Carichi nodali equivalenti isoparametrico 4 nodi wxmx, wxm

Modello base per analisi warping a torsione base 2d confronto 3d

Modello a fine lezione mud

Materiale utile effetto Vlasov/restrained warping torsion

P.C.J. Hoogenboom, Vlasov torsion theory

prof. Terje Haukaas, Warping Torsion

Si apre il sito di costruzione di macchine nella sezione di progettazione del telaio scaricando i files della lezione odierna riportati sopra (non si utilizzerà “confronto 3d”).
Si implementerà la procedura vista ieri mediante il file maxima (.wxmx) che è già compilato.
In Linux si apre application → education → wxMaxima → File → Open → Downloads (oppure la cartella in cui si trovano i files scaricati) e si apre: carichi_nodali_equivalenti_iso4.wxmx (il file wxmx scaricabile sopra).

Si vuol vedere il risultato della procedura di integrazione, vista al termine della scorsa lezione, fatta su un elemento specifico (con Maxima si può rendere il tutto parametrico per altri elementi).

Innanzitutto si utilizza Kill(all); per pulire la memoria.

Si è tenuto un solo parametro nella procedura, ovvero la lunghezza del lato caricato, per avere un risultato più leggibile nei risultati.
L è lunghezza del lato su cui si applica una pressione di entità P come valor medio e ΔP come valore linearmente variabile sul lato. Poiché L andrà sotto radice lo si pone maggiore di zero:
assume( L>0 );

Un altro parametro è l’inclinazione del lato caricato rispetto alla verticale, indicato con l’angolo α che assumiamo pari a 30°:
alpha:%pi/6;

x e y sono due vettori colonna con delle coordinate che contengono le coordinate dei nodi.
Il comando matrix prende come input una o più liste che devono essere le righe di una matrice. Inserendo una lista si ottiene un vettore colonna trasposto, perciò si fa il trasposto per avere il vettore colonna.
x è funzione di L e di α.

In una stessa figura si visualizzano sia posizioni che forze.
Per introdurre nello stesso grafico oggetti con unità di misura diverse si usa un fattore di scala delle forze: amplification factor che si pone unitario.
ampfac : 1;

Eseguendo tutto il codice fino alla figura (dopo wxplot2d) si arriva ad un elemento quadrilatero a 4 nodi (i,j,k,l) le cui coordinate son date nei vettori colonna definiti sopra. Dei 4 lati solo 1 è caricato con una pressione applicata ed è il lato che va dal nodo j al nodo k. Questo carico non è uniforme ed è applicato in direzione x: è composto da azioni che tirano in direzione x positiva, la cui entità sul nodo k è maggiore che sul nodo j, e lungo il lato ha un andamento lineare ( si possono immaginare delle frecce che tirano l’elemento nella zona delimitata in rosso nella figura). Sul lato caricato si ha Sy = 0. Quindi in j e k si ha P + o – ΔP. La differenza tra i valori in j e k è 2 ΔP. Tramite L ed α si può sperimentare cosa accade se si inclina il lato.

La coordinata associata al nodo k è parametrica in α e L, le altre sono fisse per semplicità. Si definiscono i carichi distribuiti di superficie, ossia di lato che sono sul lato jk. Azione in direzione x variabile in y da P+ ΔP a P- ΔP. Si definiscono le leggi di Sx e Sy su ogni lato dell’elemento, cioè su tutta la superficie intesa come perimetro per spessore. Sono nulle sul lato ij.

sx_ij(x,y) := 0;
sy_ij(x,y) := 0;

Sul lato jk si ha un’azione variabile: p+dp*(y - la quota y del centro del lato)/(metà estensione del lato in direzione y) così vale 1 sul nodo k e -1 sul nodo j. Sy è nullo.

sx_jk(x,y) := p+dp*( y - 1 - L*cos(alpha)/2 )/(L*cos(alpha)/2) ;
sy_jk(x,y) := 0;

Allo stesso modo sono nulle le azioni x e y sui lati kl ed li.

