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Sia dato un carico distribuito di volume in componenti $q_x,q_y$ applicato ai punti interni di un elemento triangolare CST.

Ai lati dello stesso elemento sono applicate delle azioni distribuite di superficie $s_x, s_y$, eventualmente definite in termini di una pressione distribuita $p$ e di un'azione tangenziale $q$ e successivamente ridotte a componenti secondo il sistema globale. Tali azioni possono variare nello spazio $(x,y)$ e nel tempo $t$.

Si ammette inoltre la presenza di carichi esterni concentrati

$$ \boldsymbol{P} = \begin{bmatrix} P_{xi}\\ P_{yi}\\ P_{xj}\\ P_{yj}\\ P_{xk}\\ P_{yk} \end{bmatrix} $$

applicati ai vertici dell'elemento.

A fronte di uno spostamento virtuale $\delta \boldsymbol{d}$ dei nodi dell'elemento, si induce un campo di spostamenti interno $\delta \boldsymbol{u}$ pari a

$$ \underbrace{ \begin{bmatrix} \delta u (x,y)\\ \delta v (x,y) \end{bmatrix} }_{\delta \boldsymbol{u}(x,y)} = \underbrace{ \begin{bmatrix} N_i & 0 & N_j & 0 & N_k & 0 \\ 0 & N_i & 0 & N_j & 0 & N_k \end{bmatrix} }_{\boldsymbol{\mathrm{N}}(x,y)} \underbrace{ \begin{bmatrix} \delta u_i \\ \delta v_i \\ \delta u_j \\ \delta v_j \\ \delta u_k \\ \delta v_k \end{bmatrix} }_{\delta \boldsymbol{d }} $$

Il lavoro virtuale di tali azioni concentrate e distribuite è

$$ \delta W = \delta\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P} + \iint_{\mathrm{area}} \begin{bmatrix} \delta u & \delta v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_x \\ q_y \end{bmatrix} tdA + \int_{\mathrm{perim.}} \begin{bmatrix} \delta u & \delta v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_x \\ s_y \end{bmatrix} tdl $$

$$ \delta W = \delta\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}} \underbrace{ \left( \boldsymbol{P} + \iint_{\mathrm{area}} \boldsymbol{\mathrm{N}}^{\mathrm{T}} \begin{bmatrix} q_x \\ q_y \end{bmatrix} tdA + \int_{\mathrm{perim.}}\boldsymbol{\mathrm{N}}^{\mathrm{T}} \begin{bmatrix} s_x \\ s_y \end{bmatrix} tdl \right)}_{\boldsymbol{F}} $$

da cui la definizione di forze nodali equivalenti $ \boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} X_i & Y_i & X_j & Y_j & X_k & Y_k \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} $ ; tale equivalenza è definita in termini di egual lavoro virtuale su di uno spostamento virtuale generico.

La singola componente di $\boldsymbol{F}$ è definibile come il lavoro delle forze applicate all'elemento sul campo di spostamenti indotto da una modulazione unitaria di uno dei gradi di libertà; si ottiene ad esempio

$$ X_j = P_{x,j} + \iint_{\mathrm{area}} q_x N_j(x,y) t dA + \int_{\mathrm{ij}} s_x N_j(x,y) tdl + \int_{\mathrm{jk}} s_x N_j(x,y) tdl + \int_{\mathrm{ki}} s_x N_j(x,y) tdl $$

ove gli ultimi tre integrali sono da svolgersi scorrendo sui lati $\mathrm{ij}$,$\mathrm{kj}$, $\mathrm{ki}$.

Nel caso $q_x$ o $s_x$ risultino costanti è possibile estrarli dagli integrali ed utilizzare le proprietà integrali della funzione di forma $N_j$ associata al nodo $\mathrm{j}$

$$ \frac{ \iint_{\mathrm{area}} N_j(x,y) dA }{A} = \frac{1}{3} $$

$$ \frac{ \int_{\mathrm{ij}} N_j(x,y) dl }{l^{\mathrm{ij}}} = \frac{ \int_{\mathrm{jk}} N_j(x,y) dl }{l^{\mathrm{jk}}} = \frac{1}{2} $$

$$ \frac{ \int_{\mathrm{ki}} N_j(x,y) dl }{l^{\mathrm{ki}}} = 0 $$

ove $l^\mathrm{ij}$, $l^\mathrm{jk}$ e $l^\mathrm{ki}$ sono le lunghezze degli associati lati.

Si ottengono quindi le relazioni semplificate descritte nel paragrafo seguente.

Consideriamo uno spostamento virtuale d'esempio

Riduzione a carico nodale equivalente e interpretazione ad aree di influenza nodale

Tale modello ad aree di influenza nodale non risulta coerente con la definizione energetica nel caso di carichi variabili nello spazio, ad esempio ad andamento lineare in $x$ o $y$; l'errore indotto tuttavia diminuisce con la dimensione caratteristica degli elementi.

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