Indice
Lezione a cura di Idriss Essalih.
L’ultima lezione abbiamo impostato e lanciato la risposta in frequenza della molla, nella lezione odierna cercheremo di commentare tale risposta, la molla elicoidale modellata presenta le seguenti caratteristiche:
Sezione circolare cava, de = 12mm, di= 6mm, in titanio.
Raggio medio filo 20 mm, passo 15mm, 4.5 spire.
La molla all’estremo inferiore è stata incastrata quindi si considera un’aderenza completa ad un corpo rigido fisso, all’estremo superiore invece si considera un’aderenza completa ad un corpo rigido che non è fisso ma ha due gradi di libertà residui una rotazione attorno al proprio asse più una traslazione rispetto allo stesso asse, in realtà la traslazione rispetto a questo asse non è completamente libera perché al bicchierino è imposta una corsa avente spostamento z del tipo armonico definito da una parte reale unitaria (oscilla ±1mm su e giù) mentre una seconda componente immaginaria è zero, chiaramente essendoci un’unica forzante non ha senso andare a gestire la complessità legata a fase diversa dalla fase nulla, la fase diventa importante quando vado a sovrapporre più forzanti che non sono in fase e in questo tipo di analisi si va a sovrapporre forzanti che sono modulate sulla stessa frequenza. Inoltre forzanti modulati su frequenze diverse non si sovrappongono a livello di questi calcoli ma i loro effetti vanno sovrapposti a posteriore magari andando a sommare ad esempio le risposte (ricordatevi che questo sistema è lineare).
Non c’è nessuna complicazione aggiuntiva ad impostare una forzante che invece di essere un valore fisso è un valore fisso moltiplicato per una tabella che è funzione della frequenza ad esempio se volessi applicare una forza che cresce con il quadrato della frequenza è sufficiente definire la dipendenza in funzione del quadrato della frequenza come table su mentat. Mancano i gdl per rappresentare una deformazione ovalizzante della sezione, la molla modella come trave si deforma come si deforma la trave e nelle trave non è definita una deformazione per le sezioni stesse, se lo modello come piastra potrei vedere dei modi propri potrei vedere dei modi propri in cui la sezione si ovalizza.
I modi propri della molla:
Il primo modo proprio prevede una rotazione dell’estremo superiore, tale rotazione sembra un’esplosione del diametro questo è dovuto al fatto che sto considerando le piccole rotazioni. Un anello che ruota viene rappresentato in piccole rotazioni con un moto tangenziale di tutti i punti dell’anello, per cui se si prende un diametro originario a seguito di questo moto il diametro aumenta. come si vede in figura
(immagine1)
Se si vuole essere sicuri che si tratta di una rotazione si vanno a visualizzare i vettori rotazione e ci si accorge dell’esistenza di questa rotazione che sono nulli nella superficie inferiore e poi aumentano andando verso la superficie superiore e sono quasi costanti lungo una spira generica.
Si riportino le frequenze trovate per i primi modi propri nella seguente tabella:
| Modo proprio | Frequenza [Hz] | Tipo di moto |
|---|---|---|
| 1 | 337.0 | Moto sul fianco |
| 2 | 592.1 | Moto assiale |
| 3 | 726.4 | Flessionale |
| 4 | 732.6 | Moto sul fianco |
Se la molla fosse infinitamente lunga le frequenze relative ai modi propri 3 e 4 tenderebbero ad essere uguali questo perché sia l’inerzia che la rigidezza tra la traslazione verso y e la traslazione verso x sono molto simili da cui una simile frequenza propria, quindi in una molla infinitamente lunga i moti 3e 4 tenderebbero ad avere la stessa frequenza propria. In questo caso le due frequenze sono disgiunte e questo è dovuto alla perturbazione indotta dagli incastri ai terminali e se la molla fosse infinitamente lunga avrei avuto due frequenze molto simili.
Quando la molla diventa infinitamente lunga troveremo che i due autovalori ( $\lambda_3=2\pi\omega_3^2$ e $\lambda_4=2\pi\omega_4^2$ ) diventano un unico autovalore con molteplicità 2.
Esempio:
Consideriamo un sistema oscillante a 2gdl in cui c’è una massa collegata a due molle come in figura, il primo gdl è relativo ad un moto orizzontale u e il secondo è relativo ad un moto verticale v, inoltre la molla verticale ha una rigidezza k-ϵ e quella orizzontale ha k+ϵ .