wxplot2d: si deve plottare il perimetro dato per punti, quindi si definisce una funzione che passa per i nodi della figura disegnata come 4 segmenti. In più si aggiunge una seconda funzione in cui si disegna una spezzata che raffigura il carico applicato. Si crea quindi una lista di 2 curve da disegnare: si inizia con la parola discrete che indica la natura per punti della curva seguita da una lista di coordinate x (riempita con gli elementi del vettore x) e di coordinate y. Questa è la curva che definisce l’elemento. Si disegna quindi una seconda curva per punti, in cui le coordinate partono da xy del nodo 2 e, utilizzando l’ampfac con un’unità di misura coerente (poiché sono MPa che si sommano a mm), si ottiene il secondo punto della curva sommando le forze applicate a quel punto. Il primo punto ha coordinate xy del nodo j, il secondo ha xy del nodo j più il contributo dato da Sx sul nodo j. Il terzo punto ha coordinata y del punto k, la coordinata x è invece uguale a quella del nodo k più la componente legata a Sx. Anche qui si mette ampfac per correggere l’unità di misura. Si utilizza quindi lo stesso procedimento sia per le coordinate x che per le coordinate y di ciascun punto: si utilizzano le quote dei nodi più le quote Sx o Sy rispettivamente moltiplicate per ampfac definendo la poligonale tramite 4 punti. Queste curve sono funzione di L, p, dp che nelle forme sopra sono in forma parametrica. Poiché è impossibile disegnare un grafico mantenendole in forma parametrica le si valutano per precisi valori di L, p e dp; in particolare L=4, p=1, dp=0.5.
Fatto ciò i termini della lista sono ricondotti a numeri e quindi plottabili.
Si inserisce una legenda: la prima curva descrive l’elemento e la seconda Sx ed Sy. Si devono successivamente imporre le coordinate del grafico, poiché altrimenti il programma assesta automaticamente gli assi ed un lato non risulta facilmente visibile: si impone pertanto x da 0 a 10 ed y da 0 a 10. Il singolo apice davanti a y ed x serve per non valutare ciò che segue: erano già stati utilizzati per definire i vettori colona che contengono le coordinate ma in questo caso si intendono gli assi cartesiani (se non si mette l’apice si hanno errori di sintassi).

E’ parametrico quindi se si vuole vedere cosa succede se dp=0 lo si sostituisce e si vede che l’azione è uniforme. Se dp=1 l’azione si annulla in j.
Si può anche vedere cosa succede se L è più lungo.
Si definiscono le funzioni di forma per l’isoparametrico a 4 nodi: N1, N2, N3, N4 (o analogamente Ni, Nj, Nk, Nl).

Si definisce la matrice Nmat di 2 righe e 8 colonne che contiene le funzioni di forma nella forma alternata coordinata x e coordinata y. (Se si è messo Ni, Nj, Nk, Nl al posto di N1, N2, N3, N4 li si sostituisce coerentemente anche qui).
Si definisce così la matrice Nmat in funzione di ξ ed η.

Poiché è comodo avere le funzioni di forma, anziché in questa matrice, in forma vettore, si definisce anche un Nvec vettore riga i cui elementi sono N1, N2, N3, N4 (oppure Ni, Nj, Nk, Nl).

Qui si è usata la notazione define anziché :=, poiché si vuole che dopo aver valutato l’ espressione la si assegni al fine di definire la funzione. Quindi Nvec è definito non come N1(ξ , η), N2 (ξ , η), N3(ξ , η), N4(ξ , η) bensì già con le forme sostituite delle stesse. Questo è comodo ad esempio per derivare. Si ha dunque un vettore di 4 elementi, e se lo si premoltiplica per il vettore colonna delle coordinate x, si trova la coordinata x di ogni punto (ξ , η): si ha un vettore riga e un vettore colonna il cui prodotto è la sommatoria del prodotto tra i termini. Questo oggetto fornisce in forma piuttosto compatta le coordinate x e y di ogni punto le cui coordinate naturali sono (ξ , η).
Il punto in Maxima, oltre a essere il separatore dei decimali, è anche il prodotto matrice per matrice e non c’è conflitto perché dal contesto si capisce univocamente a cosa serve il punto.

Si definiscono le derivate parziali dx/dξ, dx/dη, dy/dξ, dy/dη che sono utili per lo Jacobiano (servono per integrazioni sul volume) e per “legare” dξ e dη a dl per integrare sul perimetro. Nella notazione sottostante, la derivata viene fatta rispetto all’ultimo parametro scritto (nella prima riga si deriva rispetto a xi, nella seconda eta e così via).

