Nota: le matrici sono indicate mediante segno sotto il simbolo, ad es: $\underline{K}$

Fatte le dovute considerazioni ( Quadratura Gaussiana ) sul metodo di integrazione numerica con cui affrontare l’integrale che definisce la matrice di rigidezza dell’elemento isoparametrico 4 nodi, ci si propone di affrontare tale calcolo con una quadratura gaussiana a due punti di campionamento per asse, ovvero si considerano due punti sull’asse $ξ$ e due su $η$, procedendo come segue:

L’integrale da svolgere è:

$$\underline{K}=\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\underline{B}^T(\xi,\eta)\ \underline{D}\ \underline{B}(\xi,\eta)\left | J \right |_{(\xi,\eta)}d\xi d\eta$$

per semplicità di trattazione, si pone:

$$\underline{B}^T(\xi,\eta)\ \underline{D}\ \underline{B}(\xi,\eta)\left | J \right |_{(\xi,\eta)} = \underline{f}(\xi,\eta)$$

In questo modo:

$$\underline{K}\simeq\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\underline{f}(\xi,\eta)d\xi d\eta$$

Si consideri prima l’integrale più interno, nella variabile $ξ$, da calcolare per ogni $η$: utilizzando una regola a due punti di campionamento, l’integrale in questione viene approssimato

$$\int_{-1}^{1}\underline{f}(\xi,\eta)d\xi \simeq 1*\underline{f}\left ( -\frac{1}{\sqrt{3}}, \eta \right )+1*\underline{f}\left ( +\frac{1}{\sqrt{3}}, \eta \right )$$

in cui sono già stati inseriti i valori ottimali per il campionamento a due punti di Gauss per quanto riguarda le coordinate del campionamento ed i pesi. Allora si ottiene:

$$\underline{K}\simeq\int_{-1}^{1}\left [ 1*\underline{f}\left ( -\frac{1}{\sqrt{3}}, \eta \right )+1*\underline{f}\left ( +\frac{1}{\sqrt{3}}, \eta \right ) \right ]d\eta$$

Con la stessa regola si svolge anche l’integrale rimasto, in $η$ e si ottiene:

$$\underline{K} \simeq 1*\underline{f}\left ( -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right ) + 1*\underline{f}\left ( +\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right ) + 1*\underline{f}\left ( -\frac{1}{\sqrt{3}}, +\frac{1}{\sqrt{3}}\right ) + 1*\underline{f}\left ( +\frac{1}{\sqrt{3}}, +\frac{1}{\sqrt{3}}\right )$$

Si noti che ciascun peso dell’integrazione approssimata in $ξ$ viene moltiplicato per ciascun peso dell’integrazione approssimata in $η$, cosa non evidente dalla trattazione compiuta, poiché i pesi sono tutti unitari. In questo modo è stato stimato l’integrale che dà luogo alla matrice rigidezza dell’elemento ed in cui $\underline{f}\left ( \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right )$ sono contributi alla matrice di rigidezza campionati nei solo quattro punti di Gauss: l’integrando rappresentato sinteticamente da $\underline{f}(\xi,\eta)$ che contiene, ad esempio, l’inverso della Jacobiana, viene valutato in quattro punti che non sono i vertici dell’elemento, bensì i punti di Gauss stessi. I punti di Gauss dell’elemento sono quattro, se si utilizza una regola di integrazione a due punti per asse e l’elemento è piano (come nel caso dell’isoparamentrico 4 nodi); nel caso dell’esaedro 8 nodi si hanno tre assi e, utilizzando una regola a due punti di Gauss per asse, si ottengono 8 punti di integrazione. Si può osservare che, con questa tecnica di integrazione, non è necessario che la matrice Jacobiana sia invertibile su tutto l’elemento, ma basta che lo sia nei soli quattro punti interni di campionamento, poiché è solo in corrispondenza di essi che si valuta. Questa considerazione ha due risvolti interessanti:

- se, ad esempio, la matrice Jacobiana dovesse essere singolare lungo un lato, non sarebbe un problema, dal momento che non viene calcolata lungo nessun lato.

- È grazie al posizionamento dei punti di Gauss che è possibile fare degenerare un quadrilatero in un triangolo, facendo collassare un lato in un punto, così come un esaedro può diventare una piramide a base quadrata, facendo collassare un’intera faccia in un punto.

Sebbene sia vero che il lato che collassa in un punto passi dall’avere una lunghezza finita ad averla nulla (conseguenza legata alla singolarità della matrice Jacobiana lungo il lato stesso), il punto in questione non è un punto di Gauss, i quali saranno tutti e quattro interni e dunque non è un punto di interesse. Occorre però porre attenzione a non raggiungere la situazione estrema in cui, continuando a degenerare il quadrilatero si arriva ad una situazione del tipo:

Cosa non gradita, dal momento che, in questo modo, si annulla lo Jacobiano in corrispondenza del punto di Gauss, dando luogo a problemi.