(immagine 2)
Ad ogni grado di libertà è associato un moto proprio nel caso della molla modellata abbiamo che il numero di modi propri è dato dal numero dei nodi moltiplicato per 6. Andando a scrivere la matrice massa e rigidezza del sistema oscillante a 2gdl trovo i seguenti autovalori:
$\omega_1^2=\frac{k+\varepsilon}{m}$
e
$\omega_2^2=\frac{k-\varepsilon}{m}$
Se Ɛ = 0 ho un autovalore con molteplicità 2, quindi basta introdurre degli errori numerici o ad esempio nella meshatura delle due molle che si trovano due autovalori distinti. Associato alla prima pulsazione propria del sistema si ha un autovettore che descrive il primo modo proprio che chiamo m1 orizzontale e alla seconda pulsazione propria viene associato un autovettore che descrive il secondo modo proprio m2 verticale:
(immagine 3)
Essendo autovalori distinti sembrerebbe che non si combinerebbero, in realtà nel sistema non soggetto alla perturbazione Ɛ, i modi propri non sono solamente quelli relativi al moto orizzontale e al moto verticale ma bensì ho solamente un modo proprio dato da:
$\omega_{1,2}^2=\frac{k}{m}$
Quindi in questo caso oltre al moto verticale e al moto orizzontale ho anche i moti che derivano da una loro combinazione sia in modulo relativo ma anche in fase. Infatti sfasando le oscillazione secondo i due modi propri sopracitati si può trovare una qualunque orbita ellittica della massa che è data da un oscillazione orizzontale e una verticale leggermente fuori fase. Per cui il concetto degli autovalori distinti o non è molto rilevante perché gli associati autovettori possono essere o meno combinati, in particolare se sono distinti non potrebbero essere combinato se non sono distinti con molteplicità maggiore di uno si possono combinare e ottenere nuovi modi propri.
N.B nel numerico non si avranno mai due autovalori uguali a causa degli errori!
Se si ha una struttura simmetrica rispetto ad un piano (simmetrica sia nella matrice massa che nella matrice rigidezza) i modi propri possono essere di due famiglie:
1. Modi propri simmetrici rispetto al piano di simmetria.
2. Modi propri antisimmetrici rispetto al piano di simmetria.
Se si ha un modo simmetrico e uno antisimmetrico con la stessa frequenza propria si possono combinare tra di loro. La molla modellata essendo una molla elicoidale non si ha nessuno piano di simmetria per cui non posso suddividere i modi propri in modi simmetrici o antisimmetrici.
In analisi modali è possibile utilizzare vincoli di simmetria o antisimmetria però si ottiene risposta solo dei modi propri che rispettano gli specifici vincoli di simmetria, quindi se si hanno due piani di simmetria per una struttura e si applicano due vincoli di simmetria lungo il piano si otterranno solo modi propri doppiamente simmetrici se si applicano invece due vincoli di antisimmetria si otterranno i modi propri doppiamente antisimmetrici e si possono fare tutte le combinazioni possibili di simmetria e antisimmetria e si trovano vari famiglie di modi propri. È chiaro che se si vuole estrarre tutti i modi propri oppur il modo proprio a cui è associata la frequenza più bassa e non si sa a priori a che famiglia appartiene, si deve o modellare l’intera struttura che è la cosa più rapida oppure si modella la struttura con tutte le possibili combinazioni di simmetria e antisimmetria su ogni piano, ad esempio se si hanno tre piani di simmetria geometrica della struttura si hanno otto combinazioni di simmetria o antisimmetria sui vari piani.
La risposta della molla elicoidale ad un moto armonico :
Si è analizzato da 10 Hz a 1000Hz con passo 1Hz
Aprendo il file dei risultati si trova che se si impone uno spostamento di 1 mm verso l’alto al nodo incastrato al bicchierino tutta la struttura ha un moto verso l’alto con lo spostamento che varia linearmente da 0 sul nodo inferiore ad 1 sul nodo superiore, e questo è esattamente come accade nella soluzione statica in quanto la soluzione dinamica in bassa frequenza è in perfetta continuità con la soluzione statica.