Nota: utilizzo di [define], [:=] e [:].

[:] assegna un’espressione a un nome variabile senza le variabili indipendenti, associa un’espressione a un nome variabile.
[:= ] costruisce una funzione nuova sulla base di un’ espressione.

Utilizzo di [:=]

Si è scritta una funzione nuova: se si chiede dx_dxi, maxima non risponde, ma se si chiedoe dx_dxi(2,3) maxima restituisce 2-2L; vuol dire che interpreta come primo parametro un 2 e come secondo parametro un L all’atto della chiamata. Questo 2 viene utilizzato come parametro a nome locale ξ e 3 come parametro a nome locale η, quindi il 2 viene sostituito ovunque ci sia uno ξ e il 3 ovunque ci sia un η. Quando si effettua la chiamata della funzione, prende l’espressione e sostituisce ξ con 2 ed η con 3. A questo punto si fanno delle semplificazioni e si ottiene la valutazione della funzione campionata sui due specifici valori delle variabili indipendenti.

Utilizzo di [:]

Se si vuole definire dx/dξ come un’espressione si può scrivere dx/dxi: …. Per valutare specifici valori di dx/dξ si deve scrivere: ev(dx_dxi, xi=2, eta=3) e si ottiene lo stesso effetto di prima. E’ un costrutto un po’ più complesso per sostituire valori specifici di ξ ed η, se invece si definisce come funzione è più comodo (uso [:=] oppure [define] a seconda che si voglia valutare questa espressione all’ atto della chiamata (si usa [:=]) o all’ atto della definizione (si usa [define]).
Si deve fare un’integrazione sul perimetro di un vettore riga per la matrice N in ds ottenendo un vettore riga (l’apice t ad F significa che è un vettore trasposto). Nel caso specifico quella superficie sarebbe (essendo un caso bidimensionale) uguale allo spessore fuori piano t per un integrale sul perimetro della stessa quantità [Sx Sy]*N*dl con dl che scorre sul perimetro dove t*dl era il vecchio ds. Si sa che il perimetro è costituito da 4 lati e su 3 lati Sx e Sy sono nulli per semplicità, per cui nel caso specifico è sufficiente fare l’integrale sul lato jk.

$F^{t}_{s} = \int_{superficie}^{ } [S_x*S_y ]*N*ds = t* \int_{perimetro}^{ } [S_x*S_y ]*N*dl = t* \int_{lato.jk}^{ } [S_x*S_y ]*N*dl$

Per integrare sul lato jk si utilizzano le due definizioni del lato jk. La prima definizione è in coordinate naturali ξ, η con ξ=1 ed η che và da -1 a 1 quindi conviene scrivere l’integrale come un integrale da -1 a 1 in dη. Ora si deve fare un cambio di coordinate, dl non coincide con dη. Qual è il rapporto tra dl e dη? Si deve prendere un ipotetico tratto di lunghezza dη e guardare quanto è lungo nel piano fisico xy. Sul piano xy questo lato sarà ad un certo punto j e a un altro punto k e la lunghezza associata a dη è un dl. Il rapporto tra dη e dl lo si svolge andando a vedere quali sono le coordinate del punto xy associato al primo punto (ξ,η) e quelle del punto xy associato all’altro punto (ξ,η). Note le coordinate dei due punti sul piano xy, si ricava l’immagine di ciascun punto: utilizzando il teorema di Pitagora si calcola la lunghezza del segmento date le coordinate dei punti. Si ottiene quindi una forma abbastanza complessa; quindi si fa uno sviluppo in serie di Taylor definendo dη infinitesimo e si trova il rapporto tra dl e dη in funzione del posizionamento di partenza del segmento infinitesimo.

