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Note per lo studio individuale

• struttura discretizzata in configurazione indeformata precaricata;
• dato un sistema di carichi/vincoli di cui alcuni potenzialmente non omogenei, calcolo lo stato di precarico con un precalcolo lineare elastico. Ottengo in questo caso uno stato tensionale $\underline{\sigma}^0 = \left[\sigma_x^0 \sigma_y^0 \sigma_z^0 \tau_{xy}^0 \tau_{yz}^0 \tau_{zx}^0\right]^T$, che nel caso dell'elemento puntone si riduce ad uno sforzo normale $N^0 = \sigma^0 A$;
• noto il precarico, calcolo la matrice di rigidezza “geometrica” o di “precarico” $K_{G}$ associata a tale condizione di precarico indotta dal sistema di carichi applicati sulla base del lavoro che tale precarico, supposto costante, compie sugli spostamenti infinitesimi a partire dalla configurazione indeformata.
• Il sistema deve essere considerato in grandi rotazioni (funzioni trigonometriche espanse in serie di taylor almeno al secondo ordine) al fine di poter estrarre la matrice di rigidezza “geometrica” o di “precarico”. Tale matrice scala scalando il precarico e quindi i carichi applicati.
• Compongo la matrice di rigidezza dell'elemento non precaricato (matrice di rigidezza relativa all'elasticità del materiale) con la matrice di rigidezza geometrica, scalata per un fattore $\lambda$
• ottengo una matrice di rigidezza combinata nella forma $ K = K_{el} + \lambda K_{G} $ e un sistema di equazioni di perturbazione dell'equilibrio iniziale nella forma $$ \left(K_{el} + \lambda K_{G}\right) \underline{\Delta u} = \underline{\Delta F} $$ ove $\underline{\Delta u}$ è una perturbazione della configurazione iniziale in termini di spostamento, in risposta ad una perturbazione \underline{\Delta F} delle forze esterne.
• nel caso la matrice di sistema risulti singolare, ovvero sia $\lambda_i$ t.c. $$ \det\left(K_{el} + \lambda_i K_{G}\right)=0$$, si ammettono soluzioni in termini di perturbazione agli spostamenti non nulla a fronte di un'assenza di perturbazione delle azioni esterne. Il problema si riduce ad un'estrazione di coppie di autovalori generalizzati $\lambda_i$ e autovettori $\underline{v}_i$ t.c. $$ \left(K_{el} + \lambda_i K_{G}\right) \underline{v}_i = \underline{0} $$.
• tale problema generalizzato agli autovalori/autovettori può essere ricondotto ad un problema agli autovalori “standard” premoltiplicanto per $K_{el}^{-1}$ (dovrebbe risultare invertibile in assenza di moti di corpo rigido residui) e procedendo ad un'inversione della forma dell'autovalore, ottenendo dopo semplici passaggi $$ \left( K_{el}^{-1} K_G - \mu_i I \right) \underline{v} = \underline{0} $$ ove $\mu_i = -\frac{1}{\lambda_i}$
• I fattori $\lambda_i$ sono fattori di amplificazione del precarico (e quindi del sistema di carico che lo ha generato) che rendono singolare la matrice di sistema e aprono a soluzioni distinte rispetto a quella prevista per evoluzione continua dalla condizione di piccoli carichi.

Forma alternativa implementata in MSC.Marc, in coda ad analisi nonlineari:

• Si considerano due condizioni di equilibrio carico/spostamenti distinte $\underline{P}_0,\underline{u}_0$ e $\underline{P}_1,\underline{u}_1$, tipicamente estratte da due step successivi del caricamento incrementale introdotto per agevolare il N-R.
• Si considerano le due matrici di rigidezza $K_0$ e $K_1$ associate a tali condizioni di carico.
• Si suppone un'evoluzione lineare della matrice di rigidezza con l'evolvere del carico, per cui si associa alla condizione di carico $\underline{P}^\lambda=\underline{P}_0+\lambda \left( \underline{P}_1 - \underline{P}_0 \right)$ la stima della matrice di rigidezza tangente come $K_t^\lambda = K_0 + \lambda \left( K_1 - K_0 \right)$.
• Si procede quindi in maniera analoga alla procedente andando ad impostare il problema agli autovalori generalizzato $$ \left(K_0 + \lambda_i \left( K_1 - K_0 \right)\right) \underline v_i = \underline{0} $$ da cui le coppie di fattore critico di amplificazione $\lambda_i$ e tangente al ramo di soluzione biforcato $\underline{v}_i$. Tale soluzione diventa repentinamente ammessibile in sovrapposizione a quella associata al ramo già percorso una volta raggiunto lo stato di carico $$\underline{P}^i=\underline{P}_0+\lambda_i \left( \underline{P}_1 - \underline{P}_0 \right)$$

Si usa chiamare primo carico critico il primo punto di biforcazione incontrato incrementando i carichi dalla condizione iniziale di sistema scarico (non precaricato). Non è detto sia il carico critico minore.