Elemento 10 MSC.Marc v2013.1

Elemento 95 MSC.Marc v2013.1 (variante per casi flessionali)

gdl. nodali: spostamento assiale $u$, spostamento radiale $v$, spostamento circonferenziale $w$ identicamente nullo. coordinate: assiale $a \equiv x$ e radiale $r \equiv y$; in MSC.Marc infatti $x$ è l'asse di assialsimmetria supposto del sistema.

base elemento isoparametrico 4 nodi, def. piana; deformazioni

$$\epsilon_r \equiv \epsilon_y = \frac{\partial v}{\partial r}$$

$$\epsilon_a \equiv \epsilon_x = \frac{\partial u}{\partial a}$$

$$\gamma_{ar} \equiv \gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial a}+\frac{\partial u}{\partial r}$$

entro piano radiale-assiale come da elemento in deformazione (o tensione) piana.

Deformazione circonferenziale

$$ \epsilon_{\theta} = \frac{v}{r} $$

Matrice B di legame deformazione

$$ \begin{bmatrix} \epsilon_a\\ \epsilon_r\\ \gamma_{ar}\\ \epsilon_{\theta} \end{bmatrix} = \underbrace{ \begin{bmatrix} \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ 0 &\frac{N_1\left(\xi,\eta \right )}{r\left(\xi,\eta \right )}& 0 &\frac{N_2\left(\xi,\eta \right )}{r\left(\xi,\eta \right )}& 0 &\frac{N_3\left(\xi,\eta \right )}{r\left(\xi,\eta \right )}& 0 &\frac{N_4\left(\xi,\eta \right )}{r\left(\xi,\eta \right )}& \end{bmatrix} }_{\mathrm{B}} \begin{bmatrix} u_1\\ v_1\\ u_2\\ v_2\\ u_3\\ v_3\\ u_4\\ v_4 \end{bmatrix} $$

i termini $\cdot$ sono presi dalla matrice B dell'elemento in deformazione piana, mentre $r(\xi,\eta )=N_1(\xi,\eta ) r_1 +N_2(\xi,\eta ) r_2 + N_3(\xi,\eta ) r_3 +N_4(\xi,\eta ) r_4$ è la coordinata radiale (o $y$) del punto interno all'elemento.

Matrice di legame elastico

$$ \begin{bmatrix} \sigma_z\\ \sigma_r\\ \tau_{zr}\\ \sigma_{\theta} \end{bmatrix} = \underbrace{ \frac{E}{(1+\nu)(1-2 \nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 & \nu\\ \nu & 1-\nu & 0 & \nu\\ 0 & 0 & (1-2\nu)/2 & 0\\ \nu &\nu & 0 & 1-\nu \end{bmatrix} }_{\mathrm{D}} \begin{bmatrix} \epsilon_z\\ \epsilon_r\\ \gamma_{zr}\\ \epsilon_{\theta} \end{bmatrix} $$