Nelle seguenti espressioni sotto radice [d] indica la derivata parziale.
Ci si sposta contemporaneamente in ξ ed η (per dξ e dη non nulli): ci si sposta dalla coordinata (ξ , η) alla coordianata (ξ+dξ , η+dη) non parallelamente agli assi. La lunghezza del segmento percorso sul piano xy è la seguente:

$dl = \sqrt{(dx/d\xi )^{2} + (dy/d\xi )^{2}}*d\xi + \sqrt{(dx/d\eta )^{2} + (dy/d\eta )^{2}}*d\eta$

Se non ci si muove parallelamente agli assi non ci si muove su un segmento in ξη bensì su una curva xy; ma, muovendosi di poco, la curva e la sua tangente linearizzata sono la stessa cosa: nell’infinitesimo la trasformazione è ancora lineare.
Nel caso specifico ci si muove sul lato jk quindi dξ=0 perciò si ha solo la seconda parte

$dl = \sqrt{(dx/d\eta )^{2} + (dy/d\eta )^{2}}*d\eta$

Così si fa il cambio di coordinate, in modo da variare il paramentro di spostamento da perimetro a dη.
Si scrive l’integrando sul lato J-K:
si definiscono i tre termini della matrice che è costituita di una sola riga, la lista è costituita di due elementi.
Sx(x,y), Sy(x,y) sono funzioni delle coordinate fisiche (ad esempio il caricamento di una diga) però si sta integrando in ζ e η , coordinate naturali, quindi quando si integra x e y bisogna scriverli in funzione di ζ e η. Nel modello naturale sul lato J-K , ζ=1 (costante) ed η varia da -1 a 1.
Matrix Sx-JK, Sy-JK è il primo termine dell’integrale. La matrice ottenuta deve essere moltiplicata per la matrice N calcolata in ζ=1 ed η variabile. Infine si deve convertire il dl nelle coordinate naturali in d ζ con il teorema di Pitagora

$dl = \sqrt{(dx/d\varsigma)^{2} + (dy/d\varsigma )^{2}}*d\zeta + \sqrt{(dx/d\eta )^{2} + (dy/d\eta )^{2}}*d\eta$

Si moltiplica l’integrale così ottenuto per lo spessore t dell’elemento.

Questo è l’integrale sul lato J-K, se si avessero carichi su altri lati, si avrebbero integrandi leggermente diversi.
Si svolge l’integrale in forma esatta con la funzione integrate: l’integrando è un vettore riga di 8 elementi, si calcola la primitiva e la si valuta in η=-1 ed η=1. Si ottiene

$[0,0,\frac{(3p-dp)L}{6},0,\frac{(3p+dp)L}{6},0,0,0]$.

I programmi Fem non ricavano mai l’integrazione passando dalla primitiva perché se il carico fosse variabile in una forma non integrabile (distribuzione normale gaussiana) questo procedimento non porterebbe ad alcun risultato.
Solitamente si svolge l’integrale con il metodo di quadratura di Gauss a 2 o più punti, quindi invece di svolgere l’integrale esatto nel FEM valuto l’integrando sul lato J-K campionando due punti del lato ( se si campionasse sul perimetro si avrebbe bisogno di 8 punti) in $\eta = \pm 1/\sqrt{3}$ , si moltiplicano i campionamenti per il relativo peso unitario e li si somma.

Cosi facendo si ottiene il vettore Fs stimato per quadratura gaussiana, e in questo caso F(s) ottenuto con lo svolgimento dell’integrale esatto coincide con quello svolto per quadratura.
Questo è il flusso di operazioni che un codice tipo Mark svolge per ridurre una pressione su un lato dell’elemento a carichi nodali.

INTERPRETAZIONE FISICA: regola empirica aree di influenza Il caricamento lo si può dividere in una parte costante P e una parte a farfalla ΔP.

Il caricamento insiste solo in direzione x e solo sul lato J-K, i nodi I ed L saranno di conseguenza scarichi come le componenti lungo y dei nodi J E K.

Analisi caricamento costante

Si divide il lato J-k di lunghezza l a metà e si associa al nodo K l’area di influenza da K a l/2 e al nodo J da l/2 a J.

• Area di influenza del nodo $K := (l/2)*t$
• Area di influenza del nodo $J := (l/2)*t$

Essendo il caricamento P=cost, le risultanti delle pressioni, essendo uguali le aree di influenza, saranno uguali e pari a plt/2 applicate ai nodi J e K.

Analisi caricamento ΔP

La risultante sulle aree di pertinenza risulta in modulo (caricamento distribuito triangolarmente su una trave di lunghezza l/2) $\frac{\Delta P*l*t}{4}$ e agisce ai 2/3 di l/2.

Si considerano le risultanti delle distribuzioni applicate ai nodi e si calcolano il momento rispetto ad una retta passante per il centro del lato J-K.