L’errore commesso se si considera la soluzione statica:
Come riferimento si utilizza il grafico di amplificazione dinamica dell’oscillatore ad un grado di libertà:
Sull'asse x vi è il rapporto tra la frequenza dell’eccitante e la prima frequenza propria quindi in x=1 c’è la risonanza, sull’asse y invece vi è il rapporto tra la risposta statica e la risposta dinamica. Si osserva che per basse frequenze della forzante rispetto al prima frequenza propria si ha che la risposta statica (andamento rosso) sottostima leggermente gli spostamenti, in particolare se si fa un’analisi e per semplificata si suppone smorzamento nullo si ha che:
se si ammette un errore del 10% cioè il rapporto di amplificazione è 1.1 quindi la risposta dinamica è 10% più elevata della statica questo lo si ha quando la frequenza dell’eccitante è 0.3 la prima frequenza propria:
Se si vuole una precisione più elevata ad esempio 5% si ha:
Se voglio scendere al 2% di errore devo stare a 0.14 volte la frequenza propria con l’eccitante:
Quindi in questo caso la prima frequenza propria è di 337 Hz e se l’eccitante è dell’ordine di 100Hz posso fare un calcolo statica e sono sicuro che se c’è un errore è dell’ordine 10% non di più. Aumentando la frequenza si osserva che gli spostamenti crescono. Arrivati a 575 Hz il sistema oscilla tra due configurazioni ed è ben visibile l’autocontatto tra le spire, pertanto in questa configurazione non si potrebbe lavorare.
Procedo fino a 581 Hz e ottengo la deformata in figura. Osservazione: L’eccetizaione prima della risonanza è applicata su frequenza sub-risonanza e poi su frequenze super-risonanza e l’ampiezza di risposta in assenza di smorzamento raggiunge un valore teoricamente illimitato e poi riscende.
Per ridurre l’effetto della risonanza bisogna introdurre un po’ di smorzamento, esso è definito in un sistema lineare da una matrice smorzamento e questa matrice ha tanti termini quanto la matrice di rigidezza, tuttavia non si hanno informazioni sufficienti per descrivere lo smorzamento della struttura. Se la rigidezza e la massa le si riesce a misurare bene ciò non accade per lo smorzamento in quanto è complesso, questo è dovuto all’esistenza dello smorzamento strutturale legato alla non perfetta risposta elastica dei materiali. I valori dello smorzamento sono da cercarsi nella letteratura, si riportino alcuni articoli relativi allo smorzamento nella sezione docente della lezione odierna. Quindi è praticamente impossibile riempire tutti gli elementi della matrice C , ciò che si fa è quella di considerare la forma semplificata di Rayleigh (detto anche smorzamento proporzionale) in cui la matrice smorzamento viene distretta non come una matrice indipendente dalla matrice massa e dalla matrice rigidezza ma come una combinazione lineare delle due :
$\underline{\underline{C}} = \alpha \underline{\underline{M}} + \beta \underline{\underline{K}} \qquad$
Si usa questa forma in quanto non si riesce a diagonalizzare la matrice C salvo che non sia una combinazione lineare delle matrici K ed M che sono invece diagonalizzabili.
Prima di parlare della diagonalizzazione consideriamo il diapason a cui aggiungo degli smorzatori concentrati :
Si suppone che i due smorzatore dissipino energia in ordine di grandezza superiore a quella dell'acciaio armonico autocostruito del diapason, pertanto tutti i termini dello smorzamento proprio del materiale sono trascurabile rispetto ai due smorzatori viscosi concentrati. Quindi la matrice C è piena di zeri. La matrice C è così fatta:
La matrice smorzamento quindi ha tutti i termini nulli tranne i cinque indicati in figura, quando si presenta C in forma proporzionale scopro che M è una matrice distribuita idem la matrice K e questo comporta avere una matrice C anche essa distribuita. Per cui quando si hanno degli smorzatori concentrati la forma di Rayleigh è del tutto inutilizzabile.
In seguito si suppone che non si hanno degli smorzatori concentrati, quindi la matrice C è scrivibile nella forma di Rayleigh.
Per il fatto che gli autovalori vengono definiti a meno di una costante arbitraria si ha che:
$$ \underline{\hat{x_i}}^T \underline{\underline{M}} \underline{\hat{x_j}} = \delta_{ij} $$
ove δij è la funzione delta di Kroneker, e
$$ \underline{\hat{x_i}}^T \underline{\underline{M}} \underline{\hat{x_i}} = m_i $$
massa modale associata al modo i-esimo, risulta unitaria data la specifica normalizzazione di $\underline{\hat{x_i}}$ .
