Shear Locking
Definizione di un elemento non distorto: definisco un elemento non distorto come un elemento in cui lo Jacobiano |J| è uniforme, quindi di conseguenza anche il suo determinante. Impongo una coppia flettente e vado a misurare l’angolo o viceversa, ossia impongo l’angolo e cerco il momento flettente associato. Caso particolare di pura flessione. Imponiamo cosi un angolo (θ/2). Un elemento isoparametrico 4 nodi non può rappresentare la soluzione esatta perché dovrebbe perdere la linearità dei lati sulla deformata (come da figura)
La cosa più simile alla deformata è la deformazione trapezia, sempre con un angolo imposto(θ/2). Quali sono le differenze di questa imposizione? 1)Perdo la deformazione εy(se Poisson=0, errore nullo, caso particolare) ;2) acquisisco una deformazione tagliante che non varia con Poisson, esiste indipendentemente da Poisson . Riassumendo εx è esatta, εy è errata ma è funzione di Poisson (diventa a errore nullo se considero un corpo non Poisson=0) γxy non è nulla e non trascurabile. La differenza tra la soluzione esatta e la soluzione spuria è che presenta lati curvilinei che sommati a quelli rettilinei dell’elemento isoparametrico 4 nodi danno la deformata spuria a caratteristica principale tagliante. Deforma un rettangolo in un parallelepipedo, arco di parabola γxy=(θ/2). L’energia di deformazione viene così sovrastimata essendo la somma di quella esatta e quella dovuta alla componente spuria: tagliante più quella dovuta alla deformazione in y che però tende a zero se Poisson=0. Ho quindi un livello energetico più alto. Per fare un esempio come se avessi una molla che a spostamento imposta mi sovrastima l’energia, mentre a forza imposta la sottostimerebbe.
Le nostre considerazioni valgono sempre a spostamento imposto su tutti i gradi di libertà. Applicando il teorema di Castigliano, trovo le coppie associate alla deformata reale e alla mia deformata supposta e noto una sovrastima del 48%( non trascurabile). L’errore è direttamente proporzionale al rapporto a/b quindi cresce se a»b, dove a rappresenta la lunghezza di base e b l'altezza dell'elemento mesh.
Per confronto anche l’elemento triangolare tre nodi presenta un rapporto fra la coppia misurata con gli elementi finiti e quella esatta pari a 4.5: sovrastimo la rigidezza flessionale e sottostimo le frecce di molto (nella pratica non si fa mai). Definiamo cosi lo SHEAR LOCKING: irrigidimento inappropriato dovuto a una deformazione di taglio. Lo posso tamponare così da poter utilizzare anche modelli con un solo elemento isoparametrico 4 nodi lungo lo spessore. Per stimare l’energia mi servono dei servono dei punti di integrazione con cui campiono le deformazioni. Questi punti vengono chiamati punti di GAUSS.
Procedendo con l’integrazione a due punti per asse, ad esempio, come indicato in figura, ho un irrigidimento dell’elemento che mi porta un contributo di taglio spurio nell’energia U (energia potenziale elastica). Se invece campiono l’elemento a un solo punto per asse, nel centroide, non ho il fenomeno dello Shear Locking “sovrarigidezza”.
Integrazione SELETTIVA (=integrazione piena (full integration) per le componenti epsilon e sigma, integrazione ridotta (sottointegrazione) per le componenti gamma e tau)
Grazie a una integrazione selettiva, speciale, riesco a tamponare il fenomeno.
L’integrazione selettiva si utilizza ancora negli elementi piastra soggetti a flessione.
Perché non uso una semplice integrazione ad un punto di gauss (=sottointegrazione)? Nelle deformazioni secondo modo trapezio della figura seguente
(prima e seconda da sinistra, nella terza gli elementi non sono deformati in trapezi…)
al centroide rilevo εx=0,εy=0, γxy=0. In una integrazione ad 1 punto di gauss tale stato deformativo risulta rappresentativo per l'intero l’elemento, che risulterebbe avere energia potenziale elastica nulla.
Tale condizione è del tutto analoga ai moti di corpo rigido, e ad essi energeticamente assimilabili.
Un elemento sottointegrato quindi deforma in maniera trapezia anche in assenza di carichi esterni, come in assenza di carichi esterni può spostarsi di moto di corpo rigido.
Gli elementi sottointegrati danno vita ai cosiddetti moti di HOURGLASS o moti a clessidra.
Se prendo questa struttura e la vincolo come indicata in figura e applico una F, la struttura non è in grado di reagire elasticamente al carico. In Marc ho elementi chiamati “Reduce Integration” che generano cinematismi interni (moti di Hourglass).
[Nella figura la forza va cambiata di verso e applicata al nodo più vicino]
La deformazione rappresentata in figura vede stato deformativo nullo a tutti i centroidi di elemento; se considerati rappresentativi dell'intero elemento l'energia potenziale elastica di struttura è nulla.
È consigliabile utilizzare un’integrazione a 2 punti per asse negli elementi isoparametrici 4 nodi invece che una integrazione a 3 punti per asse poiché avrei semplicemente un maggiore errore di sovrastima non avendo miglioramenti in termini di prestazione dell’elemento.