• MOMENTO con Fs secondo la regola empirica delle aree di influenza nodale
  $Mo = l*cos\alpha * \frac{\Delta P*l*t}{4}$
• MOMENTO con Fs calcolato con la distribuzione di pressioni
  $Ms = \frac{2}{3} l*cos\alpha*\frac{\Delta P*l*t}{4} = l*cos\alpha *\frac{\Delta P*l*t}{6}$

Si nota che considerando la distribuzione di partenza e le forze concentrate derivanti da legge empirica basate su aree di influenza si ottiene due risultati diversi e quello che risulta essere veritiero è
$Ms = \frac{2}{3} l*cos\alpha*\frac{\Delta P*l*t}{4} = l*cos\alpha *\frac{\Delta P*l*t}{6}$

Quanto sarebbe il valore delle forze nodali affinchè Mo=Ms?
$2*l*cos\alpha *\frac{X}{2} = l*cos\alpha *\frac{\Delta P*l*t}{6}$

La procedura empirica basata sulle aree nodali è esatta solo per distribuzioni uniformi ; se i carichi non sono uniformi si deve usare la procedura energetica. Usando la regola empirica anche con carichi non uniformi l’errore che si commette cala con la taglia dell’elemento, perché più l’elemento è piccolo e più la differenza tra la pressione media e quella massima cala (ΔP diminuisce). Perciò si può utilizzare una regola di riduzione a carichi nodali concentrati basata sulla regola empirica delle aree di influenza, sapendo che si commette un errore e che questo errore è trascurabile solo se la taglia dell’elemento è tale da avere un ridotto ΔP.

Per lavorare più comodamente con Mentat, si può togliere la predisposizione del sistema operativo Linux ad utilizzare il tasto “Alt” per spostare le finestre, in tal modo si può attivare più comodamente il dynamic model di Mentat. Per fare ciò si va su System → Preferences → Windows e impostare il tasto “windows logo key”; fatto ciò, tenendo premuto il tasto “Alt” su Mentat, si attiva il dynamic mode, e rilasciando il tasto, la modalità dinamica si disattiva.
Aperto il file “profilo_aperto_analisi_vlasov_2d” (scaricabile qui), si vuole andare a modellare una porzione di trave sottoposta a sollecitazione torsionale, in modo tale da studiare il fenomeno del Warping, ovvero dello spostamento fuori piano dei punti di una sezione di trave. Saranno necessarie nozioni di antisimmetria e l’introduzione degli elementi rigidi RBE2 che si trovano nel menù “links” di Mentat.

La sezione di rifermento non è quella che compare aprendo il file, bensì il raddoppiato per simmetria rispetto al piano xz. Per avere una visualizzazione più completa, si possono rappresentare le curve della sezione completa, senza però raddoppiare il numero degli elementi al fine di non aumentare il costo computazionale, sfruttando la simmetria. Su “mesh generation”, sotto il comando “simmetry”, si può specchiare una sezione rispetto ad un piano di simmetria che dev’essere indicato da un punto di passaggio e relativa normale; nel nostro caso il piano xz con normale y passa per il punto (0 0 0) e la sua normale è (0 1 0). Si seleziona dalla lista quello che si vuole duplicare (curve) e si seleziona sulla finestra di controllo la figura, altrimenti si seleziona “all existing”. Dando “end of list” si duplica la figura.

La sezione risultante è quindi una trave rettangolare a parete sottile con spigoli arrotondati. Le dimensioni sono 40 mm di larghezza, 160 mm di altezza, e 2 mm di spessore. Per verificarle si può usa il tasto “distance”.

