elemento 3$ ($c_{ij}$)
si ottiene cosi la reazione elastica della struttura come somma delle reazioni elastiche dei singoli elementi.
VINCOLAMENTO
Il sistema fino ad ora ottenuto tiene conto delle reazioni elastiche e dei carichi. Bisogna ora aggiungere le informazioni provenienti dai vincoli:
- Cerniera nel nodo $4$
- Carrello nel nodo $1$
In assenza di vincoli esistono ∞³ soluzioni legate ai moti di corpo rigido di un corpo sul piano. Per poter aggiungere i vincoli si procede nel seguente modo: si osserva che sul nodo $4$ è presente una cerniera, di conseguenza lo spostamento in direzione $x$ e $y$ è nullo ($u_4=0$ ; $v_4=0$). Analogamente nel nodo $1$, per via del carrello, si dovrà avere che lo spostamento in direzione $y$ sia nullo ($v_1=0$). Pertanto gli spostamenti sopracitati non saranno spostamenti incogniti.
Si prenda l'equazione di equilibrio in direzione $x$ del nodo $4$ (quello vincolato). Essendo la traslazione in $x$ impedita dalla cerniera, questa equazione risulta essere inutile, poichè qualunque disequilibrio viene impedito dal vincolo. Si elimina cosi l'equazione del nodo $4$, e al suo posto si scrive un'equazione cinematica del tipo:
$1 * u_4 = ū_4$
In questo modo ho perso la simmetria della matrice (una matrice simmetrica associa algoritmi più efficienti). Per ripristinare tale simmetria si lavora sulla 7º colonna. La 7º colonna della matrice rigidezza è la seguente:
$0 * u_4$ (nella 1º equazione)
$0 * u_4$ (nella 2º equazione)
. . .
$a_{51} * u_4$ (nella 3º equazione)
$a_{61} * u_4$ (nella 4º equazione)
Essendo $u_4 = ū_4$, questi sono tutti termini noti.
Si spostano quindi questi elementi della 7º colonna a secondo membro (in quanto termini noti), cambiandoli di segno dopo averli moltiplicati per $ū_4$.
Cosi facendo si ottiene nuovamente la simmetria della matrice.
Si effettua la stessa operazione per i gradi di libertà 2 e 8 (sugli altri due vincoli). In questo modo si ottiene il sistema di equazioni con i vincoli imposti.
Lucidi sparsi
Esempio svolto