Componendo i primi m (1 ≤ m ≤ n) autovettori normalizzati a massa modale unitaria come colonne di una matrice modale:
$$ \begin{bmatrix} \mid & \mid & \cdots & \mid \\ \hat{x_1} & \hat{x_2} & \cdots & \hat{x_m}\\ \mid & \mid & \cdots & \mid \end{bmatrix} $$
Questa non è una matrice quadrata in quanto presenta $m$ colonne ed $n$ righe; se prendessi tutti gli $n$ gradi di libertà, ottengo $n$ vettori e combinandoli riesco ad ottenere qualsiasi stato deformativo della struttura: essendo $m<n$, combinando i vettori ottengo un sottoinsieme delle possibili deformazioni del sistema, perciò posso escludere le possibilità di deformazione che non ritengo idonee per la mia struttura nell'analisi.
A questo punto scrivo uno spostamento ipotetico definito come combinazione lineare secondo i singoli modi propri, dove i vari $\xi$ sono coefficienti che scalano linearmente il singolo modo proprio nella combinazione: $$ \bar{x}=\hat{x_1} \xi_1 + \hat{x_2} \xi_2 + \cdots + \hat{x_m} \xi_m = \hat{X} \bar{\xi} $$
Il vettore $\bar{x}$ così trovato lo vado a sostituire nell'equazione della risposta in frequenza: $$ (-\omega^2 M + j\omega C + K)\bar{x} = \bar{f} $$ Da cui: $$ (-\omega^2 M + j\omega C + K)\hat{X} \bar{\xi} = \bar{f} $$
si ottiene la forma:
$$ \underline{X}^{T}(-\omega ^{2}\underline{M}+j\omega (\alpha \underline{M}+\beta \underline{K})+\underline{K})\overline{X\xi }=\overline{X}^{T}\overline{f} $$
Quindi per l'ortogonalità il sistema di equazioni diventa:
$$ (-\omega^2 I+ j\omega (\alpha I + \beta \Lambda) + \Lambda)\bar{\xi} =\bar{q} $$
Dove $\Lambda = diag({\omega_i}^2)$ è una matrice diagonale contenente la successione delle $m$ pulsazioni proprie. E $ \bar{q} = {\hat{X}}^T \bar{f}$., e le sue componenti sono $q_i={\bar{x}_i}^T f_i$ con $i=1,...,m$. A questo punto mi accorgo che tutte le matrici che moltiplicano le incognite sono diagonali, perciò la matrice di sistema sarà diagonale e quindi le equazioni sono disaccoppiate, ovvero le $m$ equazioni sono indipendenti ed hanno la seguente forma: $$ (-\omega^2 + j\alpha \omega + j\beta \omega {\omega_i}^2 + {\omega_i}^2)\bar{\xi_i} =\bar{q_i} \\ i=1,...,m $$
Mi accorgo che da questa equazione posso ricostruire l'equazione dinamica iniziale, infatti l' equazione precedente risulta essere la forma algebrica associata all'equazione:
$$ \ddot{\xi} + 2\omega_i (\frac{\alpha}{\omega_i}+\beta \omega_i) \dot{\xi} + {\omega_i} ^2 \xi = \bar{q}_i e^{j\omega t} $$
Questa è equivalente all'equazione algebrica associata ad un oscillatore ad un grado di liberta con incognita di spostamento $\bar{\xi}$, $m=1$, $k={\omega_i}^2$ e $ c=2 \omega_i \zeta_i $.
Quindi ottengo un'equazione di un oscillatore equivalente per ogni modo proprio, e la $\xi_i$ mi dice quanto il modo proprio deve essere modulato per ottenere la soluzione; quindi il sistema iniziale corrisponde ad un sistema ad $m$ gradi di libertà, poi lo disaccoppio ottenendo $m$ oscillatori ad $1$ gdl ed ottengo l'equazione scritta sopra.
Le formule per trovare $\xi_i$ sono :
Sezione a cura del docente
Riferimenti per valutazione damping strutturale
structural_damping_values_jdstevenson.pdf
damping_cross-reference_and_material_properties.pdf
f_orban_damping_of_materials_and_members_in_structures.pdf
tom_irvine_damping_in_bolted_and_welded_joints.pdf
estratto vol. 2, sezione 8 di Soovere, J., and M. L. Drake. Aerospace Structures Technology Damping Design Guide.LOCKHEED-CALIFORNIA CO BURBANK, 1985.