Si vuole confrontare il comportamento di questa trave supposta chiusa, con la stessa trave supposta aperta, ovvero senza continuità di materiale nella mezzeria del lato destro della trave.
Si parte dalla sezione aperta. Gli elementi scelti in partenza per la mesh piana sono elementi a 8 nodi, perché hanno 8 funzioni di forma rispetto alle 4 del quadrilatero a 4 nodi. Le funzioni di forma associate ai nodi di centro lato permettono di rappresentare la curvatura dei lati dell’elemento, cosa che nell’elemento a 4 nodi non è possibile rappresentare (i lati dell’elemento, anche nella configurazione deformata, rimangono rettilinei).
La curvatura dei lati dell’elemento a 8 nodi segue una legge parabolica, quindi i lati possono deformarsi da segmenti rettilinei a parabole e le tensioni possono variare linearmente lungo l’elemento, cosa che non può avvenire nell’elemento triangolare 3 nodi e nell’elemento quadrilatero a 4 nodi.
NB. Le deformazioni rappresentabili dal quadrilatero 4 nodi sono lineari solo in determinati casi (esempio di rappresentazione di lastra forata (min. 12 parte 1). Possono essere sia lineari che costanti, ma sotto determinate condizioni.
Per poter sottoporre a torsione la trave, è necessario estruderne la sezione rappresentata. Gli elementi che si otterranno saranno elementi parallelepipedi a 20 nodi. Estrudendo di un solo elemento, la mesh risulta grossolana, quindi non affidabile. E’ meglio modellare pertanto una mesh più raffinata, per questo motivo si è voluto confrontare più tipi di mesh per paragonarne i risultati e vederne l’influenza.
E’ stata creata una mesh con un solo elemento lineare sullo spessore, una mesh con elementi quadratici non suddivisi (che è la tecnica del p-refinement, ovvero aumentare il grado del polinomio delle funzioni di forma), e una mesh con elementi lineari suddivisi (che è la tecnica dell’h-refinement, ovvero diminuire la taglia dell’elemento).
Per suddividere gli elementi si usa il comando “subdivide” nel menù “mesh generation”; la voce divisions indica quante divisioni si vogliono su ogni asse dell’elemento. Il primo asse locale dell’elemento è quello indicato dalla freccia presente nella rappresentazione grafica dell’elemento stesso. Poiché gli elementi utilizzati sono piani, si impone che la divisione sul terzo asse, ovvero quello normale, sia unitaria.
La voce Bias permette divisioni non equispaziate; se i bias factor sono nulli, la divisione sarà equispaziata. Si sono selezionati tutti gli elementi da suddividere dopo aver cliccato la voce elements; schiacciando il tasto “end of list” si è ottenuta la suddivisione voluta.
Il secondo tipo di mesh prevede elementi lineari. Per modificare gli elementi quadratici in lineari è necessario schiacciare “change class” nel menù “mesh generation”. All’interno del menù che si apre, si schiaccia “to linear elements” e si seleziona “all existing”; in questo modo si va a linearizzare gli elementi, quindi si tolgono i nodi di mezzeria dei lati degli elementi.

Bisogna ora estrudere la struttura: si fa tramite il comando “expand” nel menù “mesh generation”. L’estrusione può essere di vari tipi: scalatura, rotazione o traslazione. Nel nostro caso andremo a estrudere in traslazione sull’asse z. E’ necessario fornire il passo di estrusione secondo gli assi (0 0 2 per i p-refinement e mesh normale, 0 0 1 per la mesh h-refinement) e il numero di ripetizioni di estrusione che si vuole ottenere.
La voce “mode” indica cosa avverrà degli elementi di partenza dell’estrusione; nell’esercitazione si vuole che vengano rimossi. Le alternative sono “shift”, che indica che la figura piana composta dagli elementi verrà spostata a fine estrusione, e “save”, che mantiene gli elementi di partenza nella posizione pre-estrusione. Si va poi ad applicare l’estrusione agli elementi, tramite il tasto opportuno e poi “all existing”. Si ottiene in questo modo un concio di trave finito, a partire dalla sezione piana.
NB. Non si può estrudere un elemento tridimensionale. Si può duplicare.

Si ha una struttura modellata per metà, questo per sfruttare le proprietà di simmetria della sezione. Il primo piano di simmetria è il piano xy, il secondo piano di simmetria è il piano xz. Qualora la struttura fosse chiusa, si avrebbe anche il terzo piano di simmetria yz, ma nel caso in considerazione la struttura è aperta, quindi il piano yz non è di simmetria.
Il caricamento cui è sottoposta la trave è torsionale, quindi antisimmetrico rispetto a tutti i piani di simmetria geometrici (si può osservare qui (link alla pagina lastra_forata)). Per questo motivo è possibile modellare solo ¼ di struttura.
Prima cosa da fare per iniziare è usare il comando “sweep” nel menù “mesh generation”.
Bisogna ora imporre i vincoli di antisimmetria, che si possono trovare nella scheda di prima (link).
E’ necessario bloccare gli spostamenti paralleli al piano e la rotazione normale al piano di antisimmetria.
Per fare ciò si entra nel menù “boundary conditions”, new → structural → fixed displacement, si rinomina “antisym_p_xz_n_y” ad indicare il vincolo di antisimmetria sul piano xz con normale y.

Si impongono nulli gli spostamenti x e z e la rotazione su y (anche se questi elementi non supportano le rotazioni dei nodi, si verifica nella guida degli elementi).

Questa condizione va applicata solo ai nodi in basso a sinistra, poiché la trave è aperta dall’altro lato.

NB. Per passare da sezione aperta a sezione chiusa, basta imporre il vincolo di antisimmetria anche agli altri nodi. Si può quindi simulare la sezione aperta o sezione chiusa semplicemente attivando o disattivando i vincoli di antisimmetria sul lato destro. E’ necessario pertanto creare un nuovo vincolo di antisimmetria : menù “boundary conditions”, new → structural → fixed displacement, si rinomina “variante_sezione_chiusa”. Si impongono nulli gli spostamenti x e z e la rotazione su y e si impone sui nodi del lato destro.
Ai nodi del piano xy va applicato un altro vincolo di antisimmetria: menù “boundary conditions”, new → structural → fixed displacement, si rinomina “antisym_p_xy_n_z” ad indicare il vincolo di antisimmetria sul piano xz con normale y. Si impongono nulli gli spostamenti x e y e la rotazione su z.

Per individuare meglio i nodi del piano si consiglia di ruotare di 90° la struttura col tasto RY+, che va cliccato 9 volte.

La voce “Geometric Properties” serve per inserire le caratteristiche geometriche della struttura, clicco su “Analysis class” e scelgo la voce “Structural” → 3-D → “Solid”.
Ora si mette il nome alla proprietà geometrica “massiccio” e si sceglie tra le “Properties” la voce “Assumed Strain”. Si applica questa funzione a tutti gli elementi della struttura.
(La funzione “Assumed Strain” permette ai modelli composti da una unica maglia a 4 nodi, per lo spessore della struttura, la possibilità di studiare l'andamento del momento di flessione senza creare un errore dato dalla bassa suddivisione in maglie nello spessore).

MATERIAL

La voce “Material Properties” serve per dare le caratteristiche al materiale della struttura che si sta studiando; si clicca il tasto “New” e poi la voce “Standard”. Il nome del materiale è “alluminio”, esso è un materiale che consideriamo isotropo e lineare. Ora si preme il tasto “Structural” dove si inseriranno le seguenti voci:

• Modulo di Young = 70 000 MPa
• Poisson = 0.3

Fatta questa operazione si associano a tutti gli elementi del modello queste caratteristiche del materiale.

MOMENTO TORCENTE

Dalla teoria di costruzioni di macchine il momento torcente, per una struttura a sezione piena è dato da due rotazioni di moto rigido lungo il piano X-Y (corrispondono ai vincoli di spostamento X e Y che sono entropiano) attorno al centro di istantanea rotazione. Lo spostamento in Z è libero (corrisponde al vincolo di rotazione fuoripiano). Per poter rappresentare in Mentat questa soluzione si deve dare ad un nodo della struttura le caratteristiche di corpo rigido che consentono al pezzo di avere 6 gdl, cioè 6 rototraslazioni.
La procedura in Mentat è la seguente:

Si inserisce in Mentat il nodo su cui si applicano le caratteristiche di corpo rigido

“Main Menù” → “Mesh Generation” → si clicca su “Nodes” e successivamente su “Add” e si aggiungono le coordinate del nodo che sono ( 20, 0, 2), che corrisponde al nodo centrale della struttura.

Si inseriscono in Mentat le caratteristiche di corpo rigido

“Main Menù” → “Links” → “RBE2” → “New” → “Retained Nodes” e si seleziona il nodo appena inserito nella struttura.
[“Retained Nodes” è una funzione di Mentat che permette ad un nodo di mantenere i propri gradi di libertà indipendenti rispetto alla struttura.]
In questo modo il nodo si comporta come un corpo rigido, ma per fare in modo che anche la struttura si muova assieme ad esso si deve premere il tasto “Tied” per legare ad esso tutti i nodi del piano su cui giace il nodo centrale. Si vede che nella superficie in cui giace il nodo (20, 0, 2) si crea una ragnatela di linee rosse che rappresentano i legami cinematici all'interno della struttura

ATTENZIONE: Quando si crea la ragnatela di legami cinematici, si seleziona due volte il nodo (20, 0, 2) e si rischia di ottenere l'errore 2011; perciò si deve togliere questo nodo dalla funzione “Tied” selezionando “Remove” e cliccando sul nodo da eliminare.
Dopo aver eseguito questa procedura ci si accorge che nella struttura sono presenti 3 labilità date da uno spostamento lungo Z e due rotazioni una sull'asse X e l'altra su Y. Per impedire queste labilità si deve imporre delle condizioni al bordo.
“Main Menù” → “Boundary Conditions” → “New”, si assegna il nome a questa operazione “moto_imposto_rbe2” → “Structural” → “Fixed Displacement” e si blocca lo spostamento in Z e le due rotazioni su X e Y; questa condizione va applicata al nodo di controllo RBE2.

Questa ultima “Boundary Condition” risulta superflua: i vincoli di antisimmetria che si sono posti su tutta la struttura e sul nodo di controllo (20, 0, 2) permettono di semplificare lo studio potendo trattare solo mezza struttura visto che il corpo rigido si comporta in modo coerente sia a DX che a SX del piano di antisimmetria.
Si pone una ulteriore “Boundary Condition” sul nodo di controllo, quella di antisimmetria sul piano xz di normale y.
Si dovrà pertanto aggiungere ai nodi già selezionati in tale condizione il nodo di controllo RBE2.
Ora, valutando le boundary conditions che si sono poste, ci si accorge che dei 3 gradi di labilità che si hanno nella struttura solo due sono impediti (la rotazione attorno all'asse Y e lo spostamento in Z), mentre la rotazione attorno all'asse X è libera; bisogna pertanto bloccarla imponendo spostamento nullo su z dei nodi selezionati in figura della sezione.

Le condizioni al bordo imposte permettono lo spostamento della sezione assieme al nodo di controllo come un corpo rigido nello spazio.

Ora si impone il momento torcente alla struttura

L’applicazione del momento torcente a una struttura può essere fatto in due modi:

• il primo metodo è imporre un momento torcente e rilevare nella struttura la rotazione relativa.
  
• il secondo metodo è applica una rotazione alla struttura e rilevare la reazione vincolare.
  

In questo caso si utilizzerà il primo metodo e si applicherà un momento torcente di 1 Nmm alla struttura, ma dovendo studiare mezza struttura grazie ai vincoli di antisimmetria bisogna applicare all'estremità del modello un momento torcente di 0.5 Nmm per mantenere la coerenza della struttura.
“Boundary Condition” → “New” → “Structural” → “Point Load”, si rinomina questa condizione “Momento_torcente_imposto” e lo si applica al nodo di controllo centrale della struttura.

[Il momento torcente come è noto da costruzioni di macchine , si applica alle superfici terminali delle strutture, è controrotante poichè deve essere equilibrato rispetto all'asse di simmetria]

Calcolo della struttura

Per lanciare il calcolo della struttura bisogna seguire la seguente procedura:
“Jobs” → “New” → “Structural” → “Name”: “sezione_aperta” → “Properties” → “Initial Loads”, si selezionano tutte le voci tranne “variante_sezione_chiusa” per simulare la sezione aperta, mentre per simulare la sezione chiusa è necessario selezionarle tutte.

Su “Job Results” si selezionano le voci che si vogliono esaminare al termine della simulazione.
Nel nostro caso si vuole esaminare STRESS, EQUIVALENT VON MISES STRESS. Con il tasto “Custom” si accede al altre voci aggiuntivi, si vogliono esaminare:

• displacement
• rotation
• external force
• external moment
• reaction force
• reaction moment
• tying force
• tying moment

Per lanciare il calcolo si va su “Jobs” → “Run” → “Submit”.

Nella casella “Singularity Ratio” controllo che il problema non sia mal condizionato: se il valore è prossimo a $10^{-13}$ allora la matrice di rigidezza è singolare e si hanno delle labilità; qualora il singularity ratio sia molto maggiore di $10^{-13}$ allora il modello è corretto.

Stefano Andreatta, mat. 103933 , Mattia Canali, mat. 103990 , Michele Dorigato , mat. 105045 , Francesco Guida , mat. 